2 第3章 函数 第1节 函数的概念-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第三章函数 第1节1 函数的概念 学习目标。 1.通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的 作用. 2.会求一些简单函数的定义域和值域， 3.了解构成函数的要素. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在 课前预习导引 性、唯一性，即对于非空数集A中的任 知识点① 函数的概念 意一个（任意性）元素x,在非空数集B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 1.函数的定义 与之对应. 设A,B是非空的数集，如果按照某种确 (4)函数的本质：两个非空数集间的一种确 定的对应关系f,使对于集合A中的 定的对应关系.由于函数的定义域和对 ,在集合B中都有 应关系一经确定，值域随之确定，所以 和它对应，那么就称f:A→B为从 判断两个函数是否相等只需两个函数 集合A到集合B的一个函数，记作 的定义域和对应关系一样即可. f(x)是函数符号，f表示对应关系， f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理 2.函数的定义域与值域 解为∫与x的乘积.在不同的函数中 函数y=f(x)中，x叫 f的具体含义不同，对应关系可以是解析 叫做函数的定义域，与x的值相对 式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x) 应的y值叫做 ,函数值的集合 表示外，还可用g(x),F(x)等表示」 叫做函数的值域.显然，值域 知识点② 区间 是集合B的 1.区间概念(a,b为实数，且a<b) 化解疑难 定义 名称 符号 数轴表示 理解函数的概念应关注五点 {xla≤x≤b} 闭区间 [a,b] a6 (1)“A,B是非空的数集”，一方面强调了 Ixa<x<b) 开区间 (a,b) a A,B只能是数集，即A,B中的元素只 半闭半 能是实数；另一方面指出了定义域、值 {x|a≤x<b} 开区间 La,b) x 域都不能是空集，也就是说定义域为空 半开半 集的函数是不存在的. {x|a<x≤b} (a,b] a 闭区间 (2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非 2.其他区间的表示 空数集A,但函数的值域不一定是非空数集 定义 {xx≥a} xx>a) {xlx≤a}{xlx<a} B,而是集合B的子集。 符号 (-∞，十∞) [a,+∞) (a,+∞) (-o,a] (-∞，a) 8(<(<< 高中新知探究学习 第二篇 化解疑难 规律方法 1.理解区间概念的注意点 1.判断是否为函数 (1)区间符号里面的两个字母（或数字）之 (1)(图形判断)y是x的函数，则函数 间用“，”隔开； 图象与垂直于x轴的直线至多有 (2)区间表示实数集的几条原则：连续的数 个交点.若有两个或两个以上的交 集，左端点必须小于右端点，开或闭不 点，则不符合函数的定义，所对应图 能混淆； 象不是函数图象. (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点 (2)(对应关系判断)对应关系是“一对 与空心点的区别； 一”或“多对一”的是函数关系；“ (4)由于区间是表示数集的一种形式，因此 对于集合的运算仍然成立 对多”的不是函数关系 2.关于无穷大的两点说明 2.判断函数相等的方法 (1)∞是一个符号，而不是一个数； (1)若定义域不同，则函数不相等. (2)以“一∞”或“十∞”为区间的一端时，这 (2)若定义域相同，则化简函数解析式， 一端必须用小括号. 看对应关系是否相等. [变式训练] 课堂典例探究 1.试判断以下各组函数是否表示同一 八类型一 函数的定义及其应用 g 函数： 例1(1)下列选项中（横轴表示x轴，纵轴表 ①f(x)=x-x ,g(x)=x-1; 示y轴)，表示y是x的函数的是( ②e)-a)是 ③f(x)=√(x+3)2,g(x)=x十3； ④f(x)=x+1,g(x)=x十x°； [答案]D ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数 (2)试判断以下各组函数是否表示同一 关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数 函数： g(x)=80x(0≤x≤5). ①f(x)=(W)2,g(x)=√x; 其中表示相等函数的是 (填 ②y=x°与y=1(x≠0)； 上所有正确的序号) ③y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z). 》类型二。一求函数的定义域 [解]①因为函数f(x)=(√无)2的定义 域为{xx≥0}，而g(x)=√x的定义域 阿2(1)函数y= 2 的定义域为 1-/1-x 为{xx∈R},它们的定义域不同，所以它 ( 们不表示同一函数， A.(-∞，1) B.(-∞，0)U(0,1] ②因为y=x°要求x≠0，且当x≠0时， C.(-∞，0)U(0,1)D.[1,+∞) y=x°=1，故y=x°与y=1(x≠0)的定 (2)已知函数y=f(x)与函数y=√x+3 义域和对应关系都相同，所以它们表示 同一函数. 十√J1一x是相等函数，则函数y=f(x)的 ③y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z) 定义域是 两个函数的定义域相同，但对应关系不 A.[-3,1] B.(-3,1) 相同，故它们不表示同一函数、 C.(-3,+∞) D.（-∞，1] >>>>>)9 衔接教材一本通 数学 (3)函数y+1)”的定义域是( 类型三」 求函数值或值域 √/Tx-x A.x>0) 同1)E知fx)中eR,且≠ B.(xx<0) -1),g(x)=x2+2(x∈R), C.{xlx<0,且x≠-1}》 D.{xx≠0，且x≠-1} 则f(2)= ,f(g(2)= [解析] 11-x≥0， (1)由 解得 11-√1-x≠0 (2)求下列函数的值域： 任0藏达B ①y=x+1;②y=x2-2x+3,x∈[0,3)； (2)由于y=f(x)与y=√x十3+√1-x ③y 3x-1,④y=2x-x-1. 1+x 是相等函数，故二者定义域相同，所以 y=f(x)的定义域为{x|一3≤x≤1}.写 [解析] (1)f(x)=1十z' 1 成区间形式为[-3,1].故选A. (3)x十1≠0，x≠-1， 2=中2 Ix-x>0,“{Ix>x, 又g(x)=x2+2,g(2)=22+2=6, ≠。1故选C x<0. fg(2)=f(6)=6= 1+67: [答案] (1)B(2)A(3)C (2)①（观察法）因为x∈R,所以x十1∈R, 规律方法 即函数值域是R 求函数定义域的方法及注意事项 (1)要明确使各函数表达式有意义的条 ②（配方法）y=x2-2x十3 件是什么，函数有意义的准则一般有： =(x-1)2+2,由x∈[0， ①分式的分母不为0；②偶次根式的被 3),再结合函数的图象（如 开方数非负；③y=x°要求x≠0. 图)，可得函数的值域为[2,6). (2)当一个函数由两个或两个以上代数 ③（分离常数法）y= 3x-13x+3-4 式的和、差、积、商的形式构成时，定义 x+1 x+1 域是使得各式子都有意义的公共部分 的集合. =3一 x+1 (3)定义域是一个集合，要用集合或区 间表示，若用区间表示数集，不用“或” …、4 十1≠0，y≠3， 连接，而应该用并集符号“U”连接 [变式训练] y-3的值城为oeR且y≠3。 2.求下列函数的定义域： (1)y=+1)2 ④（换元法）设t=x-1,则2背 x+1 -√-x2-x十6： t≥0且x=t2+1,所以y= (2)y=10 x-31 2+D-=2+ :5,由≥0，再结合函数的图象（如图） 可得函数的位城为[十】 [答案] 3 (1) (2)见解析 70 高中新知探究学习 第二篇 规律方法求函数值域的方法 2.下列表示函数图象的是 求函数值域，应根据各个式子的不同结 y 构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数， 其值域可通过观察得到； (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值 域的基本方法，即把函数通过配方转化为 能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有 3.已知四组函数： 理分式，即将有理分式转化为“反比例 函数类”的形式，便于求值域； ①f(x)=x,g(x)=(√元)2；②f(x)=x, (4)换元法：对于一些无理函数（如y=ax g(x)=x;③f(n)-2n-1,g(n)=2n 士b士√cx士d),通过换元把它们转化为有 +1(n∈N);④f(x)=x2-2x-1,g(t)= 理函数，然后利用有理函数求值域的方 t一2t-1.其中是同一函数的为() 法，间接地求解原函数的值域。 A.没有 B.仅有② [变式训练] C.②④ D.②③④ 3.求下列函数的值域： 4.已知f(x)=x2+x-1,x∈{0,1,2,3}， (1)y=2x+1,x∈{1,3,5,7}； 则f(x)的值域为 (2)y=2x十1 x x-3 5.已知函数f(x)=1 a)求f2)与()f3)与3)： (2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与 有什么关系？并证明你的发现； (3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+ 22+f2)+fg-+f2i2s ☑课堂达标 1.下列四个函数：①y=x-1;②y=x3; ③y=x-1;④y=1其中定义域相同 的函数有 ( A.①，②和③ B.①和② C.②和③ D.②，③和④ >>>>71 衔接教材一本通 数学 三、解答题 课后检测评价 7.已知A=B=R,x∈A,y∈B,对任意x∈ 一、选择题 A,x→y=ax十b是从A到B的函数，若 1.集合A={x|0≤x≤4}，B={y0≤y≤2}，下 输出值1和8分别对应的输入值为3和 列不表示从A到B的函数的是 () 10,求输入值5对应的输出值. A.f:x→y= B.f:y 32 C.f:x-y= D.f:x→y=√x 2.函数y= 1 的定义域是 () 1 1+ 2 A.{x|x>0} B.{xx>0,或x≤-1} C.{xlx>0,或x<-1》 D.{x|0<x<1} 3.下列函数中，值域为(0，十∞)的是() A.y=√元 B C.y=1 8.已知函数f(w)- x+2 D.y=x2+1 (1)求f(2); 4.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和 (2)求f[f1)]. 值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表： 则方程g(f(x)=x的解集为 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 A.{1) B.{2} C.{3} D.必 二、填空题 5.若/)=7且fa)=2,且a= 6.函数f(x)=1的定义域是 √/1-2x (用区间表示).f(一4)= 2 《((《((〈解方程9x2-12x十4=0，得x1=x2=3 结合二次函数y=9x2一12x+4的图象知，原不 等式的解集为{红≠号}： 7.解：(1)由题意得y=100(1-8)·100 (0+8) 因为售价不能低于成本价， 所以101-局)-80≥0. 即0≤x≤2，所以y=40(10-x)(25+4x),定 义域为[0,2]. (2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10260， 化简得82-30x+13<0,解得号<x≤8 所以x的取值范周是{女合≤≤2} 第三章函数 第1节函数的概念 课前预习导引 知识点1 1.任意一个数x唯一确定的数f(x)y= f(x),x∈A2.自变量x的取值范围函数值 {f(x)|x∈A}子集 课堂典例探究 变式训练 1.⑤ 2.解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须 满足x+1≠0， {-x2-x+6≥0， 即-1，。。即z≠一1， {x2+x-6≤0，{(x+3)(x-2)≤0， 解得一3≤x≤2且x≠一1，即函数定义域为{x| -3≤x≤2且x≠-1}. (2)要使函教有意义，则0-工之0解得-0 1x-3≠0， ≤x≤√10，且x≠士3， 即定义域为{x|一√/I0≤x≤/I0,且x≠士3}. 3.解：(1)（观察法）因为x∈{1,3,5,7}，分别代入 求值，可得函数的值域为{3,7,11,15}. (2)(分离常数法)y=2x+1=2(x-3)+7 x-3 x一3 2计7写显然写≠0，所以y≠2故通数的位 域为(-∞，2)U(2,十∞). 课堂达标 1.A[①，②，③的定义域都是R,④的定义域为 (-∞，0)U(0,+∞).] 2.C[根据函数的定义可知选C.] 参考答案 3.C[对于第一组，定义域不同；对于第三组，对 应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法 则都相同.故选C.] 4.{-1,1,5,11} 5.解：(1)因为f(x)=1十x’ x (2)由1D发现fx)+f)-1 22 1+x十1+x =1. 12 (3)f(1)= 1+12-2 由(2)知f2)+f(合)=1，f3)+f()=1, 1 …,f(2026)+f八2026 =1,所以原式=2025 +1=4051 2 2 课后检测评价 1.C2.C 3.B[y=的值城为[0，+∞)，y=1的值城为 (-∞，0)U(0,+∞)，y=x2+1的值域为[1， +∞).] 4.C[当x=1时，g(f(1))=g(2)=2≠1； 当x=2时，g(f(2)=g(3)=1≠2； 当x=3时，g(f(3))=g(1)=3,满足方程.] 5.2或26 (,) 7.解：由题意可得3a十61：解得=1 110a+b=8, 。所以 1b=-2 对应关系f:x→y=x一2，故输入值5对应的输 出值为3. 8.解：(1)f(x)=十 fe)- 2=号， r]=f() +1 3 5 十2 8 3 129