2 第3章 函数 第5节 幂函数-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇 第5节 幂函数 学习目标 1.通过实例，了解幂函数的概念 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= y=x产的图象，了解它们的变化情况 课前预习导3 课堂典例探究 知识点① 幂函数的概念 心类型二。 幂函数概念理解及应用_冈 般地，函数 叫做幂函数，其中 「例1函数f(x)=(m2一m-5)xm-1是幂函 是自变量， 是常数， 数，且当x∈(0，十∞)时，f(x)是增函 化解疑难 数，试确定m的值， 幂函数的特征 [解]根据幂函数的定义，得m2-m-5 (1)以幂的底为自变量，指数为常数（高中 =1,解得m=3或m=-2. 阶段只学习指数为有理数的幂函数)； 当m=3时，f(x)=x2在(0，十∞)上是 (2)x前的系数为1，且只有一项. 增函数； 知识点②常见幂函数的图象和性质 当m=-2时，f(x)=x3在(0，十∞)上 解析式 y=x y=z2 y=z3 y=1 y=x青 是减函数，不符合要求.故m=3. 图象 规律方法 O x /0 0 判断一个函数是否为幂函数 定义域 判断一个函数是否为幂函数的依据是 值域 该函数是否为y=x“(a为常数)的形 奇偶性 式，即：(1)系数为1；(2)指数为常数； (3)后面不加任何项.反之，若一个函数 单调性 定点 (1,1) 为幂函数，则该函数必具有这种形式 [变式训练] 化解疑难 幂函数的性质归纳 1.如果幂函数y=(m2一3m十3)xm-m-2的 (1)所有的幂函数在区间(0，十∞)上都有 图象不过原点，求实数m的取值！ 定义，并且图象都过点(1,1). (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且 在区间[0，十∞)上是增函数， 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凹； 当0<a<1时，幂函数的图象上凸. (3)a<0时，幂函数的图象在区间(0，十∞) 心类型二。幂函数的图象及其应用☑ 上是减函数.在第一象限内，当x从右 边趋向原点时，图象在y轴右方无限地 例2如图所示，曲线C与C,分别是函数 逼近y轴正半轴；当x趋于十∞时，图 y=xm和y=x”在第一象限内的图象，则下 象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 列结论正确的是 ( >>>>>>87 衔接教材一本通 数学 [解] (1)函数y=x在(0，十∞)上为 减函数， 又3<3.1，所以3>3.1-」 A.n<m<0 B.m<n<0 函数y=x在(0，十o∞)上为增函数， C.nm>0 D.m>n>0 [解析]画出直线 又日>则8)>日)， y=x°的图象，作出 (2,29 直线x=2,与三个函 2,2C: 数图象交于点(2， x=2 2°)，(2,2m),(2,2”).由三个点的位置关 a)-() 系可知，n<m<0.故选A. [答案]A 〔)-()， 规律方法解决幂函数图象问题应把 暴函数y=x号在(0，十∞)内单调递减， 握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相 又：>()<() 关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函 数图象越靠近x轴简记为指大图低； 规律方法比较两个幂的大小的关键 在(1，十∞)上，指数越大，幂函数图象 是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相 越远离x轴（简记为，指大图高） 同，利用指数函数的性质比较大小；若指 (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小 数相同，利用幂函数的性质比较大小；若 关系，即根据幂函数在第一象限内的图象 底数指数均不同，考虑利用中间值来比较 (类似于y=x1或y=x或y=x)来 大小 判断. [变式训练] [变式训练] 3.已知a=(-2025)3,b=(-2026)3,则 2.若四个幂函数y=x,y ( =x,y=x,y=x2在 A.a>b>0 B.b>a>0 同一坐标系中的图象如 y=x C.0>a>b D.0>6>a 图，则a,b,c,d的大小 ☑课堂达标 关系是 ( 1.下列命题中正确的是 ( ) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d-c-a>b A.当a=0时，函数y=x的图象是一条 D.a>b>d>c 八类型三」 幂函数的性质及应用☒ 直线 「例3引比较下列各组数的大小. B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1) 两点 1)3与3.1，(2)-8与-（日）； C.若幂函数y=x的图象关于原点对 ()与-) 称，则y=x在定义域上是增函数 D.幂函数的图象不可能在第四象限 88< 高中新知探究学习 第二篇 2.函数y=x的图象是 4.函数y=x的图象是 单半小 3.设a∈{-1,123}则使函数y=x的 二、填空题 定义域是R,且为奇函数的所有a的值是 5.已知幂函数f(x)=xm+2m+3(m∈Z)为 偶函数，且在区间(0，十∞)上单调递增， ( 则函数f(x)的解析式为 A.1,3 B.-1,1 6.已知当x∈(1，十∞)时，函数y=x的图 C.-1,3 D.-1,1,3 4.幂函数y=x1在[一4，-2]上的最小值 象恒在直线y=x的上方，则α的取值范 为 围是 三、解答题 5.已知幂函数y=xm-2m-3(m∈Z)的图象 与x,y轴都无公共点，且关于y轴对称， 7.已知函数f(x)=(m2十2m)·xm+m-1, 求m的值，并画出它的图象. m为何值时，函数f(x)是： (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数. 课后检测评价 一、选择题 1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点 8.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关 4,号)，则2) 于y轴对称，且在(0，十∞)上单调递减， ( 求满足(a十3)-号<(5-2a)号的a的取 A B.4 D.√2 值范围. 2.若幂函数y=(m2十3m十3)xm+2m-3的图 象不过原点，且关于原点对称，则( A.m=-2 B.m=-1 C.m=-2或m=-1D.-3≤m≤-1 3.在同一坐标系内，函数y=x(a≠0)和 y=m-上的图象可能是 () >>>>>>89课后检测评价 1.A2.C 3.C[.f(x)在R上为奇函数，∴.f(-x)=一f(x. ∴.f(x)十f(一x)=f(x)一f(x)=0,故①正确. f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正确. 当x=0时，f(x)·f(一x)=0,故③不正确. 当=0时，天号-吕无室义，收团不正确】 4.D[根据题意有f(x)十g(x)在(0，十∞)上有 最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所 以f(x)十g(x)是奇函数且f(x)十g(x)在 (-∞，0)上有最小值一6，则F(x)在(-∞，0) 上有最小值一6十2=一4，故选D.] 5.56.②④①③ 7.解：(1)解：f(x)是定义在(-1,1)上的奇 函数， f(-x)=-f(x), p十6一二ax2飞.“.b=一b,b=。.■ 1+x2 1 1工号，小a=1 4 画数解折式为fx)=1千2(-1Kx<1D. (2)证明：任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, f(x)-f(x2)=,1 1+x1+x =（x-x2)(1-x1x2) (1+x)(1+x), -1<x1<x2<1,.x1-x2<0,1-x1x2>0, (1+x)(1+x)>0, .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)为(-1,1)上为增函数. (3)解：.f(t-1)+f(t)<0,∴.f(t-1)<-f(t). f(x)是(-1,1)上的奇函数，∴f(-t)=-f(t), .f(t-1)<f(-t). f(x)为(-1,1)上的增函数， [-1<t-1<1, -1K-4<1,解得0<4<分 t-1<-t. 不等式的解案为{0<<号} 8解：（若画发）-去是K上的偶函数， 则f(-x)=f(x),即m()十1=mx十1 1+(-x)2 1+x2’ 解得m=0. 参考答案 (2)函数f(x)在（一∞，0]上单调递增.理由如下： 1 由(1)，知f(x)= 1+x2 设任意的x1,x2∈（一∞，0]，且x1<x2, 则f(x)-f(x)=1十1+ 11 =1十x号-1-号=（红，十x)(红-x) (1+x)(1+x2) (1+x)(1+x) 因为x1<x2≤0， 所以x2+x1<0,x2-x1>0,(1+x)(1十x)>0, 所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在（一∞，0]上单调递增. (3)由(2)，知函数f(x)在（一∞，0]上单调递 增.又f(x)是R上的偶函数， 所以f(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以f(x)在[一3,0)上单调递增， 在[0,2]上单调递减， 又f(-3)=0f0)=1,f2)=号， 所以f）m=f0)=1,fx=f-3)=0 第5节幂函数 课前预习导引 知识点1 y=x"x a 知识点2 RRR{x|x≠0}[0，+∞)R[0,+∞) R{yly≠0}[0，+∞)奇函数偶函数 奇函数奇函数非奇非偶函数入（一∞，0] ,[0,+∞)T1(-∞，0)，(0，+∞)八y入 课堂典例探究 变式训练 1.解：由幂函数的定义得m2-3m十3=1，解得m =1,或m=2; 当m=1时，m2一m一2=-2，函数为y=x2, 其图象不过原点，满足条件； 当m=2时，m2-m一2=0，函数为y=x°，其图 象不过原点，满足条件. 综上所述，m=1,或m=2. 2.B[令a=2,6=分6=-3d=-1,正好和题 目所给的形式相符合.在第一象限内，x=1的右 侧部分的图象，图象由下至上，暴指数增大，所 以a>b>c>d.故选B.] 3.B[因为y=x3是增函数， 因为-2025>-2026， 所以0>(-2025)3>(-2026)3，即0>a>b.] >>>>>>>>133 衔接教材一本通 课堂达标 1.D2.B 3.A[当a=一1时，y=x1的定义域是{x|x≠ 0},且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义 城是R,且为寺函数：当a=号时，函数)=的定 义域是{xx≥0}，且为非奇非偶函数；当a=3时， 函数y-x3的定义域是R且为奇函数.故选A.] 4 2 5.解：由已知，得m2-2m-3≤0，所以-1≤m≤3. 又因为m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3. 当m=0或m=2时，y=x3为奇函数，其图象 不关于y轴对称，不符合题意. 所以m=士1或m=3.当m=一1或m=3时， 有y=x°，其图象如图(1). 当m=1时，y=x4,其图象如图(2) (00 课后检测评价 1.C2.A 3.C[当a<0时，函数y=ax-是减函数，且 在y轴上的裁距-1>0，y=x在(0，十∞)上 是减函数，∴A,D两项均不正确.对于B,C两 项，若a>0则y=ax-】是增函数，B项错误，C 项正确，故选C.] 4,A[y=为偶函数，图象关于y轴对称，又号 >1,在第一象限内，图象为下凸递增的.] 5.f(x)=x46.(1,+∞) 7.解：（1)若函数f（x)为正比例函数，则 m2+m-1=1∴m=1. 1m2+2m≠0， (2)若函数f(x)为反比例函数，则 m2+m-1=-1m=-1. 1m2+2m≠0， (3)若函数f(x)为暴函数，则m2十2m=1, ∴.m=-1土√2. 8.解：因为函数在(0，十∞)上单调递减，所以3m 9<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2. 因为函数的图象关于y轴对称，所以3m一9为 偶数，故m=1,则原不等式可化为(a十3)言< (5-2a)-. 因为y=x在（一∞，0），(0，十∞)上单调递 减，所以a+3>5-2a>0或5-2a<a+3<0 或a+3<0<5-2a,解得号<a<号或a<-3 134(((<<< 数学 第四章指数函数与对数函数 第1节 指数与指数幂的运算 课前预习导引 知识点1 1.x”=aa根指数被开方数 2.0 aa lal a-a 知识点2 1.am0无意义2.a+a”ab3.实数 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)x<π，x-π<0. 当n为偶数时，W(x一π)”=|x-π=π一x;当n 为奇数时，W(x一π)”=x一π. 综上可知W(x-严-π一x,n为偶数，n∈N, x-π，n为奇数，n∈N*. (2)a≤21-2a≥0， ∴94a2-4a+1=9(2a-1)2=91-2a) =1-2a. 2.C[-E=-x(x>0);9y=[(y)2]= -y(y<0); x-t-x>o-()月 沿o.1 3.解：(1)原式=-4a2-1b3+1÷(12a4b2c) 343-b-9c1=-3a1=-是 (2)原式=2a寺÷(4ab)X(3b2) =a-6t:6=昌a. 课堂达标 1.B[根据根式的性质可知B正确.] 2.B[8=(23)号=4.] 3.B[(2-W3)2025(2+√5)2026=(2-√3)2o25 (2+W3)225(2十√3)=[(2-√3)(2+3)]25] X(2+3)=1225×(2+√5)=2+√3. 4.4 5.解：(1)原式=[xy2·(xy1)]·(xy)立· (xy)- =x专·y号|x言|y黄.x厂y厂专 =x·lx寸=1x>0 {-1,x<0 (2)原式=++2+1-2 √2√2 =2√2-3. 课后检测评价 1.B2.C 3.A=-正=-√Fz] x