2 第4章 指数函数与对数函数 第3节 指数函数及其性质的应用-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 (3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示. 0 -2 由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的 m的取值范围为m=0,或m≥3. 第3节指数函数及其性质的应用 课堂典例探究 变式训练 1.D [由y=()扩的周象知()>() <1,.a>b>c.] 2.解析：(1)3-2>1→3-2>3°→x-2>0→x>2, 所以解为(2，十∞). 2因为。>(2) =a3x-5,所以当a>1 时，y=a为增函数，可得x十1>3x-5,所以x <3. 当0<a<1时，y=a为减函数，可得x十1<3x 一5，所以x>3. 综上，当a>1时，x的取值范围为（一∞，3）， 当0<a<1时，x的取值范围为(3，十∞). 答案：(1)(2，+∞)(2)见解析 3.解：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有 2+是-是+a…2r成立，即21-a)=: (1-a),所以1-a=0,所以a=1. （②)由1)知f)=2+是fx)在0，+∞)上 单调递增。 证明如下：任取x2,x2∈(0，十∞)且x1<x2, 则fx)-f)=24+是- -)+() =(25-22)+ 222-21 =(25-22)· 21·222 〔-2)m-2)… 21+2 因为x1<x2,且x1,x2∈(0，十∞)，所以25< 22,2+2>1, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增. (3)由(2)知f(x)在[0，十∞)上单调递增， 又由f(x)为偶函数知函数f(x)在（一∞，0]上 单调递减，所以f(x)≥f(0)=2.故函数f(x) 的值域为[2，十∞). 136((((((< 数学 课堂达标 1.D [y=二在(0，十∞)上单调递减，所以排除 A;y=|x|是偶函数，所以排除B;y=2为非奇 非偶函数，所以排除C.选D.] 2.B2-(合))=（合是R上的减函教， ()>()≥() 即2>（侵）>-（侵）J 3.D[:y=(3在[-10]上为减函数， 当x=-1时，fx)m=()'=3.] 4.解析：a°十a=3,即1十a=3,∴.a=2. 答案：2 5解：0<号<1y-(号) 在R上单调递减， 又()>≥(aa (2)先考虑函数y=0.8,0<0.8<1, ∴.函数y=0.8”在（一∞，十∞）上是减函数， 又-2<0，.0.8-2>0.8°=1. 秀考画数y(八：>1 “函数y=(号在（一，十∞）上是增函数。 又-<0()<（=1 综上可知，0.8>(3)。 课后检测评价 1.B2.C 3.B[函数y= ( 在R上为减函数，所以2a +1>2a-3,即1>-3.恒成立，∴.a∈R.] 4.A[令u=-3十4x-x2,y=3“为增函数，所以 y=33+r-的增区间就是u=-3十4x一x2的 增区间(-∞，2].] 5.b<a<c 6.(-∞，1] 7解：由2≥0，解得-2或>1 于是A=(-∞，-2]U(1,十∞)， ()>2-()>(合)广2x<a+ 台x<a,所以B=(-∞，a). 因为A∩B=B,所以B二A,所以a≤-2， 即a的取值范围是(-∞，-2]. 8.解：(1)由题意知，P(8)=9, 所以8十28-=9，即28-t=1, 解得=8； (2)由(1)知，P(x)=8+2-8, 所以P(10)=8十210-8=12， 即第10天的打卡人数约为12万人. 答案：(1)8(2)12万人 第4节对数与对数运算 课前预习导引 知识点1 1.x=log N a N2.以10为底以e为底 3.01nN 知识点2 1.log M+log N 2.log M-logN 3.nlog M(n∈R) 知识点3 logb loga 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)33=27； 22)'=8 (3)1og59=-2; (0log}=-2 2.解：(1)原式=21g5+1g2×1g(5×10)+(1g2)2 =21g5+lg2×lg5+lg2+(lg2)2=21g5+ Ig 2X(1g 5+1g 2)+1g 2=21g 5+1g 2+1g 2 =2(1g5+lg2)=2. 原式=og45×12x (3)分子=lg5(3+31g2)+3(1g2)2=31g5+ 3lg2(1g5+lg2)=31lg5+3lg2=3(1g5+lg2)=3; 分#=(g6+2)-®J8品× =lg6+2 g718=4原式= .6 3.解：(1)原式=g3.g5.g16=lg16=4g2 1g 2 1g 3 1g 5 1g 2 1g 2 =4. (2)原式= 1g 21g 2(1g 31g 3 1g31g9八1g41g8 lg2+lg2)lg3+lg3-31g2,51g3 (1g3+21g3八21g2十31g2-21g3·61g2 5 4 课堂达标 1.AD[由指数、对数互化的关系： a2=N台x=log N可知A、D正确.] 参考答案 2.B[原式=logs(3×5)-1og(2×3)=1-1=0.] 3-x>0, 3.D [{x-1>0,解得1<x<3且x≠2.] x-1≠1， 4.20 5.解：(1)原式=log(5×7)一2(1og7-log3)+ logs7-log5+log7-20g7+2log +1log57-21og53+log5=2. (2)原式=21g6W3+5+W3-5)2=21g(3+ 5+3-5+2√9-5)=21g10=2 课后检测评价 1.AD 2.D 3.C[设lgx=t,则t2+(1g2+lg3)t+lg2lg3=0. 据=l8'又+2=-1g2-1g3=1gx十 t2=1g x2, g=行] 4D[1og,号·1og,61gsx=g)3·g9 -1g 3 1g 6 gg=182,gx=—2g5=g5 1g5 =5=云 5.36.0 10 5 7.解：(1)原式= 831ogg√②>1 .50 g车一1-0. Ie o 5 1g4 (2)原式=1g5(31g2+3)+3(1g2)2-lg6+ lg6-2=3·lg5·lg2+3lg5+31g2-2 =31lg2(1g5+lg2)+3lg5-2=31g2+3lg5-2 =3(1g2+1g5)-2=3-2=1. 8.解：(1)，log。2=m,log。3=n,am=2,a”=3. ∴a=an÷a=(ay2÷a=2÷3=号 (2)log.18=log。(2×32)=log.2+log.32 =log 2+210ga3=m+2n. 第5节对数函数及其性质 课前预习导引 知识点1 log。x(a>0,且a≠1)x 知识点2 (1,0)y<0y>0y>0y<0增函数减 函数 知识点3 y=a(a>0,且a≠1) 课堂典例探究 变式训练 1.(1)C(2)A2.(1)A(2)A 137高中新知探究学习 第二篇 第3节 指数函数及其性质的应用 课堂典例探究 规律方法afx>a)(a>0且a≠1) 型的指数不等式的解法 M类型一 利用指数函数单调性比较幂☒ (1)a>1时，a>ao台f(x)>g(x). 的大小 (2)0<a<1时，afm>a8w台f(x) 例1川已知a=0.77.2,b=1.2.7,c=π°，则 <g(x). a,b,c的大小关系是 ( 提醒：不等式的解集一定要写成集合或 A.a<b<c B.c<b<a 区间的形式，不能写成不等式的形式. C.a<c<b D.c<a<b [变式训练] [解析](1)a=0.771.2,0<a<1, 2.(1)不等式3-2>1的解为 b=1.2.77>1,c=x°=1，则a<c<b. [答案]C (2)若a+1> (a>0,且a≠1)，求x 规律方法 的取值范围 比较幂值大小的三种类型及处理方法 底数相同， 利用指数函数的单调性来判断 指数不同 底数不同 利用底数不同的指数函数的图 指数相同 象的变化规律来判断 底数不同 指数不同 通过中间量来比较 [变式训练] 1.已知a )6-()c-() 则a,b,c的大小关系是 类型三-指数函数的综合应用园 A.c<a<b B.a<b<c 阿已知函数)=1-异 C.b<a<c D.c<6<a (1)求函数f(x)的定义域，判断并证明 八类型二。 解指数不等式 f(x)的奇偶性； 圆引1懈不等式()广'2， (2)用单调性定义证明函数f(x)在其定 (2)若a3x>a+4(a>1),求x的取值 义域上是增函数； 范围. (3)解不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0. [解](1)原不等式曰22x+1≤2曰-2x [解](1)因为3x>0,3十1≠0，函数 +1≤1台x≥0， f(x)的定义域为R,f(x)=1一 32+1 故原不等式的解集为[0，十∞). =3+1-2_3-1 (2)因为f(x)=a(a>1)是R上的增函 32+13+1 数，且a3x>a+4,所以-3x>x十4， 即x<-1, 所以--K 故x的取值范围是（一∞，一1）. 所以f(x)是定义在R上的奇函数. >>>>>>97 衔接教材一本通 数学 (2)任取x1,x2∈R且x1<x2, (1)求a的值； 2 则f(x1)一f(x2)=1一 (2)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调 3+1 性，并用单调性定义给予证明； 2 (3)求函数f(x)的值域. 3+135+1 2= 2(32+1)-2(3+1) 321+1 (31+1)(3+1) 2(31-32) (3+1)(3+1) 因为x1<x2,所以3-35<0. f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所 以函数f(x)在其定义域上是增函数. (3)由f(3m+1)+f(2m-3)<0得 f(3m+1)<-f(2m-3),因为函数 f(x)为奇函数， 所以-f(2m-3)=f(3-2m), 所以f(3m十1)<f(3-2m). 由(2)已证得函数f(x)在R上是增 函数， 所以f(3m+1)<f(3-2m)台3m+1 ☑课堂达标 <3-2m, 1.下列函数中是奇函数，且在(0，十∞)上 所以m景不等式f3m十1D+f(2m 单调递增的是 () A.y=1 B.y=x 3)<0的解桑为{mm<号} C.y=2 D.y=x 规律方法解决指数函数性质的综合 2.下列关系中正确的是 问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此 a(2)<2<) 讨论指数函数的单调性时，一定要明确底 数与1的大小关系.与指数函数有关的函 )<)< 数的单调性也往往与底数有关，其解决方 法一般是利用函数单调性的定义. c.2<)°<)月 (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是 与指数函数有关的函数可以具有奇偶 n.2<)< 性，其解决方法一般是利用函数奇偶性 的定义和性质. 品.函数fx)=(3) 在[-1,0]上的最大 [变式训练] 值是 () A.-1 B.0 C.1 D.3 3已知定义在R上的函数f()=2十会， 4.函数y=a(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最 a为常数，若f(x)为偶函数. 大值与最小值的和为3，则a= 98 高中新知探究学习 第二篇\ 5.1)已知（号八>（号八，比较a,的大小， 三、解答题 7.函数f(x)= (2)比较(0.8)-2与 的大小 的定义蚊为聚合小， 3 关于x的不等式（合）>2(a∈R)的 解集为B,求使A∩B=B的实数a的取 值范围. 课后检测评价 一、选择题 1.若函数f(x)=(1-2a)'在实数集R上是减 8.浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷 函数，则实数a的取值范围是 来打卡（观光或消费），某校数学建模社 B.(0.2) 团根据调查发现：该购物中心开业10天 (含10天)内，每天打卡人数P(x)与第x c.（-,) n(-32 天近似地满足函数P(x)=8十2a一)（万 人)，k为正常数，且第8天的打卡人数为 2.函数y=a在[0,1]上的最大值与最小 9万人 值的和为子，则函数y=3a21在[0,1]上 (1)求k的值； 的最大值为 ( (2)求第10天的打卡人数， A.16 B.15 C.12 <23-a,则实数a的取值范 围是 ( A.(0,+∞) B.R C.(-∞，0) D.全不对 4.函数y=33+红x的单调递增区间是 ( A.(-∞，2] B.[2,+∞) C.[1,2] D.[1,3] 二、填空题 5.若-1<x<0,a=22,b=22,c=0.2,则 a,b,c的大小关系是 6.已知函数f(x)=2x-a(a为常数)，若 f(x)在[1，十∞)上是增函数，则a的取 值范围是 >>>>>99