2 第3章 函数 第4节 函数的奇偶性-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 g(x)=-3x,则f(x)+g(x)=-2x+2在R 上为减函数..不能确定f(x)十g(x)的单 调性.] 4.A[.a+b>0,∴.a>-b,b>-a,又f(x)是 R上的增函数，∴.f(a)>f(-b),f(b)>f(-a), .f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故选A.] 5.(3+∞）6.4 7.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1< x2,则f(x2)-f(x1)=(x+x2)-(x+x1)= (x2-x1)(x2十x2x1十xi)+(x2-x1)=(x2 x1)(x+x2x1十x1+1)=(x2-x1) [+++小 :(+学++1>0，-1>0. 、2 ∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),.函数 f(x)=x3十x在R上是增函数. 8.证明：(1)设x1,x2是区间[2,3]上的任意两个 实数，且x1<x2,则f(x)-f(2)三一 a-1D(,2≤1<，≤3， 2 2(x1-x2) .x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0..f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)..函数f(x)= 名在[2,9]上是增函数。 (2)由(1)，得f(x)在[2,3]上的最大值是f(3) =一1，最小值是f(2)=一2. 第4节函数的奇偶性 课前预习导引 知识点1 f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x) 知识点2 1.y轴2.奇函数 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称，又 f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x+2x2=f(x), .f(x)为偶函数. (2)f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，它 关于原点对称， 又f-)=(-+-(+)-f, f(x)为奇函数 (3)由题设得：z+21-2≠0， 1-x2≥0， .函数f(x)定义域 为[-1,0)U(0,1],关于原点对称，且x+2>0, .|x+2=x+2, .f(x)= 1-x=1-x1-x x+2-2x+2-2 x, 132《((<<<<< 数学 ÷-)=--=-Z=-f, 一x x ∫(x)是奇函数 2.解：当x<0时，-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3, 由于f(x)是奇函数，故f(x)=一f(一x), 所以f(x)=一x2-2x-3. 即当x<0时，f(x)=-x2一2x-3,又当x=0 时，f(0)=0, x2-2x+3,x>0, 故f(x)={0,x=0, -x2-2x-3,x<0. 3.解：(1)证明：令x=y=0,可得f(0)十f(0)= f(0+0),得f(0)=0. 令y=-x,可得f(x)十f(-x)=f(x-x)= f(0),即f(x)=一f(一x),故f(x)为奇函数. (2)证明：设xx2∈R,且x2>G1,则x2一x1>0,于 是f(x2-x1)<0. 又f(x2)-f(x1)=f(x2)十f(-x1)=f(x2 x1),所以f(x2)-f(x1)<0. 所以f(x)为R上的减函数. (3)由(2)知，函数f(x)在[一3,6]上的最大值为 f(一3)，最小值为f(6). f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-3f(1) =2, f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]= -2f(-3)=-4. 于是f(x)在[一3,6]上的最大值为2，最小值 为一4. 课堂达标 1.C[奇函数的定义域关于0点对称，∴3-a十5 =0,.a=8.] 2.A[A中，f(-x)=(-x)-1=x-1= f(x)..f(x)=x-1为偶函数.] 3.B[,f(-x)=|-x3+1|+|-x3-1|= |x3-1|+|x3+1|=f(x),且f(x)的定义域为 R,∴f(x)为偶函数. ,'点(a,f(a)一定在函数f(x)的图象上，又 f(a)=f(-a),∴.点(a,f(-a))也一定在函数 f(x)的图象上.] 4.②④①③ 5.解：(1)，函数f(x)的定义域为R,关于原点对 称，又f(-x)=2-|-x|=2-|x=f(x), ∴f(x)为偶函数 (2),函数f(x)的定义域为{一1,1}，关于原点 对称，且f(x)=0,又.f(一x)=一f(x), f(一x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于 原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数. 课后检测评价 1.A2.C 3.C[.f(x)在R上为奇函数，∴.f(-x)=一f(x. ∴.f(x)十f(一x)=f(x)一f(x)=0,故①正确. f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正确. 当x=0时，f(x)·f(一x)=0,故③不正确. 当=0时，天号-吕无室义，收团不正确】 4.D[根据题意有f(x)十g(x)在(0，十∞)上有 最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所 以f(x)十g(x)是奇函数且f(x)十g(x)在 (-∞，0)上有最小值一6，则F(x)在(-∞，0) 上有最小值一6十2=一4，故选D.] 5.56.②④①③ 7.解：(1)解：f(x)是定义在(-1,1)上的奇 函数， f(-x)=-f(x), p十6一二ax2飞.“.b=一b,b=。.■ 1+x2 1 1工号，小a=1 4 画数解折式为fx)=1千2(-1Kx<1D. (2)证明：任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, f(x)-f(x2)=,1 1+x1+x =（x-x2)(1-x1x2) (1+x)(1+x), -1<x1<x2<1,.x1-x2<0,1-x1x2>0, (1+x)(1+x)>0, .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)为(-1,1)上为增函数. (3)解：.f(t-1)+f(t)<0,∴.f(t-1)<-f(t). f(x)是(-1,1)上的奇函数，∴f(-t)=-f(t), .f(t-1)<f(-t). f(x)为(-1,1)上的增函数， [-1<t-1<1, -1K-4<1,解得0<4<分 t-1<-t. 不等式的解案为{0<<号} 8解：（若画发）-去是K上的偶函数， 则f(-x)=f(x),即m()十1=mx十1 1+(-x)2 1+x2’ 解得m=0. 参考答案 (2)函数f(x)在（一∞，0]上单调递增.理由如下： 1 由(1)，知f(x)= 1+x2 设任意的x1,x2∈（一∞，0]，且x1<x2, 则f(x)-f(x)=1十1+ 11 =1十x号-1-号=（红，十x)(红-x) (1+x)(1+x2) (1+x)(1+x) 因为x1<x2≤0， 所以x2+x1<0,x2-x1>0,(1+x)(1十x)>0, 所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在（一∞，0]上单调递增. (3)由(2)，知函数f(x)在（一∞，0]上单调递 增.又f(x)是R上的偶函数， 所以f(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以f(x)在[一3,0)上单调递增， 在[0,2]上单调递减， 又f(-3)=0f0)=1,f2)=号， 所以f）m=f0)=1,fx=f-3)=0 第5节幂函数 课前预习导引 知识点1 y=x"x a 知识点2 RRR{x|x≠0}[0，+∞)R[0,+∞) R{yly≠0}[0，+∞)奇函数偶函数 奇函数奇函数非奇非偶函数入（一∞，0] ,[0,+∞)T1(-∞，0)，(0，+∞)八y入 课堂典例探究 变式训练 1.解：由幂函数的定义得m2-3m十3=1，解得m =1,或m=2; 当m=1时，m2一m一2=-2，函数为y=x2, 其图象不过原点，满足条件； 当m=2时，m2-m一2=0，函数为y=x°，其图 象不过原点，满足条件. 综上所述，m=1,或m=2. 2.B[令a=2,6=分6=-3d=-1,正好和题 目所给的形式相符合.在第一象限内，x=1的右 侧部分的图象，图象由下至上，暴指数增大，所 以a>b>c>d.故选B.] 3.B[因为y=x3是增函数， 因为-2025>-2026， 所以0>(-2025)3>(-2026)3，即0>a>b.] >>>>>>>>133高中新知探究学习 第二篇 第4节 函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数，了解奇偶性的含义」 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质， 课前预习导引 化解疑难 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图 知识点①) 函数的奇偶性 象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶 函数的图象关于y轴对称，可以作出函 奇偶性 条件 数在y轴另一侧的图象.作对称图象时， 对于函数f(x)定义域内的任意 可以先从点的对称出发，点(x,)关于 偶函数 一个x,都有 原点的对称点为(-x,一y),关于y轴 的对称点为（一xo,yo). 对于函数f(x)定义域内的任意 奇函数 个x,都有 课堂典例探究， 化解疑难 类型一判断函数的奇偶性- 例川判断下列函数的奇偶性： 理解函数的奇偶性应关注四点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而 (1)f(x)=x2-1+1-x; (2)f(x)=x2-2x|+1,x∈[-1,1]. 奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其 定义域内的每一个x,都有f(一x)= [解] （4)南-1≥0得r-1, 11-x2≥0， -f(x)(或f(一x)=f(x),才能说 即x=士1. f(x)是奇（偶）函数. .函数f(x)的定义域是{-1,1}，关于原 (2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一 ,点对称 个必不可少的条件：定义域关于原点对 又：f(x)=0,f(x)既是奇函数又是偶 称.换言之，若所给函数的定义域不关 函数 于原点对称，则这个函数一定不具有奇 (2)函数的定义域为[一1,1]，关于原点 偶性.例如，函数y=x2在区间（一∞， 对称。 :f(-x)=(-x)2-2|-x|+1 十∞)上是偶函数，但在区间[一1,2]上 =x2-2|x+1=f(x), 却无奇偶性可言. ∴.f(x)是偶函数. (3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0) 规律方法判断函数奇偶性的方法有 =0. 定义法和图象法 (4)若f(-x)=一f(x),且f(一x)= (1)定义法判断函数奇偶性的步骤是先 f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数， 求函数的定义域，若定义域不关于原点 既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x) 对称则说明函数既不是奇函数也不是 =0,x∈D,D是关于原点对称的实 偶函数；若定义域关于原点对称，则再 数集. 求f(-x),并判断f(-x)=士f(x)是 否成立来确定奇偶性.有时还可以用其等 知识点② 奇偶函数的图象 1.偶函数的图象关于 对称 价式f(-x)士f)=0或f二D=士1 f(x) 2 的图象关于坐标原点对称， (f(x)≠0)来判断 >>>>>>>>83 衔接教材一本通 数学 (2)若一个函数的图象方便作出的话， (2)已知f(x)为R上的奇函数，当x>0 可以利用图象的对称性确定函数的奇 时，f(x)=-2x2+3x十1， 偶性. ①求f(-1)； 对于解答题，为了体现解题的严谨性，我 ②求f(x)的解析式. 们通常用定义法，对于选择填空题，我们 [解]①因为函数(x)为奇函数， 可以灵活选择两种方法判断函数的奇 偶性 所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1 对于分段函数奇偶性的判断，要特别注 +1)=-2. 意x与一x所满足的对应关系. ②当x<0时，一x>0,则 [变式训练] f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1 1.判断下列函数的奇偶性： =-2x2-3x+1. (1)f(x)=x+2x2; 由于f(x)是奇函数，则f(x)=一f(一x), (2)fx)=x2+2 所以f(x)=2x2十3x一1.当x=0时， √1-x2 f(-0)=一f(0),则f(0)=一f(0), (3)f(x)=x+2-2 即f(0)=0.所以f(x)的解析式为 -2x2+3x+1,x>0, f(x)=0,x=0, 2x2+3x-1,x<0. 规律方法1.利用奇偶性求参数 (1)定义域含参数：奇偶函数的定义域 为[a,b们，则根据定义域关于原点对称， 即a十b=0求参； (2)奇偶函数求参可利用特殊值法，若 是奇函数则利用f(0)=0, 或f(1)十f(-1)=0等，若是偶函数 》类型二 函数奇偶性的应用 则利用f(1)一f(-1)=0等求参. 例2|(1)若函数f(x)=ax2+bx十3a十b 2.求函数解析式的注意事项 是偶函数，定义域为[a一1,2a],则a= (1)已知当x∈(a,b)时，f(x)=p(x), ,b= 求当x∈(-一b,一a)时f(x)的解析式. [解析] 因为偶函数的定义域关于原，点 若f(x)为奇函数，则当x∈（一b,一a)时， 对称，所以a一1=-2a,解得a=3 f(x)=-f(-x)=-p(-x); 又函数f(x)=3x+6虹+6+1为二次 若f(x)为偶函数，则当x∈(-b,一a)时， f(x)=f(-x)=p(-x). 函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0. (2)若函数f(x)的定义域内含0且为 [答案] 3 0 奇函数，则必有f(0)=0,不能漏掉. 高中新知探究学习 第二篇\ [变式训练] [变式训练] 2.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 3.已知定义在R上的函数f(x)对任意实 时，f(x)=x2一2x十3，求f(x)的解 数x,y恒有f(x)+f(y)=f(x十y),且 析式. 当>0时，fx)<0,f1)=-是 (1)证明：f(x)为奇函数； (2)证明：f(x)在R上是减函数； (3)求函数f(x)在[一3,6]上的最大值与 最小值. ☑课堂达标 类型三，奇偶性与单调性的综合应用☑ 1.已知函数f(x)为定义在区间[3-a,5]上 例3l已知偶函数f(x)在[0，十∞)上单调 的奇函数，则a= 递减，f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的 A.-2 B.3 C.8 D.无法确定 取值范围是 2.下列函数为偶函数的是 [解析]f(2)=0,f(x-1)>0, A.f(x)=x4-1 .f(x-1)>f(2), B.f(x)=x2(-1<x<3) 又.f(x)是偶函数，且在[0，十∞)上单 C.f(x)=x+1 调递减， ∴.f(x-1)>f(2), D./(2-z .|x-1|<2,.-2<x-1<2, 3.已知函数f(x)=|x3+1|+|x3一1|，则 .-1<x<3,.x∈(-1,3).故填(-1,3). 下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图 [答案]（一1,3） 象上的是 ( ) 规律方法本题的关键是利用偶函数 A.(-a,-f(a))B.(a,f(-a) C.(a,-f(a) D.(-a,-f(-a)) 的性质：f(x)=f(一x)=f(x),从而 4.下列图象表示的函数是奇函数的是 由f(x-1)>f(2)转化得f(x-11)> ,是偶函数的是 (填序号) f(2),再由f(x)在[0，十∞)上单调递 减即可脱去“f”,得到x一1<2.其优 点在于避免了讨论 衔接教材一本通 数学 5.判断下列函数的奇偶性： 二、填空题 (1)f(x)=2-x; 5.已知y=f(x)是奇函数，当x<0时， (2)f(x)=√x2-1+√1-x; f(x)=x2十ax且f(3)=6,则a的值为 (3)fx)=z 6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，给出 下列函数：①y=f(x);②y=f(一x); ③y=xf(x);④y=f(x)+x,其中的奇 函数为 ,偶函数为 (填序号) 三、解答题 1函数x)=年是定义在(-1,1上 的奇函数，且/侣)=号 课后检测评价 (1)确定函数f(x)的解析式； 一、选择题 (2)用定义证明f(x)在（一1,1）上是增 函数； 2 1.若函数f(x)=(2z+1(x-a) 为奇函 (3)解不等式f(t-1)十f(t)<0. 数，则a等于 A克 R号 c D.1 2.若f(x)是偶函数且在(0，十∞)上是减函 数，又f(一3)=1，则不等式f(x)<1的 解集为 ) A.{x|x>3,或-3<x<0} &已知函数f)-是R上的偶 B.{x|x<-3,或0<x<3} 函数. C.{x|x<-3,或x>3} (1)求实数m的值； D.{x-3<x<0,或0<x<3} (2)判断函数f(x)在（一∞，0]上的单 3.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个 调性； 说法： (3)求函数f(x)在[一3,2]上的最大值与 ①f(x)+f(-x)=0;②f(x)-f(-x)= 最小值 2f(x)；③f(x)·f(-x)<0; ④Jx) f(-x) =一1.其中一定正确的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 4.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)= f(x)+g(x)+2在(0，十∞)上有最大值8， 则在（一o∞，0）上F(x)有 () A.最小值一8 B.最大值一8 C.最小值-6 D.最小值一4 86K(<<<<