2 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第3节 一元二次不等式-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇 第3节 一元二次不等式 学习目标 一元二次不等式在初中不作要求，是高中数学的内容，在高中数学学习一元二次不 等式之前，常常涉及解一元二次不等式，一元二次不等式与二次函数、一元二次方程联 系紧密，通过本节的学习，要掌握一元二次不等式的解法和一元二次方程、二次函数与 一元二次不等式的关系。 课前预习导引 △=b-4ac △>0 △=0 △<0 知识点) 二元二次不等式 ax2+bx x<x1或 任意 +c>0(a 只含有一个未知数，并且未知数的最高 xx 2a 实数解 >0)的解 次数是2的不等式，称为一元二次不等 式.任意的一元二次不等式，总可以化为 ax?+bx 一般形式：ax2+bx+c>0(a>0)或 +c<0(a 无解 无解 ax2+bx+c<0(a>0). >0)的解 <x2 知识点②二元三次不等式的解法 化解疑难 元二次不等式ax2+bx十c>0(a≠0) 1.(1)一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0) 的解就是使二次函数y=ax2+bx十c(a 的两根x1,x2是相应的不等式的解的端点 ≠0)的函数值y>0的x的值；一元二次 的取值，是抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0) 不等式ax2+bx十c<0(a≠0)的解就是 与x轴的交点的横坐标； 使二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的函 (2)表中不等式的二次项系数均为正，如果 数值y<0的x的值 不等式的二次项系数为负，应先利用不 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 等式的性质转化为二次项系数为正的 的两根为x1,x2且x1<x2,△=b2-4ac, 形式，然后讨论解决； (3)分△>0，△=0，△<0三种情况，得到 则相应的不等式的解的各种情况如 下表： 元二次不等式a.x2+十bx十c>0与ax2+ bx十c<0的解. △=b-4ac △>0 △=0 △ <0 2.对于可化为ax2+bx+c>0(a≠0)的不 二次函数 等式，若式中含有参数，解题时需根据参 y=ax'+ 数的范围进行分类讨论，分类讨论的依 bx+c(a 据主要有以下三点： x10 >0)的 0x1=x23 (1)讨论二次项系数：当二次项系数不确定 图象 时，要分二次项系数等于零、大于零、小 于零三种情况讨论； 有两相异 有两相等 (2)讨论判别式：当判别式不确定时，要分 ax?+bx 实根x, 实根x 判别式△>0，△<0、△=0三种情况 +c=0(a 无实根 x2(x1< =x2 讨论； >0)的根 x2) b (3)讨论两根大小：当判别式大于零时，需 2a 对两根的大小进行讨论 >>>>>63 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 课堂典例探究 1.解下列一元二次不等式. 类型一。解一元二次不等式 (1)x2-5.x<0; (2)x2-4x+4>0; 「例解不等式. (3)-x2+4x-5>0. (1)x2+2x-3≤0； (2)x-x2+6<0; (3)4x2+4x+1≥0； (4)x2-6x+9≤0. [解](1).△>0，方程x2十2x-3=0 的解是x1=一3，x2=1. .不等式的解为一3≤x≤1. (2)整理得， 类型二-三个“三次”的关系解题☒ x2-x-6>0. 例2l若不等式ax2+bx十c≥0的解集是 ,△>0，方程x2一x一6=0的解为 {女-≤x≤2求不等式c+r十a x1=一2，x2=3. <0的解集， .原不等式的解为x<一2或x>3. [解]法一：由ax2十bx+c≥0的解集是 (3)整理，得(2x十1)2≥0. {女3≤≤2知a<0,又()×2 由于上式对任意实数x都成立， =C<0,则c>0. ∴原不等式的解为一切实数。 0 (4)整理，得(x-3)2≤0. 又-号2为方程ad十c十6=0的两 由于当x=3时，(x一3)2=0成立；而对 个根， 任意的实数x,(x一3)2<0都不成立， a 3 .原不等式的解为x=3. 又C= 3b=-5 a,c2 规律方法解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正，若为负， 不等式变为（02+（号+。 则将二次项系数化为正数； <0, (2)计算不等式对应的方程的判别 即2a.x2+5a.x-3a>0. 式△； 又.a<0,∴.2x2+5x-3<0. ①△>0时，求出两根x1,x2（注意灵活 所求不等式的解条为{女-3<号} 运用因式分解和配方法)； 法二：由巴如得a<0且(-)十2= ②4=0时，求报=会 2(-8)×2=后如>0， ③△<0时，方程无解. 设方程cx2+bx十a=0的两根分别为 (3)根据不等式，写出不等式的解 x1,x2, 64( 高中新知探究学习 第二篇 则x1十x2= 6 x1·x2= ®当0<a<1时，2>1，解xx-1) b 其中 a <0,得1<x< )x2 综上， 。>1时，不等式的解条为日<心归 ×2 a=1时，不等式的解集为☑； 0<a<1时，不等式的解集 -3,x2=2 为{1<<} 规律方法 含参数的一元二次不等 ∴.不等式cx2+bx+a<0(c>0)的解集 式，若二次项系数为常数可先考虑分解 为红-3<} 因式，再对参数进行讨论；若不易因式 规律方法已知以a,b,c为参数的不 分解，则可对判别式分类讨论，分类要 等式（如ax2+bx十c>0)的解集，求解 不重不漏.若二次项系数含有参数，则 其他不等式的解集时，一般遵循： 应先考虑二次项系数是否为零，然后再 (1)根据解集来判断二次项系数的 讨论二次项系数不为零的情形，以便确 符号； 定解集的形式；其次，对相应方程的根 进行讨论，比较大小，以便写出解集. (2)根据根与系数的关系把b,c用a表 示出来并代入所要解的不等式； 注意：分类讨论各种情况后，要写出总 (3)约去a,将不等式化为具体的一元 结性的结论. 二次不等式求解. [变式训练] [变式训练] 3.解关于x的不等式(x一a)(x一a)<0. 2.(1)若不等式(x一a)(x一b)<0的解集为 {x|1<x<2},则a十b的值为( A.3B.1 C.-3D.-1 (2)已知集合A={x|3x-2-x2<0}, B={x|x一a<0},且B二A,则a的取值 范围为 》类型三含参数的一元二次不等式的解法☑ 例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x十1 <0(a∈R,a>0). [解]因为a>0, 所以原不等式等价于x}x-1D0 ①当a=1时，2=1，(x-)(x-1)<0 类型四含参数的不等式的恒成立问题☑ 例4设函数y=m.x2-mx-1. 无解； (1)若对于一切实数x,y<0恒成立，求 ②当>1时，<1， m的取值范围； 解(-x-10<0,得日<1： (2)对于1≤x≤3，y<-m+5恒成立，求 m的取值范围. >>>>>>65 衔接教材一本通 数学 [解] (1)要使mx2-m.x-1<0恒 (1)不等式ax2+bx十c>0的解集是全 成立， 体实数（或恒成立）的条件是，当a=0 若m=0,显然-1<0. 若m≠0，mC0, 时，b=0,c>0;当a≠0时， a>0 △<0 →-4<m<0. {△=m2+4m<0, (2)不等式ax2+bx十c<0的解集是全 .-4<m≤0. 体实数（或恒成立)的条件是，当a=0 (2)解法一：要使y<-m十5在1≤x≤3 上恒成立，就要使m-+是m-6 时，b=0,c<0;当a≠0时， 4<0 (3)g≤a恒成立台a≥[y]max,y≥a恒 <0在1≤x≤3上恒成立. ◆y-+m-61 成立台a≤[y]min: [变式训练] 当m>0时，y在1≤x≤3上随x的增大 4.已知函数y=mx2+mx+(m-1)的值恒 而增大， 为负值，求m的取值范围， .当x>3时ymax=7m-6<0, 0<m<9; 当m=0时，一6<0恒成立； 当m<0时，y在1≤x≤3上随x的增大 而减小， ∴.当x=1时ymx=m-6<0,得m<6, ∴.m<0. 综上所述：m<9 ☑课堂达标 解法二：当1≤x≤3时，y<-m十5恒成 立，即当1≤x≤3时，m(x2-x十1)-6<0 1.不等式x2-3x+2<0的解集为() A.（-∞，-2)U(-1,+∞) 恒成立. -x1-(e-2+>0. B.(-2,-1) C.(-∞，1)U(2,+∞) 又.m(x2-x+1)-6<0, D.(1,2) 6 2.不等式ad2+5x+6>0的解为写<x<号， 1 m22-f、 函数y= 6 6 则a、b的值分别为 ) x2-x+1 )23 在 A.-6,-1 B.1,6 x一2 C.-1,-6 D.-1,-1 1≤≤3上的最小值为，∴只需m<号 3.二次不等式ax2十bx十c<0的解集是全 体实数的条件是 ( 即可 a>0 (a>0 规律方法此题型常有两大类型，在R A. B. △>0 △<0 上恒成立（即不等式解集为R)和在R上子 区间上恒成立（这个区间为解集的子集）. C. a<0 D./a0 △>0 △<0 66((《《<(<< 高中新知探究学习 第二篇\ 4.若0<<1，则不等式x-)(-下0 三、解答题 6.解下列不等式： 的解集为 (1)x2-5.x-6>0: 5.解下列不等式： (2)-x2+7x>6; (1)x(7-x)≥12； (3)(2-x)(x+3)<0; (2)x2>2(x-1). (4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 课后检测评价 7.某商品每件成本价为80元，售价为100 元，每天售出100件.若售价降低x成 一、选择题 1.不等式品≥0的解集是（ (1成=100，售出商品数量就增加： 成.要求售价不能低于成本价. A.[2024,2025] B.[2024,2025) (1)设该商店一天的营业额为y,试求y C.(-∞，2025] D.(2024,+∞) 与x之间的函数关系式，并写出定义域； 2.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是 (2)若再要求该商品一天营业额至少为 {x|一7<x<一1}，那么a的值是() 10260元，求x的取值范围. A.1 B.2 C.3 D.4 3.在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+2a十b,则 满足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范 围为 () A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{xlx<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 二、填空题 4.当a>-1时，关于x的不等式x2+(a 1)x-a>0的解集是 5.当1<x<2时，不等式x2十mx十4<0恒 成立，则m的取值范围是 >>)>>>67衔接教材一本通 4.A[x>4,∴.x-4>0, 十4=8， 当且仅当x一4=44即x=6时取等号， 当>4时，不等式x十4≥m恒成立， 小只名<（十产）-8m的取维宽用 为：m≤8.故选A.] 5.56.18 7.证明：因为a>b>c, 所以a-b>0,b-c>0,a-c>0. 所以4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)] =(a-c)2.所以a-b)6-c子a-c a-c 4 即6ca-b0-4≥0. (a-b)(b-c)a-c 所以。662+.0 8.解：设平均每天所支付的总费用为y元， 则y-1[9x(x十1)+900]+0.6×6000 =900+9z+3609 x 900×9x+3609=180+3609=3789, ≥2 当且仅当900=9x,即x=10时取等号， 则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天 所支付的总费用最少， 第3节一元二次不等式 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)原不等式可化为x(x一5)<0， 所以不等式的解为0<x<5. (2)原不等式可化为(x-2)2>0, 所以原不等式的解为x≠2 (3)原不等式可化为x2-4x十5<0， .△=42一4×5<0，∴.原不等式无解. 2.(1)A(2)a≤1 3.解：当a<0,或a>1时，有a<a,此时，不等式 的解集为{xa<x<a2}; 当0<a<1时，有a2<a,此时，不等式的解集为 {x|a2<x<a}; 当a=0,或a=1时，原不等式无解. 综上，当a<0,或a>1时，原不等式的解集为 (x a<z<a2); 当0<a<1时，原不等式的解集为{xla<x<a}; 当a=0,或a=1时，解集为⑦. 128<((《<<<< 数学 4.解：函数y=mx2+mx十(m一1)的值恒为负值， 即不等式mx2+mx+(m一1)<0对一切实数x 都成立， 于是①当m=0时，一1<0恒成立； ②当m≠0时，要使其恒成立，则有 (m<0, 4=m-4m(m-1)<0,解得m<0. 综上，m的取值范围为{mm≤0}. 课堂达标 1.D[x2-3x+2<0台(x-1)(x-2)<0台1<x <2.] 2.A[由已知可知方程ax2十5.x十b=0的两根分 别为日，日由韦达定理得：一日-名十日日 a-3+2'a 3×3a=-66=-1] 3.D[结合二次函数的图象，可知若ax2十bx十c 0则88】 {女<< 5.解：(1)原不等式可化为x2一7x十12≤0，因为方 程x2-7x十12=0的两根为x1=3,x2=4. 所以原不等式的解集为{x3≤x≤4}. (2)原不等式可以化为x2-2x十2>0， 因为判别式△=4-8=一4<0，方程x2-2x十2 =0无实根，而抛物线y=x2一2x十2的图象开 口向上， 所以原不等式的解集为R 课后检测评价 1B[82≥0 (x-2024)(x-2025)≤0，台2024≤x< 1x-2025≠0， 2025,则不等式解集为[2024,2025).] 2.C 3.B[根据给出的定义得，x⊙(x一2)=x(x-2) +2x+(x-2)=x2+x-2=(x十2)(x-1),又 x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,解得-2 <x<1,故所求实数x的取值范围是{x|一2<x <1}.] 4.{xx<-a或x>1}5.m≤-5 6.解：(1)方程x2一5x-6=0的两根为x1=-1, x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象知， 原不等式的解集为{x|x<-1或x>6} (2)原不等式可化为x2一7x十6<0. 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6.结合二 次函数y=x2一7x十6的图象知， 原不等式的解集为{x|1<x<6}. (3)原不等式可化为(x-2)(x十3)>0. 方程(x一2)(x十3)=0两根为2和一3. 结合二次函数y=(x一2)(x十3)的图象知，原 不等式的解集为{xx<一3或x>2}. (4)由原不等式得8x2一8x+4>4x-x2. .原不等式等价于9x2-12x十4>0. 解方程9x2-12x十4=0，得x1=x2=3 结合二次函数y=9x2一12x+4的图象知，原不 等式的解集为{红≠号}： 7.解：(1)由题意得y=100(1-8)·100 (0+8) 因为售价不能低于成本价， 所以101-局)-80≥0. 即0≤x≤2，所以y=40(10-x)(25+4x),定 义域为[0,2]. (2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10260， 化简得82-30x+13<0,解得号<x≤8 所以x的取值范周是{女合≤≤2} 第三章函数 第1节函数的概念 课前预习导引 知识点1 1.任意一个数x唯一确定的数f(x)y= f(x),x∈A2.自变量x的取值范围函数值 {f(x)|x∈A}子集 课堂典例探究 变式训练 1.⑤ 2.解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须 满足x+1≠0， {-x2-x+6≥0， 即-1，。。即z≠一1， {x2+x-6≤0，{(x+3)(x-2)≤0， 解得一3≤x≤2且x≠一1，即函数定义域为{x| -3≤x≤2且x≠-1}. (2)要使函教有意义，则0-工之0解得-0 1x-3≠0， ≤x≤√10，且x≠士3， 即定义域为{x|一√/I0≤x≤/I0,且x≠士3}. 3.解：(1)（观察法）因为x∈{1,3,5,7}，分别代入 求值，可得函数的值域为{3,7,11,15}. (2)(分离常数法)y=2x+1=2(x-3)+7 x-3 x一3 2计7写显然写≠0，所以y≠2故通数的位 域为(-∞，2)U(2,十∞). 课堂达标 1.A[①，②，③的定义域都是R,④的定义域为 (-∞，0)U(0,+∞).] 2.C[根据函数的定义可知选C.] 参考答案 3.C[对于第一组，定义域不同；对于第三组，对 应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法 则都相同.故选C.] 4.{-1,1,5,11} 5.解：(1)因为f(x)=1十x’ x (2)由1D发现fx)+f)-1 22 1+x十1+x =1. 12 (3)f(1)= 1+12-2 由(2)知f2)+f(合)=1，f3)+f()=1, 1 …,f(2026)+f八2026 =1,所以原式=2025 +1=4051 2 2 课后检测评价 1.C2.C 3.B[y=的值城为[0，+∞)，y=1的值城为 (-∞，0)U(0,+∞)，y=x2+1的值域为[1， +∞).] 4.C[当x=1时，g(f(1))=g(2)=2≠1； 当x=2时，g(f(2)=g(3)=1≠2； 当x=3时，g(f(3))=g(1)=3,满足方程.] 5.2或26 (,) 7.解：由题意可得3a十61：解得=1 110a+b=8, 。所以 1b=-2 对应关系f:x→y=x一2，故输入值5对应的输 出值为3. 8.解：(1)f(x)=十 fe)- 2=号， r]=f() +1 3 5 十2 8 3 129