2 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2节 基本不等式-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇 第2节基本不等式 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题， (2)设x,y为正实数，若xy=p(积p为定 课前预习导引 值)，则当x=y=√p时，和x十y有最 知识点① 重要不等式 值为2√p 如果a,b∈R,那么a2十b 2ab(当且 化解疑难 仅当a=b时取“=”). 1.x,y必须是正数. 知识点 基本不等式wab<a6 2 2.求积xy的最大值时，应看和x十y是否 (1)基本不等式成立的条件： 为定值；求和x十y的最小值时，应看积 (2)等号成立的条件：当且仅当 时 xy是否为定值. 取等号 3.等号成立的条件是否满足 (3)算术平均数与几何平均数 课堂典例探究， ①设a>0,b>0,则a,b的算术平均数 为“士，儿何平均数为wa6, 》类型一利用基本不等式比较大小-习 ②基本不等式可叙述为两个正数的算 例川已知0<a<1,0<b<1,则a+b, 术平均数 它们的几何平均数. 2√ab,a2+b,2ab中哪一个最大？ 化解疑难 [解]法一：因为a>0,b>0,所以a十b 1.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;√ab ≥2√ab,a2+b≥2ab, ≤生成立的条件是0,6均为正实数 所以四个数中最大的数应为a十b或 a2+b2.又因为0<a<1,0<b<1,所以 2.常用的几个重要不等式 a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a- (1)a+b≥2√ab(a>0,b>0); 1)+b(b-1)<0, (a,b∈R); 所以a2+b2<a十b,所以a十b最大. a.ED. 法二：令a=6=2, (④+号≥2a,6同号). 则a+6=1,2a6=1,a2+6=号， 2, 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 知识点③ “用基本不等式求最值的结论 2a6=2×3×分-司 (1)设x,y为正实数，若x十y=s(和s为定 值)，则当x=y=氵时，积y有最 2a=2x8- 值为 所以a十b最大 >>>>>>>>59 衔接教材一本通 数学 规律方法 (1)在使用基本不等式√ab [变式训练] s+6 2.已知a,b,c为正实数，且a十b十c=1, 2,a≥0，b≥0时，要注意不等式 的双向性 求证：（日1〔话1〔日-1≥8 ①从左到右：常使用基本不等式的变形 ②从右到左：常使用a十b≥2√ab. (2)运用基本不等式比较大小应注意等号 成立的条件. (3)特殊值法是解决不等式的一个有效 方法，但要使特殊值具有一般性. [变式训练] 1 1.(1)已知m=a+ a-2a>2),n=22-6(6 ≠0)，则m,n之间的大小关系是 》类型三 利用基本不等式求最值 例3引(1)已知<号，求y=4红-2+ 1 (2)设a,b为非零实数，给出不等式： 的最大值； ③生≥。白。0公+名≥2其中恒皮立 (2)已知0<x<号求y(1-2x)的 的不等式是 最大值； 类型二利用基本不等式证明不等式冈 (3)已知x>0,y>0,且1+9-1，求x+y 例2已知a,b,c为不全相等的正实数 x y 求证：a十b+c>√ab+√bc+√ca. 的最小值 [证明].a>0,b>0,c>0, [解] ∴.a+b≥2√Jab>0, x<号5-4z>0, b+c≥2Wbc>0,c+a≥2√ca>0, y=4x-2+4x-5 1 ∴.2(a+b+c)≥2(ab+bc+√ca), 即a+b+c≥√ab+√Jbc+√ca. =-5-4+3≤-2+3=1. 由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号 不成立 当且仅当5-4x 5-4z,即x=1时，上 1 ∴.a+b+c>√ab+√bc+√ca. 式等号成立， 规律方法1.所证不等式一端出现“和 故当x=1时，ymax=1. 式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基 本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式 （2)0<<3l-2x>0, 证明. 2.利用基本不等式证明不等式的注意点 y=是×2x(1-2x)≤4× (1)多次使用基本不等式时，要注意等号 能否成立； (2)累加法是不等式证明中的一种常用 方法，证明不等式时注意使用； :当且仅当2x=1-2x0<<2) (3)对不能直接使用基本不等式的证明可 重新组合，形成基本不等式模型，再使用 即x=4 时，yx=i6 60((《《(< 高中新知探究学习 第二篇\ x>0≥0+号1 ☑课堂达标 +y=(+}x+0=2++10 十2的最 1.已知x<-2,则函数y=2x十1 ≥6+10=16， 大值为 当具收当-号又十-1，中=4， A.2√2 B.2√2-4 y C.-2√2-4 D.-2√2 y=12时，上式取等号. 2.下列不等式一定成立的是 ( ) 故当x=4,y=12时，(x十y)min=16 规律方法利用基本不等式求条件最 A.x+1≥2(x≠0) x 值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已 且+7≥IE风 知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代 C.x2+1≤2x(x∈R) 入后再利用基本不等式求最值. D.x2+5x+6≥0(x∈R) (2)构造法： 3.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数中 ①构造不华式：利用a≤)，将式 最大的是 ) 子转化为含ab或a十b的一元二次不等 A号 B.a2+62 C.2ab D.a 式，将ab,(a十b)作为整体解出范围； ②构造定值：结合已知条件对要求的代 4.已知正数x,y满足x十2y=2,则乙十+8y xy 数式变形，构造出和或积的定值，再利 的最小值为 用基本不等式求最值， (3)函数法：若利用基本不等式时等号 5.已知x>0,y>0,且满足8+1=1， y 取不到，则无法利用基本不等式求最 求x十2y的最小值. 值，则可将要求的式子看成一个函数， 利用函数的单调性求最值， 易错警示：利用基本不等式求函数最 值，一定要判断等号何时成立。 [变式训练] 3.求下列各题的最值. 1吧知>0，求y-2+江的最小值： (2)设0<x<号，求函数y=4x(3-2x) 的最大值 课后检测评价】 一、选择题 1.已知x>0,y>0,则“xy=1”是“x十y≥ 2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 >>>>>>>>61 衔接教材一本通 数学 2.已知a>0,b6>0,a+6=2,则日+号的最 8.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂 每天需用大米0.6t,每吨大米的价格为 小值是 ( 6000元，大米的保管费用x(单位：元)与 A名 B.4 c号 D.5 购买天数x(单位：天)的关系为之=9x(x 十1)(x∈N*),每次购买大米需支付其 3.若函数f(x)=x+ x二2(x>2)在x=a 1 他固定费用900元.问：该食堂多少天购 ( 买一次大米，才能使平均每天所支付的 处取最小值，则a等于 总费用最少？ A.3 B.1+3 C.1+√2 D.4 4当x>4时，不等式x十≥m恒成 立，则m的取值范围是 ) A.m≤8 B.m<8 C.m≥8 D.m>8 二、填空题 5.已知正数a、b满足a2十b2=6,则 b√a2+4的最大值为 6.已知正实数a,b满足a十2b=1,则 (1+2)2+名)的最小值为 三、解答题 元.已知a≥6c,冰证a6+6。+。0 62(<8.解：(1)x=8,y=10 ·甲两周购买鸡蛋的平均价格为3X8+3×10 6 =9,乙两周购买鸡蛋的平均价格为1010 2080 9 810 (2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为3x十3 6 义，乙两周购买鸡蛋的平均价格为20 2 10+10 2由①)知，x=8,y=10时，乙两周购买鸡 蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的 平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠. 证明：依题意x,y>0,且x≠y,℃y-2xy 2 x十y z十y)2-4xy=x=y) 2(x+y) 2x+>0,“yS 2 2义，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两 x+y 周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更 实惠. 第2节基本不等式 课前预习导引 知识点1 知识点2 (1)a,b均为正实数(2)a=b(3)②不小于 知识点3 (1)大(2)小 课堂典例探究 变式训练 1.(1)m>n(2)①② 2.证明：因为a,b,c为正实数，且a十b十c=1, 所以1-1=14-生≥2应.同里，6-1 a a a a ≥2@c,1-1≥2a画 b’c 上述三个不等式两边 均为正， 湘来得（日-1名-1(-1）≥2· 2√ac.2√ab=8,当且仅当a=b=c= b 3时， 取等号 3解：0y-2+≥2/ga=12, x 当且仅当3z=是，即z=2时，取等号， y的最小值为12. (2)0<<23-2x>0∴y=4x(3-2x） -22x8-2r门≤22+g2a-号当 2 且仅当2x=3-2x,即x=时，等号成立. 4 参考答案\ 是∈(0，号)函数y=4(3-2x) (0<<)的最大位为号 9 课堂达标 1.C[因为x<-2,所以x十2<0，y=2(x十2) 2 4-2/8+2· -4=-22 -4,故选C.] 2.B[对于A,当x>0时成立； 对于B+1十≥2，当且收当=0时等 号成立； 对于C,应为x2十1≥2x(x∈R); 对于D,x+5x+6-(+-≥-] 3.B[a2+b=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2· 〔e)-合c+8-2ab=a-6y>0a头 b),∴.a2+b2>2ab(a≠b)..0<a<b且a+b= 1.a<分∴d+8最大.] 4.9 5据>0，>0,2+1， +2=(8++2)=10+5+1 8+1=1, 当且仅当义即=12时，等号成立， x=16y. (y=3 Ly x 故当x=12,y=3时，(x十2y)mim=18. 课后检测评价 1.A 2.C[:a+b=2,.ab=1. 2 +-(日+)生)-+(2+≥ 2a时，“=”成立)， 故日+的最小位为】 3.A[当>2时2-2>0，则fx)=x+2 =-2+2+2一-0+2=4 当且收当x一2=亡2x>2)时，即当x=3时， 等号成立，因此，a=3,故选A.] >>>>>>>>127 衔接教材一本通 4.A[x>4,∴.x-4>0, 十4=8， 当且仅当x一4=44即x=6时取等号， 当>4时，不等式x十4≥m恒成立， 小只名<（十产）-8m的取维宽用 为：m≤8.故选A.] 5.56.18 7.证明：因为a>b>c, 所以a-b>0,b-c>0,a-c>0. 所以4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)] =(a-c)2.所以a-b)6-c子a-c a-c 4 即6ca-b0-4≥0. (a-b)(b-c)a-c 所以。662+.0 8.解：设平均每天所支付的总费用为y元， 则y-1[9x(x十1)+900]+0.6×6000 =900+9z+3609 x 900×9x+3609=180+3609=3789, ≥2 当且仅当900=9x,即x=10时取等号， 则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天 所支付的总费用最少， 第3节一元二次不等式 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)原不等式可化为x(x一5)<0， 所以不等式的解为0<x<5. (2)原不等式可化为(x-2)2>0, 所以原不等式的解为x≠2 (3)原不等式可化为x2-4x十5<0， .△=42一4×5<0，∴.原不等式无解. 2.(1)A(2)a≤1 3.解：当a<0,或a>1时，有a<a,此时，不等式 的解集为{xa<x<a2}; 当0<a<1时，有a2<a,此时，不等式的解集为 {x|a2<x<a}; 当a=0,或a=1时，原不等式无解. 综上，当a<0,或a>1时，原不等式的解集为 (x a<z<a2); 当0<a<1时，原不等式的解集为{xla<x<a}; 当a=0,或a=1时，解集为⑦. 128<((《<<<< 数学 4.解：函数y=mx2+mx十(m一1)的值恒为负值， 即不等式mx2+mx+(m一1)<0对一切实数x 都成立， 于是①当m=0时，一1<0恒成立； ②当m≠0时，要使其恒成立，则有 (m<0, 4=m-4m(m-1)<0,解得m<0. 综上，m的取值范围为{mm≤0}. 课堂达标 1.D[x2-3x+2<0台(x-1)(x-2)<0台1<x <2.] 2.A[由已知可知方程ax2十5.x十b=0的两根分 别为日，日由韦达定理得：一日-名十日日 a-3+2'a 3×3a=-66=-1] 3.D[结合二次函数的图象，可知若ax2十bx十c 0则88】 {女<< 5.解：(1)原不等式可化为x2一7x十12≤0，因为方 程x2-7x十12=0的两根为x1=3,x2=4. 所以原不等式的解集为{x3≤x≤4}. (2)原不等式可以化为x2-2x十2>0， 因为判别式△=4-8=一4<0，方程x2-2x十2 =0无实根，而抛物线y=x2一2x十2的图象开 口向上， 所以原不等式的解集为R 课后检测评价 1B[82≥0 (x-2024)(x-2025)≤0，台2024≤x< 1x-2025≠0， 2025,则不等式解集为[2024,2025).] 2.C 3.B[根据给出的定义得，x⊙(x一2)=x(x-2) +2x+(x-2)=x2+x-2=(x十2)(x-1),又 x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,解得-2 <x<1,故所求实数x的取值范围是{x|一2<x <1}.] 4.{xx<-a或x>1}5.m≤-5 6.解：(1)方程x2一5x-6=0的两根为x1=-1, x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象知， 原不等式的解集为{x|x<-1或x>6} (2)原不等式可化为x2一7x十6<0. 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6.结合二 次函数y=x2一7x十6的图象知， 原不等式的解集为{x|1<x<6}. (3)原不等式可化为(x-2)(x十3)>0. 方程(x一2)(x十3)=0两根为2和一3. 结合二次函数y=(x一2)(x十3)的图象知，原 不等式的解集为{xx<一3或x>2}. (4)由原不等式得8x2一8x+4>4x-x2. .原不等式等价于9x2-12x十4>0.