1 第1章 数与式 第4节 十字相乘法-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第一篇 第4节十字相乘法 衔接目标 十字相乘法初中不作要求，而在高中数学中，十字相乘法是解一元二次不等式和 元二次方程的首选方法，因此通过本节的学习，要理解并掌握十字相乘法 (4)十字相乘法的步骤 课前预习导引 对于二次三项式Ax2+Bx+C(A≠0) 一、知识链接 用十字相乘法分解成(ax十b)(cx十d) 1.十字相乘法 的步骤： (1)定义：借助画十字交叉线分解系数把二 第一步，将A分解成ac,即A=ac; 次三项式分解因式的方法，通常叫做十 第二步，C分解成bd,即C=bd; 字相乘法. 第三步，根据十字交叉，调试a,b,c,d,使 (2)二次三项式 B=ad++bc; 多项式a.x2十bx+c(a≠0)，称为字母x的 第四步，写出分解结果Ax2+Bx十C= 二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为 (ax+b)·(cx+d): 一次项，c为常数项.例如，x2一2x一3和 2.关于x的二次三项式ax2十bx+c(a≠0) x2+5x十6都是关于x的二次三项式. 的因式分解 在多项式x2-6xy十8y中，如果把y看作 常数，就是关于x的二次三项式；如果把x 若关于x的方程ax2+bx十c=0(a≠0) 看作常数，就是关于y的二次三项式. 的两个实数根是x1、x2,则二次三项式 在多项式2ab-7ab+3中，把ab看作一 ax2+bx十c(a≠0)就可分解为 个整体，即2(ab)2一7(ab)+3,就是关于ab a(x-x1)(x-x2),即ax2+bx十c=a(x 的二次三项式.同样，多项式(x十y)2+7(x x)(x一x2).这是因为ax2+bx十c 十y)+12,把x+y看作一个整体，就是关 于x十y的二次三项式.十字相乘法是适 a++)根据根与系数的关系西十 用于二次三项式的因式分解的方法」 =一 ，西=有a+m+c= b a (3)十字相乘法的原理 借助整式乘法运算，可以得到(ax十b) (cx+d)=acx2+bcx+adz+bd=acx? d2+B:)-al-Gt a(x-x1)(x-x2）. +(ad+bc)x+bd. 反之，acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b) 二、化解疑难 (cx十d)即为因式分解.因此，对于一个 1.分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所 一般的二次三项式Ax2+Bx十C(A≠ 以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次 0),只要将A分解成ac,即A=ac,C分 三项式能否用十字相乘法分解. 解成bd,即C=bd,并且使得B=ad+bc, 2.因式分解的一般常用方法有提取公因式 我们就可以将Ax2+Bx+C分解成(ax十 法、公式法、十字相乘法、分组分解法等 8限，我的招然时干字相 特殊方法，同时我们可以运用一元二次 方程的求根公式进行任意二次三项式的 乘法。 因式分解.因式分解的步骤可小结为： 十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘 “首先提取公因式，然后考虑用公式、十 等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项 字相乘试一试，分组分解要合适，四种方 系数.它的特征是：拆两头，凑中间. 法反复试，最后必是连乘式”. >>>>>>13 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 课堂典例探究 1.分解因式 类型一。_十字相乘法分解因式 (1)x2-2x-3;(2)2y2-7y+3; 例川分解因式： (3)12x2-5x-2;(4)11x-x2-18; (1)x2-3x+2; (5)x2-3xy+2y2. (2)2x2-5x-3; (3)x2-(a+b)xy+aby; (4)xy-1+x-y. [解](1)如图①，将二次项x2分解成图 中的两个x的积，再将常数项2分解成 一1与一2的乘积，而图中的对角线上的 两个数乘积的和为一3x,就是x2一3x十2中 的一次项，所以，有x2一3x十2=（x 类型二十字相乘法分解因式（综合应用）☑ 例2把下列各式分解因式： 1)(x-2) (1)4(x-y)2+11(x-y)-3; (2)x2+2xy-8y+2x十14y-3. ① ② ③ ④ [解](1)将x一y看作整体，运用十字 说明：今后在分解与本例类似的二次 相乘法进行分解 三项式时，可以直接将图①中的两个 4(x-y) x用1来表示（如图②所示）. (x-y) (2)由图③，得 2x2-5x-3=(2x+1)(x-3) .4(x-y)2+11(x-y)-3 (3)由图④，得 =(4x-4y-1)(x-y+3). 2-(a+b)xy+aby=(x-ay)(x-by). (2)先将二次项因式分解，然后再与常数 项结合用十字相乘法，凑一次项 (4)xy-1+x-y (x+4y) -1 =xy+(x-y)-1 =(x一1)(y十1)（如图⑤所示）. ⑤ (x-2y) 规律方法当二次项系数为负数时，先提 ,x2+2xy-8y2=(x+4y)(x-2y), 出负号，使二次项系数为正数，然后再看常 x2+2xy-8y2+2x+14y-3 数项；常数项为正数时，应分解为两同号因 =(x+4y)(x-2y)+(2x+14y)-3. 数，它们的符号与一次项系数的符号相同； .x2+2xy-8y2+2x+14y-3 常数项为负数时，应将它分解为两异号因 =(x+4y-1)(x-2y+3). 数，使十字连线上两数之积绝对值较大的 规律方法1.当多项式是三项式时， 一组与一次项系数的符号相同. 首先看有无公因式，有公因式的应先提 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意 公因式，再看是否是完全平方式.若是， 避免以下两种错误出现：一是没有认真 再用完全平方公式分解因式 地验证交叉相乘的两个积的和是否等于 2.因式分解是否分解结束的标志是看 一次项系数；二是由十字相乘写出的因 分解后的各因式是否还含有可继续因 式漏写字母. 式分解的多项式 14( 初、高中基础知识衔接 第一篇 [变式训练] (2)已知a2+9b2-2a+6b+2=0, 2.把下列各式因式分解， 求2a-3b的值. (1).x2+(2m+1)x+m2+m; (2)7(a+b)2-5(a+b)-2; (3)2t4+t2-3. 八类型四。 用求根公式法分解因式习 例4分解因式：(1)x2+2x-1; (2)x2+4xy-4y2. [思路分析](1)构造方程x2+2x一1=0， 求出△的值，若△≥0，则利用求根公式求 出x2十2x一1=0的两根，即可分解因 八类型三 用分解因式法求一元二次网 式；(2)构造方程x2十4xy-4y2=0,把y 方程的根 看成常数，求出△的值，若△≥0，则利用 例3解下列关于x的一元二次方程 求根公式求出关于x的一元二次方程 (1)x2-11x+24=0; x2十4xy一4y=0的两根，然后分解因式. (2)(2x-1)2+(x-1)2=x; [解]（1)令x2+2x一1=0，则△=22 (3)x2-(2a+1)x十a2+a=0. 4×(-1)=8>0,解得x1=-1十2， [解] x2=-1-√2. .原方程可化为(x一3)(x-8)=0, .x2+2x-1=[x-(-1+√2)][x- ∴.方程的根为℃1=3，x2=8. (-1-√2)] (2)原方程可化为5x2一7x十2=0， =(x+1-√2)(x+1+√2)； (2)令x2+4xy-4y2=0, 则△=(4y)2-4×(-4y2)=32y2≥0， .原方程可化为(x-1)(5x一2)=0， 解得x1=(-2十2√2)y, 之方程的根为工=1=景 x2=(-2-2√2)y, .x2+4xy-4y2= [x-(-2+2√2)y][x-(-2-2√2)y] .∴.原方程可化为(x一a)[x-(a十1)]=0， =[x+2(1-√2)y][x+2(1+√2)y]. ∴.方程的根为x1=a,x2=a十1. 规律方法把二次三项式a.x2+bx+c 规律方法对于具体方程来讲，一般 (a≠0)分解因式时，首先应构造关于x 要优先考虑因式分解法，特别是十字相 的一元二次方程ax2+b.x十c=0(a≠ 乘法，在解一元二次方程时，方法简便， 0),然后求出△=b2一4ac的值.若△≥ 易操作，尤其是在含有参数的方程中优 0,则用公式法求出ax2+bx十c=0(a 势更明显， ≠0)的两个实数根x1,x2,ax2+bx十c [变式训练] 3.(1)已知a-ab-6b2=0(a≠0，b≠0)，求 =a(x-x)(x-x2);若△<0，则方程 名+号的位 a,x2十bx十c=0没有实数根，ax2+bx 十c在实数范围内不能分解因式. >>>>>15 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 3.已知x2+a.x-12能分解成两个整系数 4.分解因式：(1)2x2-3x-1; 的一次因式的乘积，则符合条件的整数a (2)3x2+4xy-y2. 的个数为 () A.6B.8C.4D.3 4.将下列多项式分解后，有相同因式x一1 的多项式有 () ①x2-7x+6;②3x2+2x-1;③x2+5x -6;④4x2-5x-9;⑤15x2-23x+8; ⑥x4+11x2-12 A.2个B.3个C.4个D.5个 ☑课堂达标 二、填空题 1.方程x2+2x-3=0的解是 5.若将多项式x2-ax+b因式分解为(x-2) A.x1=1,x2=3B.x1=1,x2=-3 (x十5)，则(3a-b)225的值为 C.x1=-1,x2=3D.x1=-1,x2=-3 6.用因式分解法求得方程x2+3ax+2a2- 2.把6x2一7x一3分解因式所得结果是 a一1=0的根为 ( 三、解答题 A.(3x-1)(2x-3)B.(3x-1)(2x十3) 7.因式分解 C.(3x+1)(2x-3)D.(3x+1)(2x+3) (1)(x2-7x)2+10(x2-7x)-24; (2)x4-2x2(y2+之2)+(y2+22)2. 3.不能用十字相乘法分解的是 () A.x2+x-2 B.3x2-10x2+3x C.4x2+x+2 D.5x2-6xy-8y2 4.在实数范围内分解因式2x2+2x一1 5.分解因式：(1)3x2-14x+15; (2)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8; (3)x2+2x-15-ax-5a. 8.已知2x3-7x2-19x+60有因式2x一5， 把它分解因式。 课后检测评价 一、选择题 1.多项式2x2-xy-15y2的一个因式为 ( A.2x-5y B.x-3y C.x+3y D.x-5y 2.多项式x2-3x十a可分解为(x-5)(x一 b),则a,b的值分别为 () A.10和一2 B.-10和2 C.10和2 D.-10和-2 16<<<<课后检测评价 1.B2.A 3.B[①a2·a3=a5,错误；②(a3)2=a,正确； ③(ab)3=a3b,正确； ④a5÷a5=1,错误.故选B.] 4.B[A.√4=2，故A错误；B.|a|≥a,正确； C.a2·a=a,故C错误；D.-12=-1,故D错 误；故选B.] 5.76.-2b 7.解：(1)50*=102×5=ab; 22r-()-g- (3)202= (得×10-g×10-g 5 (2a-b_b） ÷a-2b 8.解：(a+6-a一b)a+5 _(2a-b)(a-b)-b(a+b).atb (a十b)(a-b) a-26 =2a2-3ab+62-ab- 。。 1=2a(a-2b). a-b a-2b a-b 1 2a a-2b a-b' 当a=√2+√3，b=√2-√3时， 原式= 2(√2+√3) 2(W2+√3) (2+√3)-(2-√3) 2√3 =6+3 3 第3节 乘法公式与因式分解 课堂典例探究 变式训练 1.解：(a-b)2=a2-2ab+b2. :大正方形的面积=(a一b)2, 还可以表示为a2-2ab十b2, .(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.解：(1)原式=(3+2y)(32-6y十4y2) =33+(2y)3=27+8y3; (2)原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2] =(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1. 3.解：(1)-4ab-862+10b=-2b(2a+4b-5); (2)2(n-m)2-m(m-n)=2(n-m)2十m(n m)=(n-m)(2n-m); (3)15y(a-b)2-3y(b-a)=15y(a-b)2+ 3y(a-b)=3y(a-b)(5a-5b+1). 4.解：(1)x2-xy+3y-3x=x(x-y)+3(y-x) =(x-y)·(x-3). (2)法-.2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y -4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2) (y-3)=(2x-y+2)(x+y-3) 法二.2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy- y2)-(4.x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x 5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3). 参考答案 课堂达标 1.C[因为完全平方公式(a士b)2=a2±2ab+b.立 方和公式(a十b)(a2-ab十b)=a3+b3;立方差公 式(a-b)·(a2十ab+b)=a3-b;两数差立方公 式(a-b)3=a3-3a2b+3ab-b.故C正确.] 2.C[原式=(x2-4)(x2+4)=x4-16.] 3.D[A.原式=(x十2)(x一2)，错误；B.原式= (x十1)2，错误；C.原式=3m(x-2y),错误； D.原式=2(x十2)，正确.] 4.2ab(a+2)(a-2) 课后检测评价 1.C2.D 3.A[易知A项正确，B项应为一(x十1)(x十 3),C项应为2n(m-2n)(m十2n),D项应为 2 4.A[A.可以运用平方差，故本选项正确；B.不 能运用平方差，故本选项错误；C.不能运用平方 差，故本选项错误；D.不能运用平方差，故本选 项错误.] 5.x(y+3)(y-√3)6.2026 熊：原式（后八+（合小房+言， (2)原式=(a2-4)(a+4a2+4)=(a2)3-43 =a6-64. 8.解：x4+y4+2x2y2-2x2-2y2-15=0, (x2+y2)2-2(x2+y2)-15=0, (x2+y2-5)(x2+y2+3)=0, .x2+y2-5=0或x2+y2+3=0, x2十y2=5或x2十y2=-3(不合题意，舍去)， 故x2+y2=5. 第4节十字相乘法 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)原式=(x-3)(x十1) 1 -3 11 (2)原式=(y-3)(2y-1) 1 -3 2-1 (3)原式=(3x-2)(4x+1) 3 -2 41 (4)原式=-(x2-11x+18)=-(x-2)(x-9) 1 -2 1-9 (5)原式=(x-y)(x-2y) 1 一2 11 115 衔接教材一本通 2.解：(1)原式=x2+(2m+1)x+m(m+1)=(x +m)(x+m+1). 1 m 1m+1 (2)原式=[7(a+b)+2][(a+b)-1] =(7a+7b+2)(a+b-1). (3)原式=(2+3)(t-1)=(t-1)(t+1)(2+3). 23 1-1 3.解：(1)a2-ab-6b2=0,(a-3b)(a+2b)=0, .a=3b或a=-2b. 当a=6时，台+8-品0-号+8=8宁 当a=-26时，+8=6十2=-名-2 =-22 (2)a+9b2-2a+6b+2=0, 则(a2-2a+1)+(962+6b+1)=0, (a-1)2+(3b+1)2=0,a=1,6=- 3, 2a-36=2X1-3(-号)=2+1=3. 4.解：(1)令2x2-3x-1=0,则△=17>0， 解得x=3+严，=3= 4 4 2x-3-1=2.8+￥2-3)月 (2)令3x2+4xy-y2=0,则△=28y2≥0，解得 x=-2y应，=-2y27区 3 3 .3x2+4xy-y1 =3+2y+2y+ 3 3 课堂达标 1.B[.x2+2x-3=(x-1)(x+3), .(x-1)(x+3)=0,.x1=1,x2=-3.] 3 2.c[X ,.原式=(3x+1)(2x一3).] 3.C[4x2十x十2不能用十字相乘法分解.] 4-+ 116<< 数学 5.解：(1)3x2-14x十15=(3x-5)(x-3); (2)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8=(x2+2x-8)· (x2+2x+1)=(x+4)(x-2)(x+1)2; (3)x2+2x-15-ax-5a= (x+5)(x-3)-a(x+5)=(x十5)(x-3-a). 课后检测评价 1.B2.D 3.A[令x2十ax一12=0，设其两根为x1,x2,利用韦 达定理知：x十x2=一a,xz2=-12,乘积为-12 的两整数有12，一1；-12,1；-2,6；2，-6；-3,4；3， 一4共6组.∴.符合条件的整数a有6个.] 4.C[若含有因式x一1，则令多项式中x=1,则 多项式的值为0，检验得①③⑤⑥成立.] 5.16.-a+1或-2a-1 7.解：(1)(x2-7x)2+10(x2-7x)-24 =(x2-7x+12)·(x2-7x-2) =(x-3)(x-4)(x2-7x-2). (2)x4-2x2(y2+z2)+(y2+2)2 =[x2-(y2+z2)]2=(x2-y2-22)2 8.解：(2x3-7x2-19x十60)÷(2x-5)=x2-x 12=(x-4)(x+3),∴.2x3-7x2-19x+60= (2x-5)(x-4)(x+3). 第二章方程与不等式（组） 第1节一元二次方程 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1).原方程可化为：(x十1)(x一4)=0， .x十1=0或x-4=0, 解得x1=4,x2=一1. (2)方程整理得：x2-2x+1=13,即(x-1)2=13, 开方得：x一1=士√13，解得：x1=1十√13， x2=1-√13. 2.解：(1)由题意知，(2m+3)2-4×1×m≥0， 解得：加≥一寻， (2)由根与系数的关系得：a十3=一(2m十3)， a3=m2, a十B+a3=0, ∴.-(2m+3)+m2=0, 解得：m1=-1,m2=3, 由1)知m≥-是， 所以m1=一1应舍去，故m的值为3. 3.解：(1).方程有两个不相等的实数根， .△=[-(2k-1)]2-4(2-2k-3)=4k-11 >0,解得：>号 (2)存在，：x1十x2=2k-1,x1x2=2-2k十3= (k-1)2+2>0, .将|x1|一x2|=√5两边平方，可得x号一2x1x2 +x=5,即(x1十x2)2-4x1x2=5, 代入得：(2k-1)2-4(k2-2k十3)=5， 解得：4k-11=5, 解得：k=4.