2 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第1节 等式性质与不等式性质-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇\ 第二章一元二次函数、方程和不等式 第1节 等式性质与不等式性质 学习目标 1.了解不等式的性质. 2.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系， 课前预习导引 知识点③ 不等式的性质 知识点①“不等符亭与不等关系的表示 名称 式子表达 1.不等符号有 性质1（对称性） a>b台b<a 2.不等关系用 来表示 3.不等式中的文字语言与符号语言之间的 性质2（传递性） a>b,b>c→a>c 转换 性质3（可加性） a>b→a+c>b+c 大于 小于 大于 小于 至多 至少 不少于不多于 推论 a+b>c→a>c-b 等于 等于 a>b,c>0→ac>bc 性质4（可乘性） 化解疑难 a>b,c<0→ac<bc 1.不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”, 其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于 性质5（不等式 a>b,c>d→ b”,即若a>b或a=b中有一个正确，则 同向可加性) a+c>b+d a≥b正确. 性质6（不等式同向 a>b>0,c>d>0 2.不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”, 正数可乘性) →ac>bd 其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于 b”,即若a<b或a=b中有一个正确，则 a>b>0-→a">b” a≤b正确， 性质7（乘方性） (n∈N,n≥1) 知识点②比较两实数a,b天小的依据 a>b>0→Wa>6 如果a-b>0,那么 性质8（开方性） 依据：如果a-b<0,那么 (n∈N,n≥2) 如果a-b=0,那么 比较两实数a,6 的大小 结论：确定任意两个实数a,b的大小关系，只需 化解疑难 确定 的大小关系 1.单向性主要用于证明不等式； 化解疑难 2.双向性是解不等式的基础（当然也可用 1.作差法的理论依据：a>b台a-b>0;a=b 于证明不等式). 台→a-b=0;a<b台a-b<0. 3.若把c>0作为大前提，则a>bac>bc,若 2.作差法比较实数的大小的一般步骤是作 把c<0作为大前提，则a>b台→ac<bc.这 差→恒等变形→判断差的符号→下结论 两条性质也经常用于解不等式： >>>>>>55 衔接教材一本通 数学 八类型二 比较两数（式）的大小 课堂典例探究 例2(1)比较(x十2)(x+3)和(x+1)(x十 类型一 用不等式表示不等关系 4)的大小； 例你有过乘坐火车的经历吗？火车站 售票处有规定：儿童身高不足1.2m的 (2)已知a>6>0,<0,求后>云 免票，身高1.2m~1.5m的儿童火车票 [解](1)因为(x十2)(x十3)-(x十1) 为半价，身高超过1.5m的儿童买全价 票.你能用不等式表示这些规定吗？ (x+4)=x2+5x十6-(x2+5x+4) [解] 设身高为hm, =2>0, 文字身高不足 身高在1.2m 身高超过 所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4) 表述 1.2m ～1.5m间 1.5m (2)证明：因为a>b>0, 符号 所以ab>0,>0, 表示 h<1.2 1.2≤h≤1.5 h>1.5 票价 免票 半价票 全价票 由c<0,得C>S」 规律方法 1.此类问题的难点是如何 规律方法 正确地找出题中的显性不等关系和隐 1.作差法比较两个数大小的步骤及变 性不等关系. 形方法： 2.当问题中同时满足几个不等关系，则 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→ 应用不等式组来表示它们之间的不等 关系，另外若问题有几个变量，选用几 定号→结论 个字母分别表示这些变量即可. (2)变形的方法：①因式分解；②配方； 3.用不等式（组）表示不等关系的步骤： ③通分；④对数与指数的运算性质； (1)审清题意，明确表示不等关系的关 ⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论. 键词语：至多、至少、不多于、不少于等 2.如果两实数同号，亦可采用作商法来 (2)适当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变 比较大小，即作商后看商是大于1，等 量得不等式. 于1，还是小于1. [变式训练] [变式训练] 1.某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡 2.试比较下列各组式子的大小： 车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名 (1)Wx+1-√x与-√x-I,其中x>1; 驾驶员.此车队每天至少要运360t矿石 至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往 (2)x3-2y3与xy2-2x2y, 返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次， 其中x>y>0. 写出满足上述所有不等关系的不等式 高中新知探究学习 第二篇 M类型三 不等式性质的应用 4.已知a十b>0,b<0那么a,b,-a,-b的大 例3判断下列命题是否正确： 小关系是 .(用“>”号连接) (1)a>b,c>b→a>c 5.已知a>≥6>0，<d<0,荆断，名。与)2a (2)a>b→ac2>bc2 的大小 (3)a>b,c>d→ac>bd (5)a>b-→a2>b2 (6)a>|b-→a2>b2 ( (7)a>b>0,c>d>0→a>b [答案](1)×(2)×(3)×(4)/ (5)X(6)/(7)× 规律方法可用特殊值代入验证，也 可用不等式的性质推证. [变式训练] 3.用不等号“>”或“<”填空： (1)如果a>b,c<d,那么a-c b-d; 课后检测评价 (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac bd; 一、选择题 1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立 (3)如果a>b>0,那么 的是 ( (4)如果a>6>c>0,那么品 C 6 A日8 B.a2>62 ☑课堂达标 a D.a cl>blcl 1.据天气预报可知明天白天的最高温度为 C.2+1c2+ 2.已知a>b,则下列不等式成立的是 13℃，则明天白天的气温t与13℃之间 ) 存在的不等关系是 () A.t≤13℃ B.t<13℃ A.a262 B.1>1 C.t=13℃ D.t>13℃ 2.已知a∈R,p=(a-1)(a-3),q=(a- C.ac2>bc2 D> 2)2,则力与q的大小关系为 ( A.pq B.p≥q 3.已知a,b为实数，则“a>b>1”是“1 a C.pq D.≤q 3.已知a>b>0,则下列不等式中正确的是 ≤的 A.充分不必要条件 B.11 B.必要不充分条件 A.la<6l ab C.充要条件 C.-a>-6 D.a2<62 D.既不充分也不必要条件 >>>>>>57 衔接教材一本通 数学 4.若p=√a+2+√a+5,q=√a十3+ 8.“绿水青山就是金山银山”.随着经济的 √a十4，a≥0，则p,g的大小关系是 发展，我国更加重视对生态环境的保护， 政府对环保不达标的养鸡场进行限期整 A.pq B.p>q 改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格 C.=q D.由a的取值确定 起伏较大（不同周价格不同）.假设第一 二、填空题 周、第二周鸡蛋的价格分别为x元、y元 5.已知突数b>a>0,m<0,则mb (单位：kg);甲、乙两人的购买方式不同： b-m 甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元 ma, 'a-m (用“>”或“<”填空). a 钱鸡蛋 6.若x∈R,则1千与2的大小关系为 (1)若x=8,y=10,求甲、乙两周购买鸡 蛋的平均价格； (2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠 三、解答题 (平均价格低视为实惠)，并说明理由. 7.若a>b>0,c<d<0,e<0, 求证：a>b e 58<衔接教材一本通 2.B[对于选项A,令n=2即可验证其为假命 题；对于选项C、选项D,可令n=一1加以验证， 均为假命题，故选B.] 3.A[由题意得，p为Vn∈N,2”≤2026.] 4.3x∈(-∞，0)，(1+x。)(1-9x0)2>0 5.解析：①②③都是省略了全称量词的全称量词 命题，④是存在量词命题 答案：①②③④ 6.解：(1)该命题的否定：至少存在一个能被3整 除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：至少存在一个四边形，它的 四个顶点不共圆， (3)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. 课后检测评价 1.D2.B 3.D[题中命题是省略全称量词的全称量词命 题.易知选D.] 4.C[3x∈R,ax2+x+1≤0.若命题p是假命 题，即“ax2十x+1>0恒成立”是真命题①. 当a=0时，①不成立， 当a≠0时，要使①成立，必须A≤0即 1a>0 (△=1-4a< 0,解得<a.] la>o 4 5.真6.0 7.解：(1)该命题是全称量词命题.当a=0,b≠0 时，方程无解，故该命题为假命题 (2)该命题是存在量词命题..x2-2x十3=(x -1)2+2≥2， 7-22十3≤号是此这今卷是积伞题 1 8.解：p为真时，x2-a≥0，即a≤x2. 1≤x≤2时，上式恒成立，而1≤x2≤4，∴a≤1. q为真时，△=(2a)2-4(2-a)≥0，即a≥1，或a ≤一2.p和q都是真命题 ∴.a=1,或a≤-2. 即实数a的取值范围是{aa=1,或a≤-2}. 第二章一元二次函数、方程和不等式 第1节等式性质与不等式性质 课前预习导引 知识点1 1.<,≤，>，≥，≠2.不等式 知识点2 a>ba<ba=b它们的差a一b与0 课堂典例探究 变式训练 1.解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则 「x+y≤9， x+y≤9， 10×6x+6×8y≥360，即5x+4y≥30，、 0≤x≤4，x∈N, 0≤x≤4，x∈N, l0≤y≤7，y∈N, l0≤y≤7，y∈N. 126《《((<((< 数学 1 2,解：)-版/+1+左匠-可 1 √元十√x-I .x+I+√x>√x+√x-I>0, Wx+I-√x<√x-√x-1. (2)(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y -2y2-x(x2-y2)+2y(x2-y2)-(x2-y2)(x +2y)=(x-y)(x+y)(x+2y). x>y>0,.x-y>0,x+y>0,x+2y>0, .(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0,即x3-2y3> xy2-2x'y. 3.(1)>(2)<(3)<(4)< 课堂达标 1.A[.明天白天的最高温度为13℃， ∴.明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关 系是t≤13℃，故选：A.] 2.C[p-q=(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a +3-(a2-4a十4)=-1<0，所以<q,故选C.] 3.B[a>6>0,la>61,日<6-a<-b, a2>b,只有B正确.故选B.] 4.a>-b>b>-a 5.解：因为a>b>0,c<d<0,所以-c>-d>0, 所以a-c>b-d>0,所以0≤1<。 1 a-cb-a,又 因为a>b>0,所以b≤，a a-cb-d 课后检测评价 1.C2.D 3.A[a>6>1pa-1>6-1>06 当a=0b6=2时。6Pa>>1,故连A] 4.A[因为p=√a十2+√a+5, 则p2=2a+7+2w√(a+2)(a十5) 因为q=√a十3十√a十4， 则g2=2a+7+2√(a+3)(a+4). 比较p,q的大小只需要比较(a十2)(a十5)与(a +3)(a+4).作差：(a+3)(a+4)-(a+2)(a+ 5)=12-10=2>0,所以<q.] 5<<61f≤号 1 7.证明：.c<d<0,.-c>-d>0. 又a>b>0,∴.a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b -d0>0,即1 1 (a-c)(b-d).叉e<0, e (a-)d) 8.解：(1)x=8,y=10 ·甲两周购买鸡蛋的平均价格为3X8+3×10 6 =9,乙两周购买鸡蛋的平均价格为1010 2080 9 810 (2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为3x十3 6 义，乙两周购买鸡蛋的平均价格为20 2 10+10 2由①)知，x=8,y=10时，乙两周购买鸡 蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的 平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠. 证明：依题意x,y>0,且x≠y,℃y-2xy 2 x十y z十y)2-4xy=x=y) 2(x+y) 2x+>0,“yS 2 2义，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两 x+y 周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更 实惠. 第2节基本不等式 课前预习导引 知识点1 知识点2 (1)a,b均为正实数(2)a=b(3)②不小于 知识点3 (1)大(2)小 课堂典例探究 变式训练 1.(1)m>n(2)①② 2.证明：因为a,b,c为正实数，且a十b十c=1, 所以1-1=14-生≥2应.同里，6-1 a a a a ≥2@c,1-1≥2a画 b’c 上述三个不等式两边 均为正， 湘来得（日-1名-1(-1）≥2· 2√ac.2√ab=8,当且仅当a=b=c= b 3时， 取等号 3解：0y-2+≥2/ga=12, x 当且仅当3z=是，即z=2时，取等号， y的最小值为12. (2)0<<23-2x>0∴y=4x(3-2x） -22x8-2r门≤22+g2a-号当 2 且仅当2x=3-2x,即x=时，等号成立. 4 参考答案\ 是∈(0，号)函数y=4(3-2x) (0<<)的最大位为号 9 课堂达标 1.C[因为x<-2,所以x十2<0，y=2(x十2) 2 4-2/8+2· -4=-22 -4,故选C.] 2.B[对于A,当x>0时成立； 对于B+1十≥2，当且收当=0时等 号成立； 对于C,应为x2十1≥2x(x∈R); 对于D,x+5x+6-(+-≥-] 3.B[a2+b=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2· 〔e)-合c+8-2ab=a-6y>0a头 b),∴.a2+b2>2ab(a≠b)..0<a<b且a+b= 1.a<分∴d+8最大.] 4.9 5据>0，>0,2+1， +2=(8++2)=10+5+1 8+1=1, 当且仅当义即=12时，等号成立， x=16y. (y=3 Ly x 故当x=12,y=3时，(x十2y)mim=18. 课后检测评价 1.A 2.C[:a+b=2,.ab=1. 2 +-(日+)生)-+(2+≥ 2a时，“=”成立)， 故日+的最小位为】 3.A[当>2时2-2>0，则fx)=x+2 =-2+2+2一-0+2=4 当且收当x一2=亡2x>2)时，即当x=3时， 等号成立，因此，a=3,故选A.] >>>>>>>>127