2 第1章 集合与常用逻辑用语 第2节 集合间的基本关系-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第二篇 第2节 集合间的基本关系 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 2.能用Venn图表达集合的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.在具体情境中 了解空集的含义. 化解疑难 课前预习导引， 对真子集概念的理解 知识点① 子集的概念 (1)在真子集的定义中，A至B首先要满足 A二B,其次至少有一个x∈B,但x庄A. 文字语言 符号语言 图形语言 (2)若A不是B的子集，则A一定不是B 的真子集 集合A中 知识点③ 空集 元素都是集合B中 1.定义： 的集合叫做空集， 的元素，就说这两个 A二B(或 集合有 ,则 BA) 2.用符号表示为： 称集合A是集合B 3.规定：空集是任何集合的 的子集 化解疑难 0与{0}的区别 化解疑难 (1)是不含任何元素的集合； 对子集概念的理解 (2){0}是含有一个元素的集合，☑手{0}. (1)集合A是集合B的子集的含义：集合A 知识点④ 字集的有关性质 中的任何一个元素都是集合B中的元素， 1.任何一个集合是它本身的，即 即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}三 2.对于集合A,B,C,如果A二B,且B三C, {-1,0,1},则0∈{0,1,0∈{-1,0,1. 那么 (2)如果集合A中存在着不是集合B的元 素，那么集合A不包含于B,或B不包 课堂典例探究， 含A.此时记作A车B或B史A. (3)注意符号“∈”与“二”的区别：“二”只用 少类型一-集合间关系判定 于集合与集合之间，如{0}三N.而不能 「例川判断下列关系是否正确： 写成{0}∈N.“∈”只能用于元素与集合 (1){a}二{a};(2){1,2,3}={3,2,1}； 之间.如0∈N,而不能写成0二N. (3)0{0};(4)0∈{0}； 知识点②集合相等与真子集的概念 (5)⑦∈{0}；(6)0={0}； (7)⑦{0,1,2}；(8){1}{xlx≤5}. 定义 符号 图形 [解](1)任何一个集合是它本身的子 表示 表示 集，因此，{a}二{a}正确. 集合 如果 ,且 (2)两个集合中的元素相同，故用“=” 正确. 相等 就说集 A=B A(B) 合A与B相等 (3)空集是任何非空集合的真子集， 正确. 如果集合A二B, 真 (4){0}中只有一个元素0,0∈{0}正确. 但存在元素 A手B(或 A (5)⑦与{0}是两个集合，不能用“∈”连接。 集 ,则称集合 B星A) (6)☑中没有任何元素，而{0}中有一个 A是B的真子集 元素，二者不相等」 >>>>>41 衔接教材一本通 数学 (7)空集是任何非空集合的真子集， (3)集合A中必须有元素1和2，可有3， 正确. 4,5这三个元素中的0个，1个，2个， (8).1<5,∴.1∈{xx≤5}， 故集合A的个数有23一1=7个，故选B. ∴.{1}军{x|x≤5}，正确. [答案] (1)C(2)C(3)B 由以上分析可知：(1)(2)(3)(4)(7)(8) 规律方法 正确，(5)(6)错误. 求集合子集、真子集个数的三个步骤 规律方法集合间关系的判定步骤 判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中 首先，判断一个集合A中的任意元素 含有元素的可能情况 是否属于另一集合B,若是，则A二B, 否则A车B; 分类 根据集合中元素的多少进行分类 其次，判断另一个集合B中的任意元 素是否属于第一个集合A,若是，则B 列举 采用列举法逐一写出每种情况的子集 二A,否则B车A; [变式训练] 最后，下结论：若A二B,B二A,则A 2.已知集合A{x∈N-1<x<3},且A中 B;若A二B,B生A,则A军B;若A车B， 至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有 B二A,则BA;若上述三种情况都不 多少个？并用恰当的形式表示这些集合 成立，则A车B,B车A. 注意：有时一个集合可以看成另一个集 合的元素，如{1}可以看成集合{1}，1， 2,3}中的元素，也可以看成子集，因此 {1}∈{1}，1,2,3}与{1}三{{1}，1,2， 3}都正确 [变式训练] 1.集合M={zlx=+1n∈ZN= 八类型三-_集合关系的应用 例3已知集合A={x|一3≤x≤4}，B= {ly=m+号m∈Z,则两维合M,N关 {x|2m-1<x<m+1},且B二A.求实数 系为 ( m的取值范围， A.M∩N= B.M=N [解].B二A, C.MCN D.NCM (1)当B=☑时，m+1≤2m-1,解得m≥2. 八类型二 子集确定及子集个数问题习 -3≤2m-1 例2(1)设集合A={x∈N|-2<x<2}的 (2)当B≠时，有 m+1≤4 2m-1<m+1, 子集的个数是 ( ) A.8 C.4 解得-1≤m<2, B.7 D.3 (2)集合A={xx=-y2+6,x∈N,y∈ 综上得m≥-1. [变式训练] N}的真子集的个数为 ( 3.(1)已知集合A={-2,3,1},集合B= A.9 B.8 C.7 D.6 (3)已知集合A满足条件{1,2}二A手{1， {3,m2).若B二A,则实数m的取值集 2,3,4,5},则集合A的个数为 合为 () A.8 B.7 C.4 D.3 A.{1} B.{3} [解析](1)依题意A={0,1},有两个元 C.{1,-1} D.{5,√3} 素，故子集的个数为2=4，故选C. (2)已知集合A={x|x<-2或x>0}, (2)由于x∈N,y∈N,又因为x=一y+6, B={x|0<x<1}则 则y可取0,1,2，.A={2,5,6},故集合A A.A=B B.AB 的真子集个数为23一1=7，故选C. C.B手A D.ACB 42< 高中新知探究学习 第二篇 ☑课堂达标 3.已知集合A={x|x2-3x十2=0}，B= 1.(多选题)下面关系中正确的为 {x|0<x<6,x∈N},则满足ACB A.0∈{0} 的集合C的个数为 ( ) B.丢{0} A.3 B.4 C.6 D.7 C.{0,1}二{(0,1)} 4.设集合A={x|1<x<2},B={x|x< D.{(a,b)}={(b,a)} a},若A二B,则a的取值范围是( 2.已知集合P={xx2=1},Q={xax=1},若 A.{ala≤2} B.{aa≤1} Q二P,则a的值是 () C.{aa≥1} D.{aa≥2} A.1 B.-1 二、填空题 C.1或-1 D.0,1或-1 5.图中反映的是“文学作品”“散文”“小说” 3.已知集合A={2,3,6},则集合A的真子 “叙事散文”这四个文学概念之间的关 集的个数是 系，请在下面的空格上填入适当的内容. 4.若A={0,1,2,3},B={0},并有以下9 个关系式： ①BtA;②BA;③A二A;④B二A; B ⑤0∈A;⑥0=B;⑦⑦二⑦；⑧⑦0； ⑨O车B, A为 ;B为 其中正确的有 (填序号) C为 ;D为 5.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B= 6.已知集合P={xx2=1},集合Q={x {x|一m<x<m},若BCA,求实数m的 ax=1},若Q二P,那么a的取值是 范围. 7.若由a,,1组成的集合与由，a十b, a 0组成的集合相等，则a226十b226的值为 三、解答题 8.已知集合P={x∈R|x2一3x+b=0}, Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}. (1)若b=4,求出所有满足PM二Q的 集合M; (2)若P二Q,求实数b的取值范围. 课后检测评价 一、选择题 1.如果A={x|x>一1}，那么正确的结 论是 ( ) A.0二A B.{0}∈A C.{0}二A D.⑦∈A 2.已知集合A={2,9},B={m,2.若A=B, 则实数m的值为 () A.3 B.2 C.士√2 D.士3 >>>)>>43课后检测评价 1.C2.C 3.C[集合A中元素y是实数，不是，点，故选B、D 不对；集合B的元素(x,y)是点而不是实数，2∈B 不正确，故A错.] 4.A[(1)a>0,b>0时， x=合+合=1+1=2 b (2a<0,0时x=日+合=-1-1 b =-2; (3)a,b异号时，x=0.] 5.{aa=0或a>1}6.{(-2,3)} .解：当a=0时，A={-台}， 当a≠0时，关于x的方程ax2一3x一4=0应有 两个相等的实数根或无实数根， 所以△=9+16a≤0，即a≤-6 故所求的a的取位范国是a≤一最或a=0, 8.解：将y=x2一ax十b代入集合A中的方程并整 理得x2-(a+1)x十b=0. A={-3,1}, .方程x2-(a十1)x十b=0的两根为一3,1. 由根与系数的关系得 厂18降客6 1b=-3. 所以y=x2+3x-3. 将y=x2+3x一3，a=一3代入集合B中的方程 并整理得x2十6x一3=0，解得x=一3士2√3， 所以B={-3-2√3，-3+2√3}. 第2节集合间的基本关系 课前预习导引 知识点1 任意一个包含关系 知识点2 A二BB≤Ax∈B,且xtA 知识点3 1.不含任何元素2.3.子集 知识点4 1.子集A≤A2.A二C 课堂典例探究 变式训练 1.D[M={x|x=g+1,n∈Z= 2 N={ly=n+2m∈z -fyly-2mF1,mez 所以n+2为所有整数，2m+1为奇数∴.N二M 本题正确选项：D.] 参考答案 2.解：A{x∈N|-1<x<3},集合A是{x∈N -1<x<3}的真子集，集合{x∈N|-1<x<3} 里面的元素为0,1,2，又A中至少有一个元素 为奇数，所以A中至少要有元素1，所以集合A 为{1}，{0,1}，{1,2}，共3个. 3.(1)C(2)C 课堂达标 1.AB[A正确，0是集合{0}的元素；B正确， 是任何非空集合的真子集；C错误，集合{0,1} 含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)， 所以这两个集合没关系；D错误，集合{(a,b)} 含一个元素(a,b),集合{(b,a)}含一个元素(b, a),这两个元素不同，所以集合不相等.] 2.D[由题意，当Q为空集时，a=0;当Q不是空 集时，由Q三P,a=1或a=-1.] 3.74.②③④⑤⑦⑨ 5.解：当m≤0时，B=☑，显然B二A. 当m>0时，因为A={x|x2-2x-3<0}={x|-1 <x<3}. 当B二A时，用数轴表示有 -a0a13主 -m≥-1， 所以m≤3，所以0<m≤1. -m<m, 综上所述，m的范围为{m0<m≤1}. 课后检测评价 1.C2.D 3.C[因为A={x|x2-3x十2=0}，B={x|0<x <6,x∈N},且AC军B,故C可以为{1,2,3}， {1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},1,2,4,5},{1, 2,3,5},共6个.] 4.D [A=(x|1<x<2),B={xx<a),AC B,则{aa≥2}.] 5.小说文学作品叙事散文散文6.0或士1 7解折：由于e,会l=位a+6,0 所以名=0→6=0， 则此时{a,0,1}={a2,a,0}, .a2=1且a≠1，故a=-1. .a2026十b2026=(-1)2026+02026=1. 答案：1 8.解：(1)集合Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4) =0}={x∈R|(x+1)(x+4)(x-1)=0} ={-1,1,-4}, 当b=4时，集合P=必， 由P手M二Q,可得M是Q的非空子集，共有 23-1=7(个)，分别为{-1)，{1}，{-4}， {-1,1},{-1,-4},{1,-4},{-1,1,-4}. (2)对于方程x2-3x十b=0, 当P=②时，4=9-h0,即>}，满足PCQ 当P≠②时，4=9-4b>0,即6≤号，方程-30 十b=0有实数根，且实数根是一1,1，一4中的数. >>>>>>》》123 衔接教材一本通 若一1是方程x2一3x十b=0的实数根，则有b =一4，此时P={一1,4}，不满足P二Q,故 舍去； 若1是方程x2一3x十b=0的实数根，则有b= 2,此时P={1,2},不满足P二Q,故舍去； 若一4是方程x2一3x十b=0的实数根，则有b= -28,此时P={7,一4}，不满足P二Q,故舍去 棕上可得，实效么的取值范偶为b>号} 第3节集合的基本运算 课前预习导引 知识点1 1.属于集合A或属于集合B2.=AAB 22 知识点2 1.属于集合A且属于集合B 2.=A⑦A二二 知识点3 1.所有元素2.不属于集合A的所有元素 3.A必UU⑦ 课堂典例探究 变式训练 1.解：集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}. 如图，将集合A,B在数轴上表示出来. A 023 易知AUB={x|3≤x<7}U{x2<x<10}= {x|2<x<10},CRA={xx<3,或x≥7}. .CR(AUB)={xx≤2，或x≥10}. B∩(CRA)={x2<x<10}∩{x|x<3,或x≥ 7}={x|2<x<3,或7≤x<10}. 2.解：(1)如下图所示，A={x一1<x<1}, B={xlx<a},且A∩B=, -2a-1012x '.数轴上的点x=a在x=一1的左侧（含点 x=一1)，∴.a≤-1，即a的取值范围为{aa≤-1. (2)如下图所示，A={x|-1<x<1},B={x|x <a},且AUB={xx<1}, -2-10ai2x ∴.数轴上的点x=a在x=一1和x=1之间（含 点x=1,但不含，点x=一1)， .一1<a≤1，即a的取值范围为{a-1<a≤1}. 3.解：(1)因为M={x(x+3)2≤0}={-3}，所以 CM={x|x∈R且x≠-3}.又N={x|x2+ x-6=0}={-3,2},所以(CM)∩N={2}. (2)由(1)，知A=(CM)∩N={2},因为AUB =A,所以B三A,所以B=☑或B={2}.当B= 124《((《(((< 数学 0时，a-1>5-a,得a>3;当B={2}时， 5一。2解得a=3综上，实数a的取值范周为 /a-1=2 {ala≥3}. 课堂达标 l.A[由题中Venn图得，阴影部分表示的集合 是M∩P,因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3}, 所以M∩P={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}.] 2.A[解不等式x2-2x≥0，得x≤0或x≥2，则 集合A={x|x≤0，或x≥2}， 所以，A∩B=0,AUB={x|x<√3，或x≥2} ≠R,B手A,A车B,故选：A.] 3.AB[因为集合A={xx<a},B={x|1<x< 2},所以CB={xx≤1，或x≥2}，因为AU(CRB) =R,所以a≥2.] 4.1,-1或0 5.解：CuA={5},.5∈U,且5A. a2+2a-3=5,解得a=2,或a=-4. 当a=2时，2a-1|=3≠5，符合题意；当a=-4 时，|2a-1|=9≠5，但是9U,舍去.故a的值 为2. 课后检测评价 1.B2.B 3.D[根据题意有，A∩B={x∈N2<x<n,n∈ N).又集合A∩B的元素个数为6，所以n=9. 故选D.] 4.C[图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于 集合S,属于集合S的补集，所以阴影部分所表 示的集合是(M∩P)∩(CvS),故选C.] 5.{x|0<x≤1}6.{xx≤-2，或x≥3} 7.解：(1)A∩B={2}.U={0,1,2,3,4,5},CB= {0,1,3,5},∴.CA={0,4,5} (2)AUB={1,2,3,4},∴.Cu(AUB)={0,5}. -a0, (3)C(AUB)≤C,.2a-1≥5，解得a≥3. 2a-1>-a, 8.解：(1)AUB={x2≤x≤8}U{x|1<x<6}={x|1 <x≤8}，CA={xx<2,或x>8}.(CA)∩B= {xl1<x<2}. (2).A∩C≠，∴.a<8. 第4节充分条件与必要条件 课前预习导引 知识点1 →充分必要充分必要 知识点2 充分必要充要(1)互为充要 课堂典例探究 变式训练 1.D