2 第1章 集合与常用逻辑用语 第4节 充分条件与必要条件-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 若一1是方程x2一3x十b=0的实数根，则有b =一4，此时P={一1,4}，不满足P二Q,故 舍去； 若1是方程x2一3x十b=0的实数根，则有b= 2,此时P={1,2},不满足P二Q,故舍去； 若一4是方程x2一3x十b=0的实数根，则有b= -28,此时P={7,一4}，不满足P二Q,故舍去 棕上可得，实效么的取值范偶为b>号} 第3节集合的基本运算 课前预习导引 知识点1 1.属于集合A或属于集合B2.=AAB 22 知识点2 1.属于集合A且属于集合B 2.=A⑦A二二 知识点3 1.所有元素2.不属于集合A的所有元素 3.A必UU⑦ 课堂典例探究 变式训练 1.解：集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}. 如图，将集合A,B在数轴上表示出来. A 023 易知AUB={x|3≤x<7}U{x2<x<10}= {x|2<x<10},CRA={xx<3,或x≥7}. .CR(AUB)={xx≤2，或x≥10}. B∩(CRA)={x2<x<10}∩{x|x<3,或x≥ 7}={x|2<x<3,或7≤x<10}. 2.解：(1)如下图所示，A={x一1<x<1}, B={xlx<a},且A∩B=, -2a-1012x '.数轴上的点x=a在x=一1的左侧（含点 x=一1)，∴.a≤-1，即a的取值范围为{aa≤-1. (2)如下图所示，A={x|-1<x<1},B={x|x <a},且AUB={xx<1}, -2-10ai2x ∴.数轴上的点x=a在x=一1和x=1之间（含 点x=1,但不含，点x=一1)， .一1<a≤1，即a的取值范围为{a-1<a≤1}. 3.解：(1)因为M={x(x+3)2≤0}={-3}，所以 CM={x|x∈R且x≠-3}.又N={x|x2+ x-6=0}={-3,2},所以(CM)∩N={2}. (2)由(1)，知A=(CM)∩N={2},因为AUB =A,所以B三A,所以B=☑或B={2}.当B= 124《((《(((< 数学 0时，a-1>5-a,得a>3;当B={2}时， 5一。2解得a=3综上，实数a的取值范周为 /a-1=2 {ala≥3}. 课堂达标 l.A[由题中Venn图得，阴影部分表示的集合 是M∩P,因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3}, 所以M∩P={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}.] 2.A[解不等式x2-2x≥0，得x≤0或x≥2，则 集合A={x|x≤0，或x≥2}， 所以，A∩B=0,AUB={x|x<√3，或x≥2} ≠R,B手A,A车B,故选：A.] 3.AB[因为集合A={xx<a},B={x|1<x< 2},所以CB={xx≤1，或x≥2}，因为AU(CRB) =R,所以a≥2.] 4.1,-1或0 5.解：CuA={5},.5∈U,且5A. a2+2a-3=5,解得a=2,或a=-4. 当a=2时，2a-1|=3≠5，符合题意；当a=-4 时，|2a-1|=9≠5，但是9U,舍去.故a的值 为2. 课后检测评价 1.B2.B 3.D[根据题意有，A∩B={x∈N2<x<n,n∈ N).又集合A∩B的元素个数为6，所以n=9. 故选D.] 4.C[图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于 集合S,属于集合S的补集，所以阴影部分所表 示的集合是(M∩P)∩(CvS),故选C.] 5.{x|0<x≤1}6.{xx≤-2，或x≥3} 7.解：(1)A∩B={2}.U={0,1,2,3,4,5},CB= {0,1,3,5},∴.CA={0,4,5} (2)AUB={1,2,3,4},∴.Cu(AUB)={0,5}. -a0, (3)C(AUB)≤C,.2a-1≥5，解得a≥3. 2a-1>-a, 8.解：(1)AUB={x2≤x≤8}U{x|1<x<6}={x|1 <x≤8}，CA={xx<2,或x>8}.(CA)∩B= {xl1<x<2}. (2).A∩C≠，∴.a<8. 第4节充分条件与必要条件 课前预习导引 知识点1 →充分必要充分必要 知识点2 充分必要充要(1)互为充要 课堂典例探究 变式训练 1.D 2.解析：(1)由x(x-2)<0得0<x<2,因为{x|0 <x<2},所以“x∈{x|x≥-1}”是“不等式x(x 一2)<0成立”的一个必要不充分条件. (2)证明充分性：若ac<0,则b2一4ac>0,且 ∠0， a .方程ax2十bx十c=0有两个相异实根，且两 根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax2十bx十c=0有一 正根一负根，则△=b2-4ac>0,x1x2=￡<0. a .ac<0. 答案：(1)B(2)见解析 3.解：因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q二P. 所以a二S!解得-1≤a≤5 {a+4≥3， 即a的取值范围是{a|-1≤a≤5}. 课堂达标 1.A[由不等式性质，a>1且b>2025可得a十 b>2026, 但当a+b>2026时，推不出a>1且b>2025, 例如a=1,b=2026, 故a>1且b>2025是a+b>2026的充分不必 要条件.] 2.A[由x2<4得-2<x<2,必要不充分条件的 x的范围真包含{x|-2<x<2}门 3.A[当x≥2且y≥2时，一定有x2+y2≥4；反 过来当x2+y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，如x =一4，y=0,故选A.] 4.{aa1} 5.解：(1)c=0→抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)过 原点；抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)过原，点→c =0.故p是q的充要条件，q是p的充要条件. (2)x>1且y>1→x+y>2且xy>1;而x+y >2且xy>1Px>1且y>1.故p是q的充分 不必要条件，q是力的必要不充分条件. (3)0<x<3→|x-1|<2,|x-1|<2→-1<x<3 羚0<x<3.故p是q的充分不必要条件，q是p的 必要不充分条件. 课后检测评价 1.B 、11=2026-x< 2.A[因为1←2026→12026-298o → 0→2026x(2026-x)<0→x>2026或x<0, x2026,但1<、1 所以x>2026→1<。1 工2026不能 换由2026，所以>202s是<2%的克 分不必要条件.] 3.B[“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分不 成立，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要 性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不 充分条件，故选B.] 4.D[充分性：若x十y>0,则可得x,y有三种可 能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一 个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的 绝对值.故xy>0或xy<0或xy=0,故“x十y >0”不是“xy>0”的充分条件.必要性：若xy> 参考答案 0,则x>0,y>0或x<0,y<0,故x+y>0或 x十y<0,故“x十y>0”不是“xy>0”的必要条 件.综上，“x十y>0”是“xy>0”的既不充分也不 必要条件.] 5.a≤2a≥36.{mm>2} 7.解：由题意可知， P 9)→( (1)因为q→s,s→r→q,所以s是q的充要条件. (2)因为r→q,q→s→r,所以r是q的充要条件. (3)因为q→s→r→p,所以力是q的必要不充分 条件. 8.证明：必要性：对于x,y∈R,若x2十y2=0,则x =0,y=0,即xy=0,故xy=0是x2+y2=0的 必要条件.充分性：对于x,y∈R,若xy=0,例 如x=0,y=1,但x2十y2卡0，充分性不成立，故 xy=0不是x2十y2=0的充分条件.综上所述， 对于x,y∈R,xy=0是x2十y2=0的必要不充 分条件. 第5节全称量词与存在量词 课前预习导引 知识点1 所有的任给每一个一切V全称量词 Hx∈M,(x) 知识点2 存在一个至少有一个有一个某个有些 了存在量词3x∈M,(xo） 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)H一个有理数都能写成分数形式. (2)3x∈R,使方程x+2x+8=0成立 (3)3x。∈R,它乘以任意一个实数都等于0. 2.解：(1)3×1+1=4,3×3+1=10,5×3+1= 16,均为偶数，.是真命题.(2)x-6x一5= 0中，△=36十20=56>0，.方程有两个不相等 的实根，.是真命题.(3).x一x十1=0中，△ =1-4=-3<0,.x-x。十1=0无解，∴.是假 命题.(4).x=一1时，|-1十1=0，∴.是假命题. 3.解析：1)7：3xeR,2-z+}<0 :VxER-xt-（-)≥0恒成之 ∴.一p是假命题 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3)7r:Hx∈R,x2+3x+7>0. zR,+3x+7=(+)+9>0板 成立，一r是真命题. (4)7s:Hx∈R,x3+1≠0. 当x=一1时，x3+1=0,.7s是假命题， 课堂达标 1,A[只有A,C两个选项中的命题是全称量词 命题；且A显然为真命题.因为√2是无理数，而 (W2)2=2不是无理数，所以C为假命题.] >>>>>>>>125衔接教材一本通 数学 第4节充分条件与必要条件 学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明， (1)在△ABC中，p:∠A>∠B,q:BC 课前预习导引， >AC; 知识点① 充分条件与必要条件 (2)对于实数x,y,p:x十y≠8，q:x≠2或 y≠6； 命题真假 “若p则q”是真 “若p则q” (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3. 命题 是假命题 [解](1)在△ABC中，显然有∠A> 推出关系 卫 q p书q ∠B曰BC>AC,所以p是q的充分必要 条件 p是q的 p不是q的 条件 条件 (2)因为x=2且y=6→x十y=8,即7q 条件关系 q是力的 q不是力的 →7p,但7p书7q,所以p是q的充分 条件 条件 不必要条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2 化解疑难 或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得 1.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证 q成立，但是如果没有，q也可能成立”. 出(a一2)(a一3)=0.因此，p是g的必要 2.q是p的必要条件是指“要使p成立必须要 不充分条件 有q成立”，或者说“若q不成立，则力一定 规律方法 不成立”；但即使有q成立，力未必会成立. 充分条件与必要条件的判断方法 知识点②) 充要条件 认清p,9 分清哪个是条件，哪个是结论 一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作 台q.此时，我们说，p是q的 条 件，简称 条件. 找推式 判断“若p,则g”及“若g,则p”的真假 概括地说，(1)若如果p台q,那么p与q 条件： (2)若→q,但q矜p,则称p是q的充分不 下结论 根据推式及定义下结论 必要条件 [变式训练] (3)若q→，但羚q,则称p是q的必要不 1.设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的 充分条件. (4)若pq,且q,则称p是q的既不充 分也不必要条件. A.充分不必要条件 化解疑难 B.必要不充分条件 p与q互为充要条件，也称“p等价于q”, C.充分必要条件 ‘g当且仅当p”等. D.既不充分也不必要条件 》类型二，-_充要条件的探究与证明_☒ 课堂典例探究 [例2(1)设命题甲：ax2+2ax+1>0的解 类型一充分条件、必要条件、充要条☑ 集是实数集R,命题乙：0<a<1,则命题 件的判断 甲是命题乙成立的 ( 例指出下列各题中，卫是g的什么条件 A.充分不必要条件 (在“充分不必要条件”“必要不充分条 B.充要条件 件”“充分必要条件”“既不充分也不必要 C.必要不充分条件 条件”中选出一种作答). D.既不充分也不必要条件 48((<< 高中新知探究学习 第二篇\ (2)已知x,y都是非零实数，且x>y,求 (2)证明一元二次方程a.x2十bx十c=0有 证：的充段条件是>0， 一正根和一负根的充要条件是ac<0. [解析](1)若a.x2+2ax十1>0的解集 为R, 则a=0或 a>0,即a=0或 1△<0， a>0, 所以0≤a<1. 4a2-4a<0, 因此乙→甲，但甲书乙， 命题甲是命题乙成立的必要不充分 条件. 类型三一充分条件、必要条件、充要回 （2)法一：充分性：由xy>0及x>y,得 条件的应用 x>义，即1< 例3已知p:x2-8x-20≤0，q:x2-2x十 xyxy' 必要：由2得}0，即0 1-m2≤0(m>0),且p是q的充分不必 要条件，则实数m的取值范围为 xy 因为x>y,所以y-x<0,所以xy>0. 所以1<1的充要条件是xy>0. [解析]由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10， y 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤ 法=2}0< x≤1+m(m>0). xy 因为力是q的充分不必要条件， 由条件x>yy-x<0,故由y二工<0曰 所以p→q且q书p. xy 即{x-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+ xy>0. m,m>0}的真子集， 所以1<1台zy>0, [m>0 [m>0, xy 所以{1-m<-2或{1+m>10, 即1<1的充要条件是y>0. 1+m≥10 1-m≤-2， x 解得m≥9. [答案](1)C(2)见解析 所以实数m的取值范围为{mm≥9}. 规律方法 [答案]{mlm≥9} 探求充要条件一般有两种方法 规律方法利用充分、必要、充分必要 (1)探求A成立的充要条件时，先将A 条件的关系求参数范围 视为条件，并由A推导结论（设为B), (1)化简卫、q两命题； 再证明B是A的充分条件，这样就能 (2)根据p与g的关系（充分、必要、充 说明A成立的充要条件是B,即从充分 要条件)转化为集合间的关系； 性和必要性两方面说明. (3)利用集合间的关系建立不等关系； (2)将原命题进行等价变形或转换，直 (4)求解参数范围. 至获得其成立的充要条件，探求的过程 [变式训练] 同时也是证明的过程，因为探求过程每 3.已知P={xla-4<x<a+4},Q={x|1 一步都是等价的，所以不需要将充分性 <x<3},“x∈P”是“x∈Q"”的必要条件， 和必要性分开来说明. 求实数a的取值范围. [变式训练] 2.(1)不等式x(x一2)<0成立的一个必要 不充分条件是 A.x∈{x|0<x<2} B.x∈{x|x≥-1} C.x∈{x0<x<1} D.x∈{x|1<x<3} >>>>>>>49 衔接教材一本通 数学 ☑课堂达标 3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战 1.“a>1且b>2025”是“a十b>2026”的 穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼 兰”是“返回家乡”的 () ( A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列条件中，是x2<4的必要不充分条 4.设x,y∈R,则“x十y>0”是“xy>0”的 件是 ( ( ) A.-2≤x≤2 B.-2<x<0 A.充分不必要条件 C.0<x≤2 D.1<x<3 B.必要不充分条件 3.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2十y C.充要条件 ≥4”的 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 二、填空题 B.必要不充分条件 5.命题p:|x|<a(a>0),命题q:x2一x一6 C.充要条件 <0,若p是g的充分条件，则a的取值范 D.既不充分也不必要条件 围是 ,若p是q的必要条件， 4.已知条件p:1一x<0,条件q:x>a,若p 则a的取值范围是 是g的充分不必要条件，则a的取值范围 6.已知A={x-1<x<3},B={x-1< 是 x<m十1}，若x∈B成立的一个充分不 5.下列各题中，p是q的什么条件？q是p 必要条件是x∈A,则实数m的取值范围 的什么条件？ 是」 (1)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx十c(a 三、解答题 ≠0)过原点； 7.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充 (2)p:x>1且y>1,q:x+y>2且 分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是g的什么条件？ xy>1; (3)p:0<x<3,q:|x-1<2. (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 8.已知x,y∈R,求证：xy=0是x2+y2=0 的必要不充分条件. 课后检测评价 一、选择题 1.下列四个条件中，使a>b成立的充分不 必要条件是 () A.a>6-1 B.a>6+1 C.a2>62 D.a3>b3 2“x>2026*是2←2026”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 50K<