2 第3章 函数 第2节 函数的表示法-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 第2节 函数的表示法 课前预习导引 知识点2 不同的对应关系 知识点3 非空任意一个元素x唯一确定f:A→B 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)（方法一）令x十1=t,则x=t一1. 将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2, 得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, .f(x)=x2-5x+6. (方法二)，f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1 -5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,.f(x) =x2-5x+6. (2)设所求的二次函数为f(x)=a.x2+bx十c(a ≠0). f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1. f(x十1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立， .a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1) =2x, 即2a.x十a十b=2x,由恒等式的性质，得 (2a=2, la+6=0, 8 ,所求二次函数为f(x)=x2-x十1. (3),对于任意的x都有f(x)十2f(一x) =3x-2, .将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=一3x-2, 联立方程组消去f(一x), 可得)=-3号 2.(1)f(x)= x+1,-1≤x<0, (2)(-∞，1] -x,0≤x≤1 8解：0周为（位）合-1-2=-是， 》-()*哥品 (2)f(x)=3,若1z≤1，则|x-1-2=3,得 9,成=因为x<1,所以的值不 存在； 若z>1,则中安=合得z=士E,特合 >1. 所以若f(x)= z的值为士2 数学 课堂达标 1.B[取h=号与A=H两个位置观察注水童V, 知A=号时，水量已经超过学，由此可以判斯水 瓶的下半部分体积大，上半部分体积小.故 选B.] 2.B[令x-1=2,则x=3,.f(2)=32-3=6.] 3号4.1,234,5}1,2345 5.解：(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=2×3=6, f(-2)=-2+2=0,f(f(-2)=f(0)=02=0. (2)当a≤-1时，由a十2=10，得a=8,不符合； 当-1<a<2时，由a2=10,得a=士√10，不符合； 当a≥2时，由2a=10,得a=5,符合. 所以a=5. 课后检测评价 1.C2.B 3.C[由于f(0)=0-1=一1，所以函数图象过 点(0，一1)；当x<0时，y=x2,则函数图象是开 口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有 图形C特合.] 4.D[由已知设f(x)=a(x-1)2+b(a>0), )图象过点00,3,3)，十03翩 481=-1-1 5.R6.(1)1(2)3 7.解：(1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数 的解析式. 当点P在线段BC上移动时，即O<x≤6，BP=x, 于是Sam-号AB·BP-合X6Xx=3z: 当点P在线段CD上移动时，即6<x≤12， SaUm=2AB·BC=2×6X6=18, 当，点P在线段DA上移动时，即12<x<18, Saw=7AB·PA=号×6X(18-)=5-3x ,3x,0<x≤6， 于是y=18,6<x≤12， (54-3x,12<x<18. (2)画出y=f(x)的图象，如图②所示. 61218x 图② 8.解：(1)解法一：已知f(x-1)=x2-4x, 令x-1=t,则x=t+1,代入上式得， f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3, 即f(x)=x2-2x-3(x∈R). 解法二：.f(x-1)=(x-1)2-2(x一1)-3， ∴.f(x)=x2-2x-3(x∈R). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 则依题意代入， .a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x 1)+c=2x2-4x,即2ax2+2bx+2a+2c=2x -4x, 利用等式两边对应项的系数相等，可得 2a=2,2b=-4,2a十2c=0. 解得a=1,b=-2,c=-1,.f(x)=x2-2x-1. 第3节函数的单调性与最大（小）值 课前预习导引 知识点1 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)2.增函数或 减函数 知识点2 f(x)≤Mf(x)=Mf(x)≥Mf(x)=M 课堂典例探究 变式训练 1.证明：设任意的x1,x2∈(0,1)，且x1<x2,所以 fa)-f)-(+)(+)= X1I2 =（x一)（✉西2-1） x1X2 因为0<x1<x2<1,所以x1x2-1<0,x1x2> 0,,-x>0,所以-)31<0，所 X172 以f(x2)<f(x1). 所以禹教f)=x十士在(0,1D上是减通数。 2.A[要使f(x)在R上是减函数，需满足： 3a-1<0, -a<0, 解得g<a<3 (3a-1)·1+4a≥-a·1. 3.解f=xz-21=:2》,≥2，图象如下 {x(2-x),x<2, 图所示 01 由图象可知，函数的单调增区间为（一∞，1]， [2,十∞)；单调减区间为[1,2]. 参考答案 4,解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数， 且<则x)-)=是-五2 2x1-1 _2[(x2-1)-(x1-1)]2(x2-x) (x1-1)(x2-1)(x1-1)(x2-1) 由2≤x1<x2≤6，得x2-x1>0,(x1-1)(x2一1)> 0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x)>f(x2).所以 画数)-名是区间2,6]上的减高数 因比，函数x)=名在区间[2,6]的两个端 点处分别取得最大值与最小值，即在x=2时取 得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值， 最小值是0.4. 课堂达标 1.AD[结合函数y=一5的图象可知，其在 (一∞，0)和(0，十∞)上都是递增的.] 20+1-a-(0+g>0d+1 >a.又f(x)为减函数，∴f(a2+l)<f(a).] 3.B[,函数y=x2+(2a-1)x+1的图象是开 口方向朝上，以直线x=2)为对称轴的抛物 -2 线，又，函数在区间（一∞，2]上是减函数，故2≤ 2司解得<一昌故选B] 4.-6 5解：1画数f)=十在区同1,2]上是减函 数，证明如下： 任取x1,x2∈[1,2]且x1<x2,则f(x1)-f(x2) =1-1=x2+1-x1-1 x1+1x2+1(x,+1)(x2十1D (G+1(,+iD,因为xx,∈[1,2]且西< x2一x1 x2,所以x2-x1>0,x1十1>0，x2十1>0，所以 (十1)(x,+1)>0,即f(x)>f(x),所以 x2一x1 f代)-是[1,2]上的减通教 (2)由1)知fa)=中是[1,2]上的减函数， 所以fx）m=f2)=3f)a=f1)=2 课后检测评价 1.D2.D 3.C[若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)十g(x)的增减性不确定. 例如：f(x)=x十2为R上的增函数，当g(x)= 一x时，则x)十g)=音+2为增西数：当 >>>>>>>>131高中新知探究学习 第二篇 第2节 函数的表示法 学习目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示 函数 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 3.了解映射的概念 课前预习导引 优点 缺点 知识点① 函数的表示法 列 不通过计算就可以直 它只能表示自变 表 接看出与自变量的值 量取较少的有限 表示法 含义 定义域 值域 示例 法 相对应的函数值 值的对应关系 y 2.8 0.6- 直观形象地表示出函 只能近似地求 用图象表 图象在y 012 图 图象在x 数的变化情况，有利 出自变量所对 示两个变 象 图象法 轴上的 轴上的 定义域是 于通过图形研究函数 应的函数值，有 量之间的 投影 投影 法 对应关系 [1,2], 的某些性质 时误差较大 值域是 [0.6,2.8] 知识点② 分段函数 列出表 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x x123 格表示 表格中， 表格中， y0-11 在A中不同的取值范围，有着 两个变 自变量x 列表法 相应y 定义域是 ,则称这样的函数为分段函数 量之间 的取值 的取值 {1,2,3}, 化解疑难 的对应 集合 集合 值域是 关系 {0,-1,1} 分段函数的三要点 (1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是 用数学表 使解析 y=√反的 几个函数.分段函数在书写时用大括号把 式有意 定义域 达式表示 义的自 因变量y 各段函数合并写成一个函数的形式，并且 是{x|x 解析法 两个变量 的取值 变量 之间的对 范围 ≥0}， 必须指明各段函数自变量的取值范围 的取值 应关系 值域是 (2)一个函数只有一个定义域，分段函数的 范围 {yly≥0} 定义域只能写成一个集合的形式，不能 分开写成几个集合的形式. 化解疑难 (3)求分段函数的值域，应先求出各段函数 三种表示方法的优缺点比较 在对应自变量的取值范围内的函数值 优点 缺点 的集合，再求出它们的并集 是简明、全面地概不够形象、直 知识点③ 映射 解 括了变量间的关系；观，而且并不是 设A、B是两个 的集合，如果按某 析 二是可以通过用解析所有的函数都 个确定的对应关系f,使对于集合A中的 法 式求出任意一个自变 可以用解析式 ,在集合B中都有 量所对应的函数值 表示 的元素y与之对应，那么就称对应 为从集合A到集合B的一个映射， >>>>>>>>73 衔接教材一本通 数学 化解疑难 由①②联立，消去 映射与函数的联系 名称 f(x)=-x- 2-2. 区别N 函数 映射 与联系 故所求的函数为f(x)=一x 2一2 映射中的两 规律方法(1)由y=f(x)求y= 函数中的两 个集合A和 f[g(x)],一般使用代入法； 个集合A B可以是数 (2)凑配法和换元法有时可以并用，而 区别 和B必须 集，也可以是 换元法更具有一般性，同时，在使用换 是非空数集 其他集合，只 元法时一定要注意新元的取值范围； 要非空即可 (3)若解析式中的两个变量具有互为倒 函数是一种特殊的映射；映 数或互为相反数的特征，可联立方程组 联系 射是函数概念的推广，但不 用消元法解出y=f(x)的解析式。 一定是函数 [变式训练] 1.(1)已知f(x十1)=x2-3x十2，求f(x): 课堂典例探究 (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0) =1,f(x+1)一f(x)=2x,求f(x)的解 /类型一- 函数解析式的求 ---- 析式； 例川求下列函数的解析式. (3)已知函数f(x)对于任意的x都有 (1)已知f(x)=x2+2x,求f(2x+1); f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x). (2)已知f(元-1)=x十2√元，求f(x); (3尼知/)-2=+2，求/ [解](1)用代入法，f(2x十1)=(2x十1)2 十2(2x+1)=4x2+8x+3. (2)解法一（凑配法）： f(元-1)=（元-1）2+4（元-1）+3， 且√元-1≥-1. 故所求的函数f(x)=x2+4x十3(x≥一1)， 类型二函数图象及其应用 解法二：（换元法）： 「例2(1)函数f(x)=|x-1|的图象是 令t=√x-1,则t≥-1，且√x=t+1. ∴.f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3. 故所求函数为f(x)=x2+4x十3(x≥-1). -10 )2r2) =3x+2. ① [解析]法一：函数的解析式可化为y= 用上代入①式中的，得 1x-1,x≥1， 画出此分段函数的图象，故 1-x,x<1. ② 选B. 高中新知探究学习 第二篇 法二：由f(一1)=2，知图象过点（一1,2），排 (2)若y=f(x)不是所学过的基本初等 除A、C、D,故选B. 函数之一，则要按：①列表；②描点； [答案]B ③连线三个基本步骤作出y=f(x)的 (2)给定函数f(x)=x十1，g(x)=(x十 图象 1)2,x∈R. (3)作分段函数的图象时，分别作出各 ①在同一直角坐标系中画出函数f(x), 段的图象，在作每一段图象时，先不管 g(x)的图象； 定义域的限制，作出其图象，再保留定 ②Hx∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中 义域内的一段图象即可，作图时要特别 的较大者，记为M(x)=max{f(x), 注意接点处点的虚实，保证不重不漏. g(x)}.请分别用图象法和解析法表示函 [变式训练] 数M(x). 2.(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则 [解] ①同一直角坐标系中函数f(x), f(x)的解析式是 g(x)的图象 g(x)=(x+12 f(x)=x+1 43 2 -5-4-329 12345x -2 b,a≥b, (2)若定义运算a⊙b= ②结合M(x)的定义，可得函数M(x)的 laa<b. 则函数 图象 f(x)=x⊙(2一x)的值域为 由(x十1)2=x十1，得x(x+1)=0, 八类型三。 分段函数及其应用 ☑ 解得x=1,或x=0. 例3引(1)已知函数f(x)= 由图易知M(x)的解析式为 x+1,x≤-2， f(x+1)2,x≤-1 x2+2x,-2<x<2, M(x)= x+1, -1<x≤0 2x-1,x≥2 (x+1)2x>0 (1)求f(-5),f(-3), y /M(x) f(-)的值： 4 (2)若f(a)=3,求实数a的值. 3 [解](1)由-5∈(-∞，-2]， 1 -5-4-3-2-10 12345 -5e(-2,2).-2∈(-o0,-2J, -1 知f(-5)=-5+1=-4,f(-3) 规律方法（函数图象问题处理措施） =(-√3)2+2×(-√3) (1)若y=f(x)是已学过的基本初等函 =3-2√3. 数，则描出图象上的几个关键点，直接 因为)=5+1=-多， 画出图象即可，有些可能需要根据定义 域进行取舍， 2×-<2. >>>>>>75 衔接教材一本通 数学 所以f(-)=(-)-(+ ☑课堂达标 1.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果 2×(是)=号-3= 注水量V与水深h的函数关系的图象如 (2)①当a≤-2时，f(a)=a+1, 图所示，那么水瓶的形状可以是() 所以a+1=3, 所以a=2>-2不合题意，舍去： ②当-2<a<2时，a2+2a=3, 即a2+2a-3=0. 0 所以(a-1)(a十3)=0， 所以a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2)，-3安(-2,2)， 所以a=1符合题意， ③当a≥2时，2a一1=3，所以a=2符合 2.已知函数f(x-1)=x2-3,则f(2)的 题意. 值为 综合①②③，当f(a)=3时，a=1 A.-2 B.6 C.1 D.0 或a=2. 3.已知函数f(2x十1)=3x+2,且f(a)=4, 规律方法解决分段函数问题，应注 则a= 意以下两点： 4.某教师将其1周课时节次列表如下： (1)给定自变量求函数值时，应根据自 X(星期) 1 2 3 4 5 变量所在的范围，利用相应的解析式直 Y(节次) 2 5 3 接求值； 从这个表中看出这个函数的定义域是 (2)若给函数值求自变量，应根据每一 ,值域是 段的解析式分别求解，但应注意要检验 [x+2(x≤-1)， 求得的值是否在相应的自变量取值范 5.已知函数f(x)={x2(-1<x<2), 围内 2x(x≥2). [变式训练] (1)求f(-4),f(3),f(f(-2)的值. lx-1|-2,lx≤1， (2)若f(a)=10,求a的值. 3.已知函数f(x)= 1 1+x,lx>1. a)求f位)的值： (2若f)=},求x的值 76 高中新知探究学习 第二篇\ 三、解答题 课后检测评价 7.如图，在边长为6的正方 D 一、选择题 形ABCD的边上有一点 1.若g(x十2)=2x+3,g(3)的值是( P,沿着折线BCDA由点 A.9 B.7 C.5 D.3 B(起点)向点A(终点)运 2.设函数f(x)=2x+3,g(x十2)=f(x), 动.设点P运动的路程为x,△APB的面 则g(x)的表达式是 () 积为y. A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1 求：(1)y与x之间的函数关系式； (2)画出y=f(x)的图象， C.g(x)=2x-3 D.g(x)=2x+7 x2,x<0, 3.下列图形是函数y= x-1,x≥0 的图象 的是 y 4.已知二次函数的图象开口向上，且关于 直线x=1对称，过点(0,0)，(3,3)，则此 二次函数的解析式是 ( A.f(x)=x2-1 8.求下列函数的解析式： B.f(x)=-(x-1)2+1 (1)已知函数f(x-1)=x2-4x,求函数 f(x)的解析式； C.f(x)=(x-1)2+1 (2)已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+ D.f(x)=(x-1)2-1 f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式. 二、填空题 2x+3,(x≤0)， 5.函数y= x十3，(0<x≤1)，则f(x)的定 -x+5,(x>1), 义域为 6.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 g(x) 3 (1)则当g(f(x)=2时，x= (2)则f(g(2))= >>>>77