1 第2章 方程与不等式(组) 第2节 可化为一元二次方程的分式方程的解法-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第一篇 第2节 可化为一元二次方程的分式方程的解法 衔接目标… 在初中阶段我们学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法，而为了适应高中 学习，我们需要补充可化为一元二次方程的分式方程的解法，并且只要求掌握不超过三 个分式构成的分式方程的解法，并会用去分母法和换元法两种方法求方程的根。 二、化解疑难 课前预习导引 1.解可化为一元二次方程的分式方程时， 一、知识链接 要先把各分式的分母能因式分解的都要 1.可化为一元二次方程的分式方程 因式分解」 可化为一元二次方程的分式方程通常有 两种类型， 2.当方程中的一个分式是另一个的倒数 一是“倒数型”，如方程，1 5 (或倒数的几倍)时，可以设一个分式为 Γ2 y,则另一个分式为，这样就把原分式方 ,设兴，则原方程可化为y 程转化为一个简单的分式， 2一了方程两边同乘y,即得一元二次 51 课堂典例探究 方程y-2y十1=0. 》类型一_分式方程的增根问题 三是平方型”，如2+了-(（任+小 例川试确定实数m的值，使关于x的方程 12=0,设是十x=y,则原方程可化为 +名有蝴根 y2-y-12=0.解可化为一元二次方程 [思路分析]分式方程化为整式方程后 的分式方程时，要注意“整体”形式，每一 求得的根，若使原方程的分母为零，则为 整体项结构，若经过变形后可化为上述 增根，由此我们可以得到如下解法 两种类型，就可用“换元法”化成一元二 [解]原方程去分母，两边同时乘以 次方程来解。 x(x-1), 2.去分母解分式方程的一般步骤 得3(x-1)+3.x=x十m, (1)把各分式的分母因式分解； 去括号、移项、合并同类项得5x=3十m, (2)在方程两边同乘各分式的最简公分母； (3)去括号，把所有项都移到左边，合并同 解方程得x=3十m 5 类项； (4)解整式方程； 若使方程有增根，只要x=1或x=0 (5)验根，验根的基本方法是代入原方程进 即可， 行检验，但代入原方程计算量较大.而 分式方程可能产生增根，就是使分式方 故3=1成3计0=0， 5 程的分母为0的根.因此我们只要检验 即m=2或m=一3. 整式方程的根，是否使分式方程两边同 ∴.当m=2或m=一3时，关于x的方程 乘的各分式的最简公分母为0.若为0， 3+3,= x+m 即为增根；若不为0，即为原方程的解， xT】x)有增根 >>>>>>21 衔接教材一本通 数学 规律方法 [变式训练] 增根问题可按如下步骤进行： 2解方程平64十) x-2 1 ①根据最简公分母确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关 字母的值 [变式训练] 1,取何值时，方程2平二1=会 x+1 x x2十x 产生增根？ 类型三，用换元法化分式方程为一元冈 二次方程 顾1解方程（兰”- -4=0 [思路分析]本题若直接去分母，会得 到一个四次方程，求解过程会很麻烦.但 》类型二可化为一元三次方程的分式方☒ 程的解法 注套到方程的结指特点，设二-即 网21解方程：十2十4x21 4.x 2 得到一个关于y的一元二次方程，求出y [思路分析]先确定最简公分母为(x十 的值，然后用去分母法解方程二=y 2)(x一2)，然后方程两边同时乘最简公 即可得原分式方程的解. 分母变为整式方程. [解] 设三y,则原方程可化为y [解]原方程可化为1 十 +2 3y-4=0,解得y=4或y=一1. Ax 2 (x十2)(x-2)一x二2=1，方程两边各项 当=4时若-4，去分泽，得= 都乘(x+2)(x一2)，得 -1),整理，得x2-4x十4=0，解得x=2; (x-2)+4x-2(x十2)=(x+2)(x-2), 当y=-1时，二=一1，去分母，得 即3x-6=x2一4，整理，得x2一3x十2 x2=一x十1，整理，得x2十x一1=0，解得 =0, 解得x=1或x=2. -1±5 P 检验：把x=1代入（x+2)(x-2),不等 于0，所以x=1是原方程的解；把x=2 检验：把工=2，x=1±5分别代入原 2 代入(x十2)(x一2)，等于0，所以x=2是 方程的分母中，各分母都不为0. 增根.所以原方程的解是x=1. 所以工=2，x=-15都是原方程 规律方法(1)为确定最简公分母，首 先要将分式方程中能分解因式的分母 的解 进行分解因式；(2)方程两边都乘(x十 规律方法用换元法解分式方程常见 2)(x一2)时，右边整数1这一项一定不 的错误是只求出辅助未知数y的值，而 要漏乘， 没有求出原方程的解，即x的值。 22(((<< 初、高中基础知识衔接 第一篇 [变式训 8(x2+2)+3(x2-1)=11. 课后检测评价 3.解方程：-1 x2+2x 一、选择题 1.关于x的方程203-号的根为x=2, a-x 则a应取值 () A.1 B.3 C.-2 D.-3 2.方程”十”2=0可能产生的增根是 () A.1 B.2 ☑课堂达标 C.1或2 D.-1或2 1,解分式方程，兰。2+品2去分母后的结 3.关于x的方程2年-1的解是负数，则。 的取值范围是 果是 A.a<1 B.a<1且a≠0 A.x=2+3 C.a≤1 D.a≤1且a≠0 B.x=2(x-2)+3 4.设)=t+x十1，则方程2+x十1=2可 C.x(x-2)=2+3(x-2) x+x D.x=3(x-2)+2 变形为 () 2.用换元法解方程5(-D+2t+1D=6 A.y2-y-2=0B.y2+y+2=0 x2+1 x-x C.y2+y-2=0D.y2-y+2=0 二、填空题 时，最适宜的做法是 ( A.设x2-x=y B.设x2+1=y 5已知x=3是方程2十-1一个根， c设y D设-y 求的值 3关于x的方程号写产生增根，测 6去分母解分式方程4。 x-6 m的值及增根x的值分别为 x2- ,分母的最简公分母是 A.m=-1,x=-3 B.m=1,x=-3 三、解答题 C.m=-1,x=3 D.m=1,x=3 [1+ 1二5 x y 4.解方程：z21-1-（-D(x十2 3 7.解方程组 1 xy=6. 8方程+2瓷-18. x-1x(x+4) >>>>>23课堂达标 1.B[.△=(-m)2-4×1×(-3)=m2+12>0, .方程x2一mx一3=0有两个不相等的实数根， x1≠x2.] 2.C[把x=0代入方程得：a2十a=0,.a=0, a=-1,又：方程ax2-5x十a2十a=0是一元 二次方程，.a≠0，.a=-1.] 3.A[根据题意，赛事采用单循环制，即每两支球 队之间只比赛1场.设参赛球队共有x支，那么 每支球队需要与其他x一1支球队各比赛1场. 由于每场比赛被两支球队计算一次，总比赛场 数为2x(x一1)，因总比赛场数为91场，因此可 列一元二次方程为2x(x-1)=91.] 4.x1=-5,x2=1 5.解：m是方程x2十x-1=0的一个根，∴.m2十 m-1=0..m2+m=1.∴.原式=m2+2m+1+ m2-1=2m2+2m=2(m2+m)=2. 课后检测评价 1.A2.B 3.C[当m一2=0，即m=2时，关于x的方程 m-2》x3mx+}-0可化为-x+}-0, 有一个实数根， 当m-2≠0时，，关于x的方程(m一2)x2 3mx十}=0有实数根， a=3-m-4m-2)·≥0，解得：m≤8且 m≠2，∴m的取值范围是m≤号，】 4.B[欧几里得的《原本》记载，形如x2十ax=b2 的方程的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB= 90,BC=号，AC=b,再在斜边AB上藏取BD =号，谈AD=x,根据匀股定理得：(+受)° 6+()》,整理得：x+ar=6, 则该方程的一个正根是AD的长.] 5.解析：a,B是方程x2-2x-2026=0的两个实 数根， c2=2a+2026,g=-2026=-2026, 1 ∴.a2+a3-2a=2a+2026-2026-2a=0. 答案：0 6.k≤4且k≠0 7.解：(1)设该吉祥物挂坠5,6两个月销售量的月 均增长率为x. 根据题意得256(1+x)2=400,解得x1=0.25 =25%,x2=一2.25（不符合题意，舍去）.即该 吉祥物挂坠5,6两个月销售量的月均增长率为 25%. (2)设每件售价定为y元，则每件的销售利润为 (y-8)元，月销售量为400+20(14-y)=(680 -20y)件. 根据题意得(y-8)(680-20y)=1760, 整理得y2一42y+360=0, 参考答案 解得y1=12,y2=30(不符合题意，舍去).即每 件售价定为12元时，该吉祥物挂坠7月份的销 售利润可达到1760元. 8解：1)证明：国为4=(m一2-4(-”四) =(m一2)2十m2>0恒成立，所以无论m取什么 实数时，这个方程总有两个相异实数根. (2),|x2|=|x1|+2,.|x2|-|x1|=2, .(|x2|-|x1)2=x2+x-2lx1x2|=4, 又x=-≤0x=- ∴(|x21-|x1l)2=x2+x-2|xx2|=(x2+ x1)2=4,即(m-2)2=4,.m=0或4. 当m=0时，原方程为x2十2x=0, 又x2|-|x1=2>0, .方程的两根为x1=0,x2=2. 当m=4时，原方程为x2一2x一4=0， 又|x2|-|x1|=2>0, .方程的两根为x1=1-5,x2=1十5， 第2节可化为一元二次方程 的分式方程的解法 课堂典例探究 变式训练 1.解：原方程化为x2十1=k,若原分式方程产生增 根，则当x=0时，k=1;当x=一1时，k=2. 故k的值为1或2. 2.解：方程两边同时乘以x(x十1)(x十4)，得x(x -2)=x(x+4)+(x-4)(x+1),即x2+3.x-4 =0.解得x=1,或x=一4.经检验，x=一4是 增根.所以原方程的根是x=1. 3.解：设十2工=y,则原方程可化为8-11y十 x2-1 3=0,解得y=8或y=1, 81 自y时+-员参理得，6r+15+3 =0,x1=- 5=一31当y=1时，十2 1 x2-1 =1,整理得：x=一 经检脸知石=一司， 1 云=-3，=一号是原方程的根 课堂达标 1.B[左右同乘以最简公分母(x一2)，得x=2(x -2)+3] 2.D[利用整体代换，使之变为y的方程，故设 小 3.A[方程两边都乘(x+3),得x十2=m 方程有增根， .最简公分母x十3=0，即增根是x=一3， 把x=一3代入整式方程，得m=一1.] 4.解：方程两边同乘(x一1)(x+2)得：x(x十2) (x-1)(x+2)=3, 解得x=1,检验，当x=1时(x-1)(x十2)=0， ∴原分式方程无解 >>>>>>>>117 衔接教材一本通 课后检测评价 1.C2.C 程，十1=1可得a=x+1,即x=a-1 3.B[由方程a, <0,a<1,当a=0时，方程2千1=1 不成立，∴.a≠0.] 4.A[y=x2+x+1,x2+x=y-1,原方 程可变形为，吕即y-y一2=0 5.-36.(x-1)(x+2)(x-2) 7解：因为xy-日，所以=6，原方程组可化为 1 xy 1+1=5, y 设1,1是一元二次方程2-52十6=0的两个解， x V 1=2, （1=3, 解得之=2,22=3，即 12， 1二3， y (y2 1 1 x1= 2 x2= 1 x1= 所以 或 ’ 经检验 2, 1 y=3, 1 y2= 2 y=3 x2= 3 1 都是原方程组的解」 y2= 2 8解：设山二仁则原方程可化为u+218 即2-18u十72=0.解得u=6,或u=12. (1若4=6，则6=共，即2-2x十6=0， 因为△<0，此时方程无实根； 《2)若u=12,则12=十，即2一8x+12=0.解 得x=2,或x=6. 经检验，x=2,x=6都是原方程的根.又因原方程 没有其他根，所以原方程的根是x=2,或x=6. 第3节一元一次不等式（组）与 含绝对值的不等式 课堂典例探究 变式训练 1.解：-<-2> 3 把解集表示在数轴上为： -5-4-3-2-1012345x 8-3 (2):x-3z28+1≥2102,14x-703z 2 7 8)+14≥4(10-x), .14x-21x+56+14≥40-4x,-3.x≥-30， x≤10；把解集表示在数轴上为： 012345678910x 118(《((<((< 数学 2解：每方程短得x-7y-11与， 5 因为>y→7h-4_11-8张>0；解得：k>1. 5 3锯：1少原不号式等价于：-引名 由2x-5|>2可得2x-5>2或2x-5<-2, 解得>或< 由2x-5|≤7可得-7≤2x-5≤7，解的-1≤ x6. 综上所述，原不等式的解为一1≤x<号， 或7<<6 (2)解法一：当x一2≥0，即x≥2时，不等式可 化为x-2≥2x十4， 解得x≤一6，.不存在满足条件的x. 当x一2<0，即x<2时，不等式可化为一(x 2)≥2x十4，解的≤-号≤-号， 综上所述，原不等式的解为x≤一3， 2 解法二：原不等式可化为x一2≥2x十4或x一2 (2十40，即≤-6或≤-号， 即<-号 “原不等式的解为x≤一号 4.解：由x-1=0,得x=1;由x-3=0,得x=3. 当x<1时，原不等式可化为-(x-1)一(x-3) >4,即-2x十4>4，解得x<0,又x<1,∴.x <0; 当1≤x≤3时，原不等式可化为(x一1)一(x一 3)>4,即2>4，.不存在满足条件的x; 当x>3时，不等式可化为(x一1)十(x一3)>4， 即2x-4>4,解得x>4,又x>3,.x>4. 综上可得，原不等式的解为x<0,或x>4. 课堂达标 1.C[不等式2x十4>3x-1移项得，-x>-5, 在两边同时乘以一1，得x<5. 所以，不等式的解为x<5.] 2.B[2x-3<10 1x>-1② 由①得：x<2.由②得：x>一1. 根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的 解集为：一1<x<2.] 3.A[解不等式2x-1>3(x-2)得：x<5; 解不等式x<m得：x<m;因为不等式组的解是 x5, 根据不等式组解的判定方法即可得m≥5.] 4.x≥4或x≤-5 5.解：(1)原不等式可化为一20≤2x一8≤20，解得 一6≤x≤14..原不等式的解为一6≤x≤14； (2)原不等式可化为9x+5≥13，或9x+5≤-13， 解得≥8或≤-2 愿不等式的解为≥8或≤一2，