1 第2章 方程与不等式(组) 第1节 一元二次方程-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第一篇 第二章方程与不等式（组） 第1节一元二次方程 衔接目标 高中数学在解析几何里对一元二次方程的根与系数的关系有更高的要求，因此通 过本节的学习要在初中数学的基础上，能更灵活地运用韦达定理解题 保证这个一元二次方程有两个实数根， 课前预习导引 即△≥0. 一、知识链接 3.(1)利用根与系数的关系既可以确定方 1.一元二次方程的求根公式与判别式 程的两根之和与两根之积的值，也可以 对于一元二次方程ax2十bx+c=0(a≠ 求一些代数式的值，还可以利用它求方 0),我们把b一4ac叫做一元二次方程 程中字母系数的值.运用时要将已知式 ax2十bx十c=0(a≠0)的根的判别式，通 或待求式化成x1十x2,x1x2的形式 常用符号“△”来表示 (2)运用根与系数的关系确定方程中字母 (1)当△>0时，方程有两个不相等的实数 系数的取值时，需要注意必须要保证方 根x.2=一b土VB-4ac 程是一元二次方程，即二次项系数不能 2a 为0，且还要保证方程有实数根，即 (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根 △0. b x1=x2= 2 课堂典例探究 (3)当△<0时，方程没有实数根。 类型一 求一元二次方程的根一叉 2.一元二次方程根与系数的关系 「例川判定下列关于x的方程的根的情况 如果ax2+bx十c=0(a≠0)的两根分别 (其中a为常数)，如果方程有实数根，写 b 是那么十=一名= a 出方程的实数根。 这一关系也被称为韦达定理.特别地， (1)x2-3x+3=0; 对于二次项系数为1的一元二次方程 (2)x2-ax-1=0; x2十px十q=0,若x1,x2是其两根，由 (3)x2-a.x+(a-1)=0; 韦达定理可知 (4)x2-2x十a=0. x1十x2=,x1·x2=q, [解](1).△=32一4×1X3=一3<0， 即p=-(x1十x2),q=x1·x2 方程没有实数根 二、化解疑难 (2)该方程的根的判别式△=a2一4×1X 1.(1)先把方程的二次项系数化为1，再在 (一1)=a2+4>0,所以方程一定有两个 方程两边都加上一次项系数一半的平方 不等的实数根 是配方的关键， x-atva'F4 2 x,=aa2+4 (2)用因式分解法解一元二次方程时，一定 2 要将方程化成一边为0，另一边为两个 (3)由于该方程的根的判别式为 一次式的积的形式. △=a2-4X1×(a-1)=a2-4a+4 2.运用根与系数的关系确定方程中字母系 =(a-2)2, 数的值时，必须保证两个前提条件：一是 所以，①当a=2时，△=0，所以方程有两 保证方程是一元二次方程，即a≠0；二是 个相等的实数根x1=x2=1; )>>>>)17 衔接教材一本通 数学 ②当a≠2时，△>0，所以方程有两个不 [解] （1)该方程是倍根方程，理由如下： 相等的实数根x1=1,x2=a一1. x2-6x十8=0，解得x1=2,x2=4, (4)由于该方程的根的判别式为 .x2=2x1y △=22-4X1×a=4-4a=4(1-a), '.一元二次方程x2一6x十8=0是倍根 所以①当△>0，即4(1-a)>0,即a<1 方程； 时，方程有两个不相等的实数根x1=1十 (2).方程x2+bx十c=0是倍根方程，且 √1-a,x2=1-√/1-a; 方程有一个根为2， ②当△=0，即a=1时，方程有两个相等 .方程的另一个根是1或4， 的实数根x1=x2=1; 当方程根为1,2时，一b=1十2，解得 ③当△<0，即a>1时，方程没有实数根， b=一3，c=1×2=2; 规律方法一元二次方程根的判别式 当方程根为2,4时一b=2十4，解得 △=b2一4ac是用来判断其根的情况 b=-6,c=2×4=8. 的，当△≥0时，方程一定有两根，其根 规律方法解题时先把代数式变形成 可以通过因式分解或求根公式求得；当 与两根和、积有关的形式，注意前提：方程 △<0时，方程没有根.当△符号不确定 有两个实数根时，判别式大于或等于0. 时，要对△进行分类讨论，从而确定方 [变式训练] 程的根的情况. 2.已知关于x的一元二次方程x2+（2m十 [变式训练] 3)x十m2=0有两根a,3. 1.(1)解方程：x2-3x-4=0; (1)求m的取值范围； (2)解方程：x2十4x一7=6x十5. (2)若a+B+aB=0.求m的值， 》类型二一元二次方程根与系数的关系☑ 类型三二元三次方程根与系数的关可 「例2如果关于x的一元二次方程ax2+ 系和根的情况的综合应用 bx十c=0(a≠0)有两个实数根，且其中 「例3已知x1、x2是一元二次方程 一个根为另一个根的2倍，则称这样的 (a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根 方程为“倍根方程”. (1)是否存在实数a,使-x1十x1x2=4十x2 (1)请问一元二次方程x2一6x十8=0是 成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你 倍根方程吗？如果是，请说明理由， 说明理由； (2)若一元二次方程x2十bx十c=0是倍根 (2)求使(x1十1)(x2+1)为负整数的实 方程，且方程有一个根为2，求b、c的值， 数a的整数值， 18((《 初、高中基础知识衔接 第一篇 [解](1)根据题意，得△=(2a)2-4× ☑课堂达标 a(a-6)=24a≥0.解得a≥0.又.a-6 1.已知x1,x2是关于x的方程x2-m.x-3 ≠0，a≠6.由根与系数关系得：x1十x2 =0的两个根，下面结论一定正确的是 a26西426由-x+ 2a ( A.x1+x2>0 B.x1≠x2 4十得x十十4=x22 十4 a- C.x1·x2>0 D.x1<0,x2<0 -a06解得a=24,经检验a=24是方 2.关于x的一元二次方程ax2-5x十a+a =0的一个根是0，则a的值是() 程。2064.26的解即存在a24 A.0 B.1 a-6 C.-1 D.0或-1 使-x1十x1x2=4十x2成立. 3.2026年3月，第九届广西万村篮球赛（广 (2)原式=x十，十x,x,十1=-20十 a-6 西村BA)总决赛在玉林市兴业县举办， 2品6+1=6为负整数，则6-a为1 赛事采用单循环赛制（每两支球队之间 只比赛1场).若本次比赛一共进行了91 或-2，-3，-6.解得a=7或8,9,12. 场，那么一共有多少支球队参加比赛？ 规律方法解答此类题的关键是将与 设参赛球队共有x支，根据题意可列一 方程两根有关的式子转化为用两根和、 元二次方程为 () 积表示的形式，从而利用一元二次方程 根与系数的关系解决问题.注意不要忽 A.2x(x-1)=91 略题目中的隐含条件△≥0，导致解答 B2x(e+1)=91 不全面： C.x(x+1)=91 [变式训练] D.x(x-1)=91 3.关于x的方程x2-(2k-1)x+k-2k+3 4.一元二次方程x(x+5)=x十5的解为 =0有两个不相等的实数根 (1)求实数k的取值范围； 5.已知m是方程x2十x-1=0的一个根， (2)设方程的两个实数根分别为x1、x2, 求代数式(m十1)2+(m+1)(m-1) 存不存在这样的实数k,使得x1|一x2 的值. =√5？若存在，求出这样的k值；若不存 在，说明理由. >>>>>>19 衔接教材一本通 数学 三、解答题 课后检测评价 7.第九届亚冬会于2025年2月19日至27 一、选择题 日在哈尔滨举行，某商店以每件8元的价 1.用配方法解一元二次方程x2+4x一5=0， 格购进亚冬会吉祥物挂坠，以每件14元 此方程可变形为 ( 的价格出售，据统计，4月份的销售量为 A.(x十2)2=9 B.(x-2)2=9 256件，6月份的销售量为400件. C.(x+2)2=1 D.(x-2)2=1 (1)求该吉祥物挂坠5,6两个月销售量的 2.下列四个说法： 月均增长率； ①方程x2十2x一7=0的两根之和为一2，两 (2)经市场预测，该吉祥物挂坠7月份的 根之积为一7；②方程x2一2x+7=0的 销售量将与6月份持平，商店为回馈顾 两根之和为一2，两根之积为7；③方程 客，决定降价促销.调查发现，该吉祥物 3x2一7=0的两根之和为0，两根之积为 挂坠的售价每降价1元，月销售量就会增 子：④方程3r+2x=0的两根之和为 加20件，那么每件售价定为多少元时，该 吉祥物挂坠7月份的销售利润可达到 一2，两根之积为0. 1760元. 其中正确说法的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.关于x的方程(m-2)x2-3-mz+ 4 =0有实数根，则m的取值范围( ) A.a≤号且m≠2 Bm>号 C.m≤2 D.m≤3且m≠2 8.已知关于x的方程x2-(m-2)x-m 4 4.欧几里得的《原本》记载， =0. 形如x2+ax=b的方程 (1)求证：无论m取什么实数时，这个方 的图解法是： 程总有两个相异实数根； 画Rt△ABC,使∠ACB (2)若这个方程的两个实数根x1,x2满足 |x2|=x1|+2,求m的值及相应的 =90,BC-号AC=b,再在斜边AB上截取 x1x2: BD=号则该方程的一个正根是 ( A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 二、填空题 5.设a,3是方程x2一2x一2026=0的两个 实数根，则a2+a8-2a的值为 6.若|b一1+√a-4=0,且一元二次方程 kx2+ax十b=0有实数根，则k的取值范 围是衔接教材一本通 2.解：(1)原式=x2+(2m+1)x+m(m+1)=(x +m)(x+m+1). 1 m 1m+1 (2)原式=[7(a+b)+2][(a+b)-1] =(7a+7b+2)(a+b-1). (3)原式=(2+3)(t-1)=(t-1)(t+1)(2+3). 23 1-1 3.解：(1)a2-ab-6b2=0,(a-3b)(a+2b)=0, .a=3b或a=-2b. 当a=6时，台+8-品0-号+8=8宁 当a=-26时，+8=6十2=-名-2 =-22 (2)a+9b2-2a+6b+2=0, 则(a2-2a+1)+(962+6b+1)=0, (a-1)2+(3b+1)2=0,a=1,6=- 3, 2a-36=2X1-3(-号)=2+1=3. 4.解：(1)令2x2-3x-1=0,则△=17>0， 解得x=3+严，=3= 4 4 2x-3-1=2.8+￥2-3)月 (2)令3x2+4xy-y2=0,则△=28y2≥0，解得 x=-2y应，=-2y27区 3 3 .3x2+4xy-y1 =3+2y+2y+ 3 3 课堂达标 1.B[.x2+2x-3=(x-1)(x+3), .(x-1)(x+3)=0,.x1=1,x2=-3.] 3 2.c[X ,.原式=(3x+1)(2x一3).] 3.C[4x2十x十2不能用十字相乘法分解.] 4-+ 116<< 数学 5.解：(1)3x2-14x十15=(3x-5)(x-3); (2)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8=(x2+2x-8)· (x2+2x+1)=(x+4)(x-2)(x+1)2; (3)x2+2x-15-ax-5a= (x+5)(x-3)-a(x+5)=(x十5)(x-3-a). 课后检测评价 1.B2.D 3.A[令x2十ax一12=0，设其两根为x1,x2,利用韦 达定理知：x十x2=一a,xz2=-12,乘积为-12 的两整数有12，一1；-12,1；-2,6；2，-6；-3,4；3， 一4共6组.∴.符合条件的整数a有6个.] 4.C[若含有因式x一1，则令多项式中x=1,则 多项式的值为0，检验得①③⑤⑥成立.] 5.16.-a+1或-2a-1 7.解：(1)(x2-7x)2+10(x2-7x)-24 =(x2-7x+12)·(x2-7x-2) =(x-3)(x-4)(x2-7x-2). (2)x4-2x2(y2+z2)+(y2+2)2 =[x2-(y2+z2)]2=(x2-y2-22)2 8.解：(2x3-7x2-19x十60)÷(2x-5)=x2-x 12=(x-4)(x+3),∴.2x3-7x2-19x+60= (2x-5)(x-4)(x+3). 第二章方程与不等式（组） 第1节一元二次方程 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1).原方程可化为：(x十1)(x一4)=0， .x十1=0或x-4=0, 解得x1=4,x2=一1. (2)方程整理得：x2-2x+1=13,即(x-1)2=13, 开方得：x一1=士√13，解得：x1=1十√13， x2=1-√13. 2.解：(1)由题意知，(2m+3)2-4×1×m≥0， 解得：加≥一寻， (2)由根与系数的关系得：a十3=一(2m十3)， a3=m2, a十B+a3=0, ∴.-(2m+3)+m2=0, 解得：m1=-1,m2=3, 由1)知m≥-是， 所以m1=一1应舍去，故m的值为3. 3.解：(1).方程有两个不相等的实数根， .△=[-(2k-1)]2-4(2-2k-3)=4k-11 >0,解得：>号 (2)存在，：x1十x2=2k-1,x1x2=2-2k十3= (k-1)2+2>0, .将|x1|一x2|=√5两边平方，可得x号一2x1x2 +x=5,即(x1十x2)2-4x1x2=5, 代入得：(2k-1)2-4(k2-2k十3)=5， 解得：4k-11=5, 解得：k=4. 课堂达标 1.B[.△=(-m)2-4×1×(-3)=m2+12>0, .方程x2一mx一3=0有两个不相等的实数根， x1≠x2.] 2.C[把x=0代入方程得：a2十a=0,.a=0, a=-1,又：方程ax2-5x十a2十a=0是一元 二次方程，.a≠0，.a=-1.] 3.A[根据题意，赛事采用单循环制，即每两支球 队之间只比赛1场.设参赛球队共有x支，那么 每支球队需要与其他x一1支球队各比赛1场. 由于每场比赛被两支球队计算一次，总比赛场 数为2x(x一1)，因总比赛场数为91场，因此可 列一元二次方程为2x(x-1)=91.] 4.x1=-5,x2=1 5.解：m是方程x2十x-1=0的一个根，∴.m2十 m-1=0..m2+m=1.∴.原式=m2+2m+1+ m2-1=2m2+2m=2(m2+m)=2. 课后检测评价 1.A2.B 3.C[当m一2=0，即m=2时，关于x的方程 m-2》x3mx+}-0可化为-x+}-0, 有一个实数根， 当m-2≠0时，，关于x的方程(m一2)x2 3mx十}=0有实数根， a=3-m-4m-2)·≥0，解得：m≤8且 m≠2，∴m的取值范围是m≤号，】 4.B[欧几里得的《原本》记载，形如x2十ax=b2 的方程的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB= 90,BC=号，AC=b,再在斜边AB上藏取BD =号，谈AD=x,根据匀股定理得：(+受)° 6+()》,整理得：x+ar=6, 则该方程的一个正根是AD的长.] 5.解析：a,B是方程x2-2x-2026=0的两个实 数根， c2=2a+2026,g=-2026=-2026, 1 ∴.a2+a3-2a=2a+2026-2026-2a=0. 答案：0 6.k≤4且k≠0 7.解：(1)设该吉祥物挂坠5,6两个月销售量的月 均增长率为x. 根据题意得256(1+x)2=400,解得x1=0.25 =25%,x2=一2.25（不符合题意，舍去）.即该 吉祥物挂坠5,6两个月销售量的月均增长率为 25%. (2)设每件售价定为y元，则每件的销售利润为 (y-8)元，月销售量为400+20(14-y)=(680 -20y)件. 根据题意得(y-8)(680-20y)=1760, 整理得y2一42y+360=0, 参考答案 解得y1=12,y2=30(不符合题意，舍去).即每 件售价定为12元时，该吉祥物挂坠7月份的销 售利润可达到1760元. 8解：1)证明：国为4=(m一2-4(-”四) =(m一2)2十m2>0恒成立，所以无论m取什么 实数时，这个方程总有两个相异实数根. (2),|x2|=|x1|+2,.|x2|-|x1|=2, .(|x2|-|x1)2=x2+x-2lx1x2|=4, 又x=-≤0x=- ∴(|x21-|x1l)2=x2+x-2|xx2|=(x2+ x1)2=4,即(m-2)2=4,.m=0或4. 当m=0时，原方程为x2十2x=0, 又x2|-|x1=2>0, .方程的两根为x1=0,x2=2. 当m=4时，原方程为x2一2x一4=0， 又|x2|-|x1|=2>0, .方程的两根为x1=1-5,x2=1十5， 第2节可化为一元二次方程 的分式方程的解法 课堂典例探究 变式训练 1.解：原方程化为x2十1=k,若原分式方程产生增 根，则当x=0时，k=1;当x=一1时，k=2. 故k的值为1或2. 2.解：方程两边同时乘以x(x十1)(x十4)，得x(x -2)=x(x+4)+(x-4)(x+1),即x2+3.x-4 =0.解得x=1,或x=一4.经检验，x=一4是 增根.所以原方程的根是x=1. 3.解：设十2工=y,则原方程可化为8-11y十 x2-1 3=0,解得y=8或y=1, 81 自y时+-员参理得，6r+15+3 =0,x1=- 5=一31当y=1时，十2 1 x2-1 =1,整理得：x=一 经检脸知石=一司， 1 云=-3，=一号是原方程的根 课堂达标 1.B[左右同乘以最简公分母(x一2)，得x=2(x -2)+3] 2.D[利用整体代换，使之变为y的方程，故设 小 3.A[方程两边都乘(x+3),得x十2=m 方程有增根， .最简公分母x十3=0，即增根是x=一3， 把x=一3代入整式方程，得m=一1.] 4.解：方程两边同乘(x一1)(x+2)得：x(x十2) (x-1)(x+2)=3, 解得x=1,检验，当x=1时(x-1)(x十2)=0， ∴原分式方程无解 >>>>>>>>117