2 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合的概念与表示-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇\ 第篇·高中新知探究学习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合的概念与表示 学习目标 1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用， (2)集合含义中的“元素”所指的范围非 课前预习导引 常广泛，现实生活中我们看到的、听 知识点① 元素与集合 到的、闻到的、触摸到的、想到的各种 1.元素与集合的定义 各样的事物或一些抽象的符号等，都 般地，把 统称为元素，把一些 可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素组成的 叫做集合（简 知识点② 集合的表示方法 称为集). 除了用自然语言表示集合外，还可以用 2.集合中元素的性质 和 表示集合. (1)确定性：即给定的集合，它的元素是 1.列举法：把集合中的元素 的. 并用花括号“{}”括起来表示集合的 (2)互异性：即给定集合的元素是 方法。 的. 2.描述法：用集合所含元素的 表 (3)无序性. 示集合的方法. 3.集合相等 化解疑难 只要构成两个集合的元素是 就称这两个集合是相等的， 使用列举法表示集合的四个注意点 4.元素与集合的关系 (1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1, a是集合A的元素，记作 ,a不是 a2,…,an}; 集合A的元素，记作 (2)元素不重复，满足元素的互异性； 化解疑难 (3)元素无顺序，满足元素的无序性； 准确认识集合的含义 (4)对于含有有限个元素且个数较少的集 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为 合，采取该方法较合适；若元素个数较 集合是数学中最原始的、不加定义的 多或有无限个且集合中的元素呈现一 概念，这与我们初中学过的点、直线 定的规律，在不会产生误解的情况下， 等概念一样，都是用描述性语言表 也可以列举出几个元素作为代表，其他 述的. 元素用省略号表示 >>>>>37 衔接教材一本通 数学 知识点③ 常用数集及其记法 [解] (1)x+y=4,x∈N*,y∈N, 自然 正整 有理 或/3， 或= 集合 整数集 实数集 y=3,y=2,y1 数集 数集 数集 .A={(1,3),(2,2),(3,1)} 记法 N N或N Q R (2f∈z且xEN, 课堂典例探究 ∴.1+x=1,2,3,6. 类型一 集合中元素的特性 回 x=0,12,5,即1十z7 -=6,3,2,1. [例川下面几组对象可以构成集合的是 ∴.B={6,3,2,1}. ( (3){(x,y)|x<0,y>0}. A.视力较差的同学 规律方法1.列举法 B.新学期2026一2027学年度第一学期 (1)元素与元素之间用逗号隔开. 全体学生 C.充分接近2的实数的全体 (2)元素不能重复， D.大于一2小于2的所有非负奇数 (3)列举时与元素的次序无关. [解析]D[集合的元素需要满足确定 (4)对于含较多元素的集合，如果组成 性.对于A,B,C三个选项来说，研究对象 集合的元素具有明显的规律，可以用列 无法确定，所以不能组成集合.对于D选 举法表示，但是必须把元素间的规律表 项，大于一2小于2的所有非负奇数为1， 示清楚后才能用省略号.例如，N 可以构成集合.故本小题选D.] ={1,2,3,4,…}. 规律方法判断给定的对象能不能构 2.描述法 (1)写清楚该集合代表元素的符号. 成集合，关键在于是否给出一个明确的 例如，集合{x∈R|x<1》 标准，使得对于任何一个对象，都能按 此标准确定它是不是给定集合的元素。 不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号 [变式训练] 内，例如，{x∈Zx=2},k∈Z,这种表 1.下列对象不能构成集合的是 ) 达方式就不符合要求，需将k∈Z也写 ①我国古代著名的数学家；②所有的 进花括号内，即{x∈Zx=2k,k∈Z. APEC成员国；③空气中密度小的气体. (3)在通常情况下，集合中竖线左侧元 A.①②B.②③ C.①②③ D.①③ 素的所属范围为实数集时可以省略不 类型二-- 集合的表示 ② 写.例如，方程x2一2x+1=0的实数解 例2用适当的方法表示下列集合. 集可表示为{x∈Rx2-2x+1=0},也 (1)A={(x,y)|x+y=4,x∈N*, 可写成{xx2-2x十1=0}. y∈N*}; [变式训练] (28-fczl.eN 2.用另一种方法表示下列集合： (3)平面直角坐标系中所有第二象限内 (1){绝对值不大于2的整数}； 的点。 (2){能被3整除，且小于10的正数}； 高中新知探究学习 第二篇 (3){x|x=|xlx<5且x∈Z}； [变式训练] (4){(x,y)|x十y=6,x∈N*,y∈N*; 3.已知集合A={xa.x2+2x+1=0,a∈R, (5){-3,-1,1,3,5}. (1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值 范围； (3)若A中至少有一个元素，求a的取值 范围 类型三元素与集合间的关系。☒ [例3l(1)若a∈{1，a2-2a十2}，则实数a 的值为 (2)已知x2∈{1,0，x},则实数x的值为 L解析](1)a∈{1，a2-2a+2}, 则：a=1或a=a2-2a十2， 当a=1时：a2一2a十2=1，与集合元素的 互异性矛盾，舍去； ☑课堂达标 当a≠1时：a=a2-2a十2，解得：a=1(舍 1.下列说法正确的是 去)；或a=2; A.某班中年龄较小的同学能够形成一个 (2)x2∈{1,0，x},x2=1,或x2=0, 集合 或x2=x, B.由1,2,3和√9,1，√4组成的集合不 由x2=1得x=士1，由x2=0,得x=0, 相等 由x2=x得x=0或x=1. 综上x=士1，或x=0. C.不超过20的非负数组成一个集合 当x=0时，集合为{1,0,0}不成立， D.方程(x一1)(x+1)2=0的所有解构 当x=1时，集合为{1,0,1}不成立. 成的集合中有3个元素 当x=一1时，集合为{1,0，一1}，满足条 2.已知P={x|2<x<,x∈N},若集合P 件.故x=一1. 中恰有3个元素，则 ) [答案](1)2(2)-1 A.5<k<6 B.5≤k<6 规律方法利用集合元素互异性求参 C.5<k≤6 D.5≤k≤6 数的策略及注意点 3.已知集合M中的元素a,b,c是△ABC (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以 的三边，则△ABC一定不是 解出字母的所有可能值，再根据集合中的 A.锐角三角形 B.钝角三角形 元素的互异性对集合中元素进行检验. C.直角三角形 D.等腰三角形 (2)注意点：利用集合中元素的互异性 4.若2∈{xx2+mx-3=0},则m的值为 解题时，要注意分类讨论思想的应用· 衔接教材一本通 数学 5.已知集合M中含有三个元素2，a,b,集 合N中含有三个元素2a,2,b,且M= 4.已知樂合P-(红x=后+么a,b为非 N,求a,b的值. 零常数}，则下列不正确的是 A.-1∈P B.-2∈P C.0∈P D.2∈P 二、填空题 5.已知集合{x(x-2)(x2-2x十a)=0,x ∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的 取值集合为 6.{(x,y)|(x+2)2+|y-3|=0,x,y∈R} 三、解答题 课后检测评价 7.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈ 一、选择题 R},若A中至多有一个元素，求实数a的 取值范围. 1.方程组 x十y=2 {x-y=0 的解构成的集合是 ( A.1} B.(1,1) C.{(1,1)》 D.{1,1} 2.下列各组中集合P与Q,表示同一个集 合的是 () A.P是由2,3构成的集合，Q是由有序 数对(2,3)构成的集合 B.P是由π构成的集合，Q是由3.14159 构成的集合 C.P是由元素1，√3，π构成的集合，Q是 8.设y=x2-ax十b,A={xy-x=0}, B={xly-ax=0},若A={-3,1},试用 由元素π，1，|一√3构成的集合 列举法表示集合B. D.P是满足不等式一1≤x≤1的自然数 构成的集合，Q是方程x2=1的解集 3.已知集合A={yy=x2+1},集合B= {(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈ R).选项中元素与集合的关系都正确 的是 () A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 40(<<衔接教材一本通 一1≤x≤2上，y随x的增大而增大，所以当x =2时，函数有最大值y=4a十4a十1=8a+1, 8+1=4a=是 (2)当a<0时，由二次函数的图象可知，函数在 一3≤x≤一1上，y随x的增大而增大，函数在 一1≤x≤2上，y随x的增大而减小，所以当x =-1时，函数有最大值y=1一a,∴.1-a=4, a=-3.综上可得a=8或a=-3. 8 1 x=- 2m y=一2x解得 31 8.解：(1)由题意得 y=x+m, = m 3 (2②)①根据题意得-2≤2，解得m≥-3， .m的取值范围为m≥一3。 ②当m=6时，顶点为M(-4,2), .抛物线为y=(x十4)2十2，函数的最小值为2， ,x满足t一1≤x≤t十3时，二次函数的最小值 为2， 化1海特-7花8 (3)ytbx+9,得+(p-1Dz十g一m y=x+m, =0,△=(p-1)2=4(q-m),△=p2-2p+1 4q十4，抛物线的顶，点坐标既可以表示为 M(-得智)又可以表示为 = 3m,4g= 3n十p2, A=分-2p+1-（m+p)+4m=-2+1 3m+4m, +4m=1,.△>0， .无论m取任何值，二次函数y=x2十px十q 的图象与直线y=x十m总有两个不同的交点. 第二篇高中新知探究学习 第一章集合与常用逻辑用语 第1节集合的概念与表示 课前预习导引 知识点1 1.研究对象总体2.确定互不相同3.一样的 4.a∈AatA 数学 知识点2 列举法描述法1.一一列举出来2.共同特征 课堂典例探究 变式训练 1.D[研究一组对象能否构成集合的问题，首先 要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没 有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定 性；③中“密度小”没有明确的界限.] 2.解：(1){-2，-1,0,1,2}. (2){3,6,9}. (3).x=|xl,x≥0. 又.x∈Z且x<5,x=0或1或2或3或4. .集合可以表示为{0,1,2,3,4} (4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (5){x|x=2k-1,-1≤k≤3，k∈Z}. 3.解：(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， 此时x=一司符合题意： 当a≠0时，方程a.x2十2x十1=0为一元二次方程， △=4-4a=0,即a=1, 原方程的解为x=一1，符合题意， 故当a=0或a=1时，原方程只有一个解，此时 A中只有一个元素. (2)A中至多含有一个元素，即A中有一个元素 或没有元素 当△=4-4a<0,即a>1时，原方程无实数解. 结合(1)知，当a=0或a≥1时A中至多有一个 元素 (3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个 元素，由△>0得a<1. 结合(1)可知当a≤1时，A中至少有一个元素. 课堂达标 1.C[A项中元素不确定；B项中两个集合元素 相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集 合相等；D项中方程的解分别是x1=1,x2=xg =一1，由互异性知，构成的集合中有2个元素.] 2.C[因为P中恰有3个元素，所以P={3,4, 5},可得5<k≤6.] 3.D[因为集合中元素具有互异性，所以a,b,c 互不相等，因此选D.门 5解：肉美多号份侣。 a=4' 1 、骑深了口—0·或∫口—0”或口一。”或人 1b=1,1b=0, 1 b2 1 由案合元素的互异性知二0'或 a=4' 1b=1, 1 b一2 课后检测评价 1.C2.C 3.C[集合A中元素y是实数，不是，点，故选B、D 不对；集合B的元素(x,y)是点而不是实数，2∈B 不正确，故A错.] 4.A[(1)a>0,b>0时， x=合+合=1+1=2 b (2a<0,0时x=日+合=-1-1 b =-2; (3)a,b异号时，x=0.] 5.{aa=0或a>1}6.{(-2,3)} .解：当a=0时，A={-台}， 当a≠0时，关于x的方程ax2一3x一4=0应有 两个相等的实数根或无实数根， 所以△=9+16a≤0，即a≤-6 故所求的a的取位范国是a≤一最或a=0, 8.解：将y=x2一ax十b代入集合A中的方程并整 理得x2-(a+1)x十b=0. A={-3,1}, .方程x2-(a十1)x十b=0的两根为一3,1. 由根与系数的关系得 厂18降客6 1b=-3. 所以y=x2+3x-3. 将y=x2+3x一3，a=一3代入集合B中的方程 并整理得x2十6x一3=0，解得x=一3士2√3， 所以B={-3-2√3，-3+2√3}. 第2节集合间的基本关系 课前预习导引 知识点1 任意一个包含关系 知识点2 A二BB≤Ax∈B,且xtA 知识点3 1.不含任何元素2.3.子集 知识点4 1.子集A≤A2.A二C 课堂典例探究 变式训练 1.D[M={x|x=g+1,n∈Z= 2 N={ly=n+2m∈z -fyly-2mF1,mez 所以n+2为所有整数，2m+1为奇数∴.N二M 本题正确选项：D.] 参考答案 2.解：A{x∈N|-1<x<3},集合A是{x∈N -1<x<3}的真子集，集合{x∈N|-1<x<3} 里面的元素为0,1,2，又A中至少有一个元素 为奇数，所以A中至少要有元素1，所以集合A 为{1}，{0,1}，{1,2}，共3个. 3.(1)C(2)C 课堂达标 1.AB[A正确，0是集合{0}的元素；B正确， 是任何非空集合的真子集；C错误，集合{0,1} 含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)， 所以这两个集合没关系；D错误，集合{(a,b)} 含一个元素(a,b),集合{(b,a)}含一个元素(b, a),这两个元素不同，所以集合不相等.] 2.D[由题意，当Q为空集时，a=0;当Q不是空 集时，由Q三P,a=1或a=-1.] 3.74.②③④⑤⑦⑨ 5.解：当m≤0时，B=☑，显然B二A. 当m>0时，因为A={x|x2-2x-3<0}={x|-1 <x<3}. 当B二A时，用数轴表示有 -a0a13主 -m≥-1， 所以m≤3，所以0<m≤1. -m<m, 综上所述，m的范围为{m0<m≤1}. 课后检测评价 1.C2.D 3.C[因为A={x|x2-3x十2=0}，B={x|0<x <6,x∈N},且AC军B,故C可以为{1,2,3}， {1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},1,2,4,5},{1, 2,3,5},共6个.] 4.D [A=(x|1<x<2),B={xx<a),AC B,则{aa≥2}.] 5.小说文学作品叙事散文散文6.0或士1 7解折：由于e,会l=位a+6,0 所以名=0→6=0， 则此时{a,0,1}={a2,a,0}, .a2=1且a≠1，故a=-1. .a2026十b2026=(-1)2026+02026=1. 答案：1 8.解：(1)集合Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4) =0}={x∈R|(x+1)(x+4)(x-1)=0} ={-1,1,-4}, 当b=4时，集合P=必， 由P手M二Q,可得M是Q的非空子集，共有 23-1=7(个)，分别为{-1)，{1}，{-4}， {-1,1},{-1,-4},{1,-4},{-1,1,-4}. (2)对于方程x2-3x十b=0, 当P=②时，4=9-h0,即>}，满足PCQ 当P≠②时，4=9-4b>0,即6≤号，方程-30 十b=0有实数根，且实数根是一1,1，一4中的数. >>>>>>》》123