2 第4章 指数函数与对数函数 第2节 指数函数的图象及性质-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第2节指数函数的图象及性质 学习目标 1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索 并理解指数函数的单调性与特殊点. 2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 化解疑难 课前预习导引 透析指数函数的图象与性质 知识点① 指数函数的定艾 (1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和 函数 叫做指数函数，其中x是 0<a<1两种情况讨论函数的图象和 性质. 自变量 (2)当a>1时，x的值越大，函数的图象越 化解疑难 接近y轴；当0<a<1时，x的值越大， 指数函数的概念中规定a>0且a≠1的原因 函数的图象越接近x轴 (1)若a=0,则当x>0时，a2=0;当x≤0 (3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都 时，a2无意义. 在第一、二象限. (2)若a<0,则对于x的某些数值，可使a 课堂典例探究 无意义.如(-2)，这时对于x=日，x 心类型一 指数函数的概念 多，在实数范国内面数值不存在。 例川(1)下列各函数中，是指数函数的是 知识点②指数函数的图象与性质 A.y=x B.y=(-4) a>1 0<a<1 C.y=5x+1 D.y=52 (2)若函数y=(a2-5a十5)a是指数函 Ay y=a y=a (0<a<1) 数，则a= /(a>1) 图象 y=1 y=1- 0,1 [解析](1)根据指数函数的定义可知 0,1) 只有选项D是指数函数 (2)由题意可知 定义域 R [a2-5a+5=1, [a=4或a=1, a>0, 即{a>0, 值域 (0,+∞) a≠1， a≠1， 过点，即 所以a=4. 过定点 x= 时，y= [答案](1)D(2)4 性 规律方法 质 当x>0时， 当x>0时， 1.判断一个函数是指数函数的方法 函数值 (1)看形式：只需判定其解析式是否符合 的变化 当x<0时， 当x<0时， y=a(a>0,且a≠1)这-一结构特征 (2)明特征：指数函数的解析式具有三个 特征，即①a>0且a≠l;②a的系数 单调性 是R上的 是R上的 为1；③指数位置自变量x的系数为1.只 要有一个特征不具备，就不是指数函数. 94《《(《< 高中新知探究学习 第二篇 2.已知某函数是指数函数求参数值的 [变式训练] 两个步骤 2.(1)已知函数f(x)=a+1十3的图象一 (1)列：根据底数大于0且不等于1，a 定过点P,则点P的坐标是 的系数是1且指数位置自变量x的系 的图象有什么特征？你 数是1，列出方程（组）或不等式（组）. 2)函数y-(》 能根据图象指出其值域和单调区间吗？ (2)解：解所列方程（组）或不等式（组）， 求出参数的值 [变式训练] 1.(1)判断函数是指数函数的是 A.y=z2 B.y=4x2 C.y=x* D.y=(a-1)(a>1,且a≠2) (2)已知函数f(x)=(2a一1)”是指数函 数，则实数a的取值范围是 八类型二。 指数函数的图象 网 例2（1)函数f(x)=a-6 类型三。与指数函数有关的定义域☒ 的图象如图所示，其中 2 和值域问题 .1 a,b为常数，则下列结论 [例3求下列函数的定义域与值域 -10 正确的是 ) 1 (1)y=2; (2)y= A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 [解] (1).由x一4≠0，得x≠4， (2)函数y=a3+3(a>0,且a≠1)的图 ∴.函数的定义域为{xx∈R,且x≠4} 象过定点 x一4≠0， [解析](1)由于f(x)的图象单调递减， ∴.2六≠1.∴.y=2京的值域为(0,1)U 所以0<a<1, 又0<f(0)<1,所以0<ab<1=a°，即 (1,+∞) (2)函数的定义域为R.|x≥0， 一b>0,b<0,故选D. 2 x 3) |x| (2)令x一3=0得x=3,此时y=4.故函 .y= 3 数y=a3+3(a>0,且a≠1)的图象过 x 定点(3,4) 故y一 的值域为[1，十∞). [答案](1)D (2)(3,4) 规律方法 规律方法 函数y=afa定义域、值域的求法 指数函数图象问题的处理技巧 (I)定义域：形如y=aa形式的函数的 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数 定义域是使得f(x)有意义的x的取值 的图象过定点 集合 (2)利用图象变换，如函数图象的平移 (2)值域：①换元，令t=f(x); 变换左右平移、上下平移· ②求t=f(x)的定义域x∈D; (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶 ③求t=f(x)的值域t∈M; 性确定函数的对称情况，单调性决定函 ④利用y=a的单调性求y=a,t∈M 数图象的走势 的值域。 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 3.已知函数f(x)=a1(x≥0)的图象经过 课后检测评价 点(2,2)，其中a>0且a≠1. 一、选择题 1.下列各函数中，是指数函数的是() (1)求a的值；(2)求函数y=f(x)(x≥0)的 A.y=(-3) B.y=-3 值域. C.y=3x-1 2.y=2-1的定义域是 A.(-∞，+∞)B.(1,十∞) C.[1,+∞) D.(0,1)U(1,+∞) 3.下列图象中，有可能表示指数函数的是 ☑课堂达标 1.下列函数中一定是指数函数的是( 2,x<0, 4. 设函数f(x)= 若 A.y=5x+1 B.y=x g(x),x>0. f(x)是奇函数，则g(2)的值是() C.y=3* D.y=2·3 2.函数f(x)=(a2-3a+3)a是指数函 A一R-4 c D.4 数，则有 ) 二、填空题 A.a=1或a=2 B.a=1 5.方程2x-1=a有唯一实数解，则a的 C.a=2 D.a>0且a≠1 取值范围是 2,x<0则 6.函数f(x)=a2+2x-3+m(a>1)恒过定 3.已知函数f(x)= 3,x>0, 点(1,10)，则m= f儿f(-1)]= 三、解答题 ( 7.已知函数f(x)=a十b(a>0,且a≠1). A.2 B.√3 C.0 D.2 (1)若f(x)的图象如图①所示，求a,b 的值； 4.函数f(x)=a-1+2(a>0,a≠1)恒过定 (2)若f(x)的图象如图②所示，求a,b的 点 取值范围； 5.设f(x)=3,g(x)= (3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一 个实数解，求出m的取值范围. (1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的 图象； (2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π)， f(m)与g(-m)的值，从中你能得到什么 结论？ 图① 图② 964B[由题知a0厂吾+6厂号 6源-0.就老B 5.③6.16 7.解：(1)a.a=a}.a=a品； (2)原式=a克.a·b=a景； (3)原式=a号·a是=a是； (4)原式=(a)2·a是·b2=ab. 8.解：，'a≠0，a-27b≠0， :原式=a子+3ab+(363)×a3-36 a3(a-27b) af =(a)3-(361)3 =a号 a(a-27b) ()-()-(- 第2节 指数函数的图象及性质 课前预习导引 知识点1 y=a(a>0,且a≠1) 知识点2 (0,1)01y>10<y<10<y<1y>1 增函数减函数 课堂典例探究 变式训练 1.(1)D (2(31ju,+m) 2.解析：(1).当x+1=0,即x=-1时，f(x)= a°+3=4恒成立，故函数f(x)=a+1十3恒过 (一1,4)点 ,x≥0， (2)y= ,x<0, 六共图象由y=(侵)广女≥0)和y=g<0)的 图象合并而成 y 而=（侵厂(x>0)和y=2(x<0)的图象关于 y轴对称，所以原函数的图象关于y轴对称.由 图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是（一∞， 0],单调递减区间是(0，十∞). 答案：(1)(-1,4)(2)见解析 参考答案\ 3.解：1：fx)的图象过点(2,2)： a2-1= 1 2由)知，f)-(合) ,x≥0. 由x≥0，得x-1≥-1， 于是0<()≤()小 =2, 所以函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2]. 课堂达标 1.C[有=3=(3) 符合指数函数的定 义，A,B,D中函数都不符合y=a(a>0且a≠ 1)的形式.] 1a2-3a+3=1 2.C[由指数函数的定义知： {a>0且a≠11 .a=2(a=1舍去).] 3.B-1D=21-f-1]=f(2)=3 =√3.] 4.(1,3) 5.解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示： =' x)=3 -101 2f0==3,8-1D-(G) =3 f-,a--() =3. fm)=3”8g-m)-(（】 =3m 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值 互为相反数时，其函数值相等 课后检测评价 1.D2.A3.C 4.A[当x>0时，-x<0,f(-x)=2, 即-f)=(…g)=f)=-()月 因此有g(2)= (2)=- 5.a≥1或a=0 6.解析：当x=1时，x2+2x一3=0，故a°十m= 10,所以m=9. 答案：9 7.解：(1)因为f(x)的图象过点(2,0)，(0，一2)， 所以0十b=0,解得a=3,6=-3. a°+b=-2; (2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)， 因为f0)=1+b<0,即b<-1, 所以b的取值范围为（一∞，一1） >>>>>>>>135 衔接教材一本通 (3)由题图①可知 y=|f(x)| 的图象如图所示. y 2 2 x -2 由图可知使 |f(x)|=m 有且仅有一个实数解的 m的取值范围为 m=0， ，或 m≥3. 第3节指数函数及其性质的应用 课堂典例探究 变式训练 1.D[由 $$y = \left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { x }$$ $$- 1 ^ { x }$$ 的图象知 $$\left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } > \left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 4 } }$$ >1， 又 $$\because \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } < 1 ， \therefore a > b > c . \right]$$ 2.解析： $$\left( 1 \right) 3 ^ { x - 2 } > 1 > 3 ^ { x - 2 } > 3 ^ { 0 } \Rightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ，$$ 所以解为 (2，+∞). (2)因为 $$a ^ { x + 1 } > \left( \frac { 1 } { a } \right) ^ { 5 - 3 x } = a ^ { 3 x - 5 } ，$$ a>1 时， $$， y = a ^ { x }$$ 为增函数，可得 x+1>3x-5， ，所以x <3. 当 0<a<1 时， $$， y = a ^ { x }$$ 为减函数，可得 x+1<3x 一5，所以 x>3. 综上，当 a>1 时，x的取值范围为 (-∞，3)， 当 0<a<1 时， x 的取值范围为 (3，+∞). 答案： (1)(2，+∞) (2)见解析 3.解：(1)由 f(x) 为偶函数得对任意实数 x 都有 $$2 ^ { x } + \frac { a } { 2 ^ { x } } = \frac { 1 } { 2 ^ { x } } + a \cdot { 2 ^ { x } }$$ 成立，即 $$p ^ { x } \left( 1 - a \right) = \frac { 1 } { 2 ^ { x } }$$ (1-a)， ，所以 1-a=0， ，所以 a=1. (2)由(1)知 $$f \left( x \right) = 2 ^ { x } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } ， f \left( x$$ (0，+∞) 上 单调递增. 证明如下：任取 $$x _ { 2 } ， x _ { 2 } \in \left( 0 ， + \infty \right)$$ 且 $$x _ { 1 } < x _ { 2 } ，$$ 则 $$f \left( x _ { 1 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) = 2 ^ { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { x _ { 1 } } } - \left( 2 ^ { x _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { x _ { 2 } } } \right) =$$ $$\left( 2 ^ { x _ { 1 } } - 2 ^ { x } \right) + \left( \frac { 1 } { 2 ^ { x _ { 1 } } } - \frac { 1 } { 2 ^ { x _ { 2 } } } \right)$$ $$= \left( 2 ^ { x _ { 1 } } - 2 ^ { x _ { 2 } } \right) + \frac { 2 ^ { x _ { 2 } } - 2 ^ { x _ { 1 } } } { 2 ^ { x _ { 1 } } - 2 ^ { x _ { 2 } } } = \left( 2 ^ { x _ { 1 } } - 2 ^ { x _ { 2 } } \right) .$$ $$\left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { x } \cdot { 2 ^ { x _ { 2 } } } \right) } = \left( 2 ^ { x _ { 1 } } - 2 ^ { x _ { 2 } } \right) \cdot \frac { 2 ^ { x _ { 1 } + x _ { 2 } } - 1 } { 2 ^ { x _ { 1 } + 1 _ { 2 } } } ，$$ 因为 $$x _ { 1 } < x _ { 2 } ，$$ ，且 $$x _ { 1 } ， x _ { 2 } \in \left( 0 ， + \infty \right) ，$$ ，所以 $$2 ^ { x _ { 1 } } <$$ $$2 ^ { x _ { 2 } } ， 2 ^ { x _ { 1 } + x _ { 2 } } > 1 ，$$ 所以 $$f \left( x _ { 1 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) < 0 ，$$ ，即 $$f \left( x _ { 1 } \right) < f \left( x _ { 2 } \right) ，$$ ，所以 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增. (3)由 (2) 知 f(x) 在 [[，+∞) 上单调递增， 又由 f(x) 为偶函数知函数 f(x) 在 (-∞，0] 单调递减，所以 f(x)≥f(0)=2. .故函数 f(x) 的值域为 [2，+∞). 136 <<<<<< ( 数学 课堂达标 1.D [y=二在(0，十∞)上单调递减，所以排除 A;y=|x|是偶函数，所以排除B;y=2为非奇 非偶函数，所以排除C.选D.] 2.B2-(合))=（合是R上的减函教， ()>()≥() 即2>（侵）>-（侵）J 3.D[:y=(3在[-10]上为减函数， 当x=-1时，fx)m=()'=3.] 4.解析：a°十a=3,即1十a=3,∴.a=2. 答案：2 5解：0<号<1y-(号) 在R上单调递减， 又()>≥(aa (2)先考虑函数y=0.8,0<0.8<1, ∴.函数y=0.8”在（一∞，十∞）上是减函数， 又-2<0，.0.8-2>0.8°=1. 秀考画数y(八：>1 “函数y=(号在（一，十∞）上是增函数。 又-<0()<（=1 综上可知，0.8>(3)。 课后检测评价 1.B2.C 3.B[函数y= ( 在R上为减函数，所以2a +1>2a-3,即1>-3.恒成立，∴.a∈R.] 4.A[令u=-3十4x-x2,y=3“为增函数，所以 y=33+r-的增区间就是u=-3十4x一x2的 增区间(-∞，2].] 5.b<a<c 6.(-∞，1] 7解：由2≥0，解得-2或>1 于是A=(-∞，-2]U(1,十∞)， ()>2-()>(合)广2x<a+ 台x<a,所以B=(-∞，a). 因为A∩B=B,所以B二A,所以a≤-2， 即a的取值范围是(-∞，-2].