2 第3章 函数 第3节 函数的单调性与最大(小)值-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第3节 函数的单调性与最大（小）值 学习目标 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义 (0,十∞)上单调递减，却不能表述为： 课前预习导引 函数y-在(-0,0U(0,十0)上单 知识点① 函数的单调性 调递减。 1.增（减）函数的定义 (4)并非所有的函数都具有单调性.如函数 设函数f(x)的定义域为1 增函数 诚函数 f(x)= 收任经死数发不头有华 如果对于区间【内的任意 如果对于区间1内的任意 两个值x1,x2,当x1<x2 两个值x1,x2,当x1<x2 调性 时，都有 对比 时，都有 函数的最大值、最小值 那么就说函数f(x)在区 记忆 那么就说函数f(x)在区 知识点② 间1上是单调增函数，1称 间I上是单调诚函数，1称 为f(x)的单调增区间 为∫(x)的单调减区间 最值 最大值 最小值 y=f(x) y=f(x) 图 函数y=f(x)的定义域为I,存在 象表 if(x2) 表 实数M满足： 示 if(x1) f(x1)if(x2) 07 t (1)对任意x 2.单调性与单调区间 条件 (1)对于任意的x ∈I,都有 如果函数y=f(x)在区间D上是 ∈I,都有 ,那么就说函数y=f(x)在这一 (2)存在x∈I, (2)存在x∈ 区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 使 1,使 函数y=f(x)的单调区间. 化解疑难 M是函数y= 结论 M是函数y= 1.x1,x2的三个特征 f(x)的最 f(x)的最大值 (1)任意性，即x1,x2是在某一区间上的任 小值 意两个值，不能以特殊值代换； 化解疑难 (2)有大小，即确定的两个值x1,x2必须区 1.函数最大（小）值的几何意义 分大小，一般令x<x2; 函数的最大值对应图象最高点的纵坐 (3)同属一个单调区间. 标；函数的最小值对应图象最低点的纵 2.理解函数的单调性应注意的问题 坐标 (1)函数的单调性是函数的局部性质，体现 2.函数的最大（小）值与值域、单调性之间 在函数的定义域或其子区间上，所以函 的关系 数的单调区间是其定义域的子集 (1)对一个函数来说，一定有值域，但不一 (2)函数的单调性是对某个区间而言的，在 某一点上不存在单调性 定有最值，如函数)=子如果有最值， (3)一个函数出现两个或者两个以上的单 则最值一定是值域中的一个元素 调区间时，不能用“U”连接，而应该用 (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调，则 f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大 “和”连接.如函数y=是在(-∞，0)和 值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 高中新知探究学习 第二篇\ [变式训练] 课堂典例探究 1.求证：函数f()=x+1在(0,1)上是减 类型一小 函数单调性的证明 函数 [例求证：函数f(x)=二在(0，+∞)上 是减函数，在（一∞，0）上是增函数， 证明]对于任意的x1,x2∈（一∞，0）， 且<有))克月 2-x_(2x)(x2十x） = aa xt x1<x2<0, x2-x1>0,x1+x2<0,xx>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 八类型二 由函数的单调性求参数的范围☑ 即f(x1)<f(x2).∴.函数 -(a-2)x,x≤1， 2 ∫)=是在(-0,0)上是增函数 「例2若函数f(x)= 十1x>1, ax 对于任意的x1,x2∈(0，十∞)，且x1< 在R上为增函数，求a的取值范围. x2,有f(x1)-f(x2) [解] -（2-x)(x2十x1） 由y=合-(a-2)x在(-01 xixz 上适增，则a-20,即a<2.y千 0<x1<x2, .x2-x1>0,x2十x1>0,xx>0. au}a=a-z在(1，+o)上通 x+1 .f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 增，则a>0,又f(x)在R上为增函数，所 函效f(x)=子在(0，十四)上是减 以还需分一-(a-2》×1≤91得a≥5 函数 综上a的取位范围是 ≤a<2. 规律方法利用定义证明函数单调性 规律方法 时的变形技巧 函数单调性应用的两个关注点 (1)因式分解：当原函数是多项式函数 (1)单调性的定义的“双向性”：利用定 时，常进行因式分解. 义可以判断、证明函数的单调性，反过 来，若已知函数的单调性可以确定函数 (2)通分：当原函数是分式函数时，作差 中参数的取值范围. 后通分，然后对分子进行因式分解. (2)若一个函数在区间[a,b]上是单调 (3)分子有理化：当原函数是根式函数 的，则此函数在这一单调区间内的任意 时，作差后往往考虑分子有理化， 子集上也是单调的 >>>>>>>>79 衔接教材一本通 数学 [变式训练] ②y=2a>0时单调减区间为(-∞， 2.若函数f(x)= (3a-1)x+4a,z<1,是 -ax,x≥1 0)和(0，十∞)，a<0时单调增区间为 定义在R上的减函数，则a的取值范 （-∞，0)和(0，十∞)； 围为 ③y=a(x-m)2+n,a>0时单调减区间 A哈》 为(-∞，m],单调增区间为[m,十∞)， a<0时单调增区间为（一o∞，m],单调减 B0,3) 区间为[m,+∞). 2.分段函数的最大值为各段上最大值 C.[g,+) 的最大者，最小值为各段上最小值的最 小者，故求分段函数的最大或最小值， D.(-,gUr日，+o) 应先求各段上的最值，再比较即得函数 类型三，_由图象求函数的单调区间☒ 的最大、最小值.当易作出分段函数的 「例3求函数f(x)=一x2+2|x|+3的单 图象时，可观察图象的最高点与最低 调区间，并指出其值域， 点，并求其纵坐标即得函数的最大、 x2+2x+3,x≥0， 小值. [解] [变式训练] *e-a 3.已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画 出y=f(x)的图象，并结合图象写出函 图象如图所示 数的单调区间. 2-10123 由图象知，函数f(x)=-x2十2|x|十3 在(-∞，-1)和[0,1]上是增函数，在 [-1,0)和(1，十∞)上是减函数.函数f(x) =一x2+21x+3的值域为(-∞，4]. 类型四，_由单调性求函数的最值☑ 规律方法 2千2x[3,51. 阿4已知函数f(x)=工二 1.确定函数单调区间的方法 (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (1)作出函数的图象，利用图形的直观 (2)求函数f(x)的最大值和最小值 性能快速判断函数的单调区间，但要注 [解](1)f(x)在[3,5]上是增函数，证 意图象一定要画准确」 明如下：任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2, (2)常见函数的单调区间： _x2-1 ①y=a.x十b,a>0时单调递增区间为 f()-f(x2)= 3一1 x1十2x2十2 (一∞，+∞)，a<0时单调递减区间为 3(x1-x2） (-∞，十0∞)； (x1+2)(x2+2) 80((((((〈 高中新知探究学习 第二篇 3≤x1<x2≤5， ☑课堂达标 .x1-x2<0,(x1+2)(x2十2)>0， .f(x1)-f(x2)<0, 1.(多选题)关于函数y= 5的单调性的 即f(x1)<f(x2), 叙述正确的是 () .f(x)在[3,5]上为增函数. A.函数在（一∞，0）上是递增的 (2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数， B.函数在（一∞，0）U(0,+∞)上是递 则f)=f3)=号， 增的 C.函数在[0，+∞)上是递增的 f)as-f5)=4 D.函数的递增区间是（一∞，0）和(0，十∞) 2.设f(x)是（一∞，十∞）上的减函数，则 规律方法求函数最值的三种方法 ( (1)观察法：对于简单的初等函数，如 A.f(a)>f(2a) 次函数、二次函数、反比例函数，可以依 B.f(a2)<f(a) 据定义域求出值域，观察得出。 C.f(a2+a)<f(a) (2)图象法：对于图象较容易画出的函 D.f(a2+1)<f(a) 数的最值问题，可借助于图象直观 3.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间 求出 (一∞，2]上是减函数，则实数a的取值 (3)单调性法：对于较复杂的函数，可利 范围是 ( ) 用单调性的判断方法，判断出函数的单 调性，然后求最值 A(-+∞ B -∞，- 1 2 提醒：利用单调性求最值时，一定要先 C.(3,十∞) D.(-∞，-3] 确定函数的定义域。 4.若函数f(x)=2x十a|的单调递增区间 [变式训练] 是[3，十∞)，则a= 4.已知函数f)-名(x∈[2,6]》，求两 5.已知函数f)-x[1,2], 1 数的最大值和最小值. (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值与最小值： >>>>>>81 衔接教材一本通 数学 三、解答题 课后检测评价 7.用定义法证明：函数f(x)=x3+x在R 一、选择题 上是增函数. 1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两 个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2) 成立，则y=f(x) () A.一定是增函数 B.一定是减函数 C.可能是常数函数 D.单调性不能确定 2.f(x)是定义在(0，十∞)上的增函数，则 不等式f(x)>f(8(x一2))的解集是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(2,十∞) D.2,9 2 8.已知函数f(x)=- x-1 3.下列有关函数单调性的说法，不正确 (1)求证：函数f(x)在[2,3]上是增函数； 的是 ( ) (2)求f(x)在[2,3]上的最大值和最 A.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则 小值. f(x)十g(x)为增函数 B.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则 f(x)十g(x)为减函数 C.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)+g(x)为增函数 D.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则 f(x)一g(x)为减函数 4.已知函数f(x)是R上的增函数，对任意 实数a,b,若a十b>0,则有 A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b) 二、填空题 5.函数y=1一3m在区间(0，十∞)上是增 x 函数，则实数m的取值范围是 6.函数f(x)=在[1，b](6>1)上的最小 值是，则6= 82(<(<8.解：(1)解法一：已知f(x-1)=x2-4x, 令x-1=t,则x=t+1,代入上式得， f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3, 即f(x)=x2-2x-3(x∈R). 解法二：.f(x-1)=(x-1)2-2(x一1)-3， ∴.f(x)=x2-2x-3(x∈R). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 则依题意代入， .a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x 1)+c=2x2-4x,即2ax2+2bx+2a+2c=2x -4x, 利用等式两边对应项的系数相等，可得 2a=2,2b=-4,2a十2c=0. 解得a=1,b=-2,c=-1,.f(x)=x2-2x-1. 第3节函数的单调性与最大（小）值 课前预习导引 知识点1 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)2.增函数或 减函数 知识点2 f(x)≤Mf(x)=Mf(x)≥Mf(x)=M 课堂典例探究 变式训练 1.证明：设任意的x1,x2∈(0,1)，且x1<x2,所以 fa)-f)-(+)(+)= X1I2 =（x一)（✉西2-1） x1X2 因为0<x1<x2<1,所以x1x2-1<0,x1x2> 0,,-x>0,所以-)31<0，所 X172 以f(x2)<f(x1). 所以禹教f)=x十士在(0,1D上是减通数。 2.A[要使f(x)在R上是减函数，需满足： 3a-1<0, -a<0, 解得g<a<3 (3a-1)·1+4a≥-a·1. 3.解f=xz-21=:2》,≥2，图象如下 {x(2-x),x<2, 图所示 01 由图象可知，函数的单调增区间为（一∞，1]， [2,十∞)；单调减区间为[1,2]. 参考答案 4,解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数， 且<则x)-)=是-五2 2x1-1 _2[(x2-1)-(x1-1)]2(x2-x) (x1-1)(x2-1)(x1-1)(x2-1) 由2≤x1<x2≤6，得x2-x1>0,(x1-1)(x2一1)> 0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x)>f(x2).所以 画数)-名是区间2,6]上的减高数 因比，函数x)=名在区间[2,6]的两个端 点处分别取得最大值与最小值，即在x=2时取 得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值， 最小值是0.4. 课堂达标 1.AD[结合函数y=一5的图象可知，其在 (一∞，0)和(0，十∞)上都是递增的.] 20+1-a-(0+g>0d+1 >a.又f(x)为减函数，∴f(a2+l)<f(a).] 3.B[,函数y=x2+(2a-1)x+1的图象是开 口方向朝上，以直线x=2)为对称轴的抛物 -2 线，又，函数在区间（一∞，2]上是减函数，故2≤ 2司解得<一昌故选B] 4.-6 5解：1画数f)=十在区同1,2]上是减函 数，证明如下： 任取x1,x2∈[1,2]且x1<x2,则f(x1)-f(x2) =1-1=x2+1-x1-1 x1+1x2+1(x,+1)(x2十1D (G+1(,+iD,因为xx,∈[1,2]且西< x2一x1 x2,所以x2-x1>0,x1十1>0，x2十1>0，所以 (十1)(x,+1)>0,即f(x)>f(x),所以 x2一x1 f代)-是[1,2]上的减通教 (2)由1)知fa)=中是[1,2]上的减函数， 所以fx）m=f2)=3f)a=f1)=2 课后检测评价 1.D2.D 3.C[若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)十g(x)的增减性不确定. 例如：f(x)=x十2为R上的增函数，当g(x)= 一x时，则x)十g)=音+2为增西数：当 >>>>>>>>131 衔接教材一本通 g(x)=-3x,则f(x)+g(x)=-2x+2在R 上为减函数..不能确定f(x)十g(x)的单 调性.] 4.A[.a+b>0,∴.a>-b,b>-a,又f(x)是 R上的增函数，∴.f(a)>f(-b),f(b)>f(-a), .f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故选A.] 5.(3+∞）6.4 7.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1< x2,则f(x2)-f(x1)=(x+x2)-(x+x1)= (x2-x1)(x2十x2x1十xi)+(x2-x1)=(x2 x1)(x+x2x1十x1+1)=(x2-x1) [+++小 :(+学++1>0，-1>0. 、2 ∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),.函数 f(x)=x3十x在R上是增函数. 8.证明：(1)设x1,x2是区间[2,3]上的任意两个 实数，且x1<x2,则f(x)-f(2)三一 a-1D(,2≤1<，≤3， 2 2(x1-x2) .x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0..f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)..函数f(x)= 名在[2,9]上是增函数。 (2)由(1)，得f(x)在[2,3]上的最大值是f(3) =一1，最小值是f(2)=一2. 第4节函数的奇偶性 课前预习导引 知识点1 f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x) 知识点2 1.y轴2.奇函数 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称，又 f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x+2x2=f(x), .f(x)为偶函数. (2)f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，它 关于原点对称， 又f-)=(-+-(+)-f, f(x)为奇函数 (3)由题设得：z+21-2≠0， 1-x2≥0， .函数f(x)定义域 为[-1,0)U(0,1],关于原点对称，且x+2>0, .|x+2=x+2, .f(x)= 1-x=1-x1-x x+2-2x+2-2 x, 132《((<<<<< 数学 ÷-)=--=-Z=-f, 一x x ∫(x)是奇函数 2.解：当x<0时，-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3, 由于f(x)是奇函数，故f(x)=一f(一x), 所以f(x)=一x2-2x-3. 即当x<0时，f(x)=-x2一2x-3,又当x=0 时，f(0)=0, x2-2x+3,x>0, 故f(x)={0,x=0, -x2-2x-3,x<0. 3.解：(1)证明：令x=y=0,可得f(0)十f(0)= f(0+0),得f(0)=0. 令y=-x,可得f(x)十f(-x)=f(x-x)= f(0),即f(x)=一f(一x),故f(x)为奇函数. (2)证明：设xx2∈R,且x2>G1,则x2一x1>0,于 是f(x2-x1)<0. 又f(x2)-f(x1)=f(x2)十f(-x1)=f(x2 x1),所以f(x2)-f(x1)<0. 所以f(x)为R上的减函数. (3)由(2)知，函数f(x)在[一3,6]上的最大值为 f(一3)，最小值为f(6). f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-3f(1) =2, f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]= -2f(-3)=-4. 于是f(x)在[一3,6]上的最大值为2，最小值 为一4. 课堂达标 1.C[奇函数的定义域关于0点对称，∴3-a十5 =0,.a=8.] 2.A[A中，f(-x)=(-x)-1=x-1= f(x)..f(x)=x-1为偶函数.] 3.B[,f(-x)=|-x3+1|+|-x3-1|= |x3-1|+|x3+1|=f(x),且f(x)的定义域为 R,∴f(x)为偶函数. ,'点(a,f(a)一定在函数f(x)的图象上，又 f(a)=f(-a),∴.点(a,f(-a))也一定在函数 f(x)的图象上.] 4.②④①③ 5.解：(1)，函数f(x)的定义域为R,关于原点对 称，又f(-x)=2-|-x|=2-|x=f(x), ∴f(x)为偶函数 (2),函数f(x)的定义域为{一1,1}，关于原点 对称，且f(x)=0,又.f(一x)=一f(x), f(一x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于 原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.