1 第1章 数与式 第2节 绝对值、根式、指数式-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 参考 第一篇 初、高中基础知识衔接 第一章数与式 第1节实数 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)错误，当a≠0时成立.(2)错误，当a是 整数时成立.(3)错误，当a≠0时成立.(4)成 立.(5)成立.(6)错误，当a>0时成立. 2.C[√9<1I<16,.3<1I<4,1I在 3与4之间.] 3.A2=√4<√5，.2<5；97<8=2， .7<2,7<2<5,故选A.] 课堂达标 1.A[元是无理数，号，0，-1都是有理数，故 选A.] 2.C[根据实数比较大小的方法，可得：π>√6>0> 一√3>-5，故实数一5，一√3,0，π√6中最大的数是 元.故选C.] 3.4-1,0,1,24.-1,0,1,2 课后检测评价 1.B2.B 3.C[易知AC=BC=√5-2，而数轴上右边的数总 比左边的数大，所以点A表示的数是2一(W5一2) =4-√5.] 4.B[7√44=√2156,45=√2025,2√506= √W2024,√2024<√2025<√/2156，∴.506<45 <7√44，故选B.] 5.t+1≥2wt6.④ 7.解：(1)45=√2025， ∴√/2026>√2025，√2026>45. (2).(2+√3)2=7+4√5， (√2+5)2=7+2√10， .43>2√10， .2+√3>√2+√5. (3)x2-4x+6十2x-3=x2-2x+3>0, .x2-4x+6>-2x+3. (4)当3-2b>0时，即6<号时，3>2b, 当3-26=0时，即6=号时，3=26， 当3-26<0时，即6>号时，3<26， 114<<< 数学 答案 8.解：(1)小明抽到卡片的计算结果W18-2 4 +名-3恒-反-2E+名- 十 小华抽到卡片的计算结果：√2而-3√子 亚+3-？=25-3g5+3-?=5,1 √3 2 2 22 (2):2<52小华获胜. 2 第2节绝对值、根式、指数式 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)由已知可得x十2=3或x+2=-3,解 得x=1或x=一5. (2)在数轴上找出x一2=6的解.在数轴上 到2对应的，点的距离等于6的点对应的数为 一4或8，∴.方程x一2=6的解为x=一4或 x=8,∴.不等式x-2<6的解为-4<x<8. 2.解：(1)由题意得4-3x>0,解得x<号当< 号时 1一有意义； (2)由题意得3-≥0解得≤3且≠2.当 x-2≠0， ≤3且≠2时号有多义： (3)由题意得x寸5≥0·解得x≥-5且工≠0. x≠0， 当x≥-5且x≠0时，+5有意义. x 3.解：(1)原式=2-2√2+1+2√2(3-2)=3 2√2+2√2=3； (2)原式=-2(6)+号×2层×6+× 2√/24×6=-12+2+18=8. 4.解：原式=3+(-2)-巨×号+1=3-2-1+1 =1. 课堂达标 1.A[由数轴上实数a的位置可知0a<1,∴.1一a >0,∴.l1-a+√a=1-a十a=1.] 2.B[根据题意，可知x20=2,能得出x=士2.] 3.C[A.a3÷a4=a,故此选项错误；B.a2·a= a3,故此选项错误；C.-3a2十（-2a)2=a2,故此 选项正确；D.a与a2不是同类项，不能合并，故 此选项错误，故选C.] 4.155-158 2 课后检测评价 1.B2.A 3.B[①a2·a3=a5,错误；②(a3)2=a,正确； ③(ab)3=a3b,正确； ④a5÷a5=1,错误.故选B.] 4.B[A.√4=2，故A错误；B.|a|≥a,正确； C.a2·a=a,故C错误；D.-12=-1,故D错 误；故选B.] 5.76.-2b 7.解：(1)50*=102×5=ab; 22r-()-g- (3)202= (得×10-g×10-g 5 (2a-b_b） ÷a-2b 8.解：(a+6-a一b)a+5 _(2a-b)(a-b)-b(a+b).atb (a十b)(a-b) a-26 =2a2-3ab+62-ab- 。。 1=2a(a-2b). a-b a-2b a-b 1 2a a-2b a-b' 当a=√2+√3，b=√2-√3时， 原式= 2(√2+√3) 2(W2+√3) (2+√3)-(2-√3) 2√3 =6+3 3 第3节 乘法公式与因式分解 课堂典例探究 变式训练 1.解：(a-b)2=a2-2ab+b2. :大正方形的面积=(a一b)2, 还可以表示为a2-2ab十b2, .(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.解：(1)原式=(3+2y)(32-6y十4y2) =33+(2y)3=27+8y3; (2)原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2] =(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1. 3.解：(1)-4ab-862+10b=-2b(2a+4b-5); (2)2(n-m)2-m(m-n)=2(n-m)2十m(n m)=(n-m)(2n-m); (3)15y(a-b)2-3y(b-a)=15y(a-b)2+ 3y(a-b)=3y(a-b)(5a-5b+1). 4.解：(1)x2-xy+3y-3x=x(x-y)+3(y-x) =(x-y)·(x-3). (2)法-.2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y -4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2) (y-3)=(2x-y+2)(x+y-3) 法二.2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy- y2)-(4.x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x 5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3). 参考答案 课堂达标 1.C[因为完全平方公式(a士b)2=a2±2ab+b.立 方和公式(a十b)(a2-ab十b)=a3+b3;立方差公 式(a-b)·(a2十ab+b)=a3-b;两数差立方公 式(a-b)3=a3-3a2b+3ab-b.故C正确.] 2.C[原式=(x2-4)(x2+4)=x4-16.] 3.D[A.原式=(x十2)(x一2)，错误；B.原式= (x十1)2，错误；C.原式=3m(x-2y),错误； D.原式=2(x十2)，正确.] 4.2ab(a+2)(a-2) 课后检测评价 1.C2.D 3.A[易知A项正确，B项应为一(x十1)(x十 3),C项应为2n(m-2n)(m十2n),D项应为 2 4.A[A.可以运用平方差，故本选项正确；B.不 能运用平方差，故本选项错误；C.不能运用平方 差，故本选项错误；D.不能运用平方差，故本选 项错误.] 5.x(y+3)(y-√3)6.2026 熊：原式（后八+（合小房+言， (2)原式=(a2-4)(a+4a2+4)=(a2)3-43 =a6-64. 8.解：x4+y4+2x2y2-2x2-2y2-15=0, (x2+y2)2-2(x2+y2)-15=0, (x2+y2-5)(x2+y2+3)=0, .x2+y2-5=0或x2+y2+3=0, x2十y2=5或x2十y2=-3(不合题意，舍去)， 故x2+y2=5. 第4节十字相乘法 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)原式=(x-3)(x十1) 1 -3 11 (2)原式=(y-3)(2y-1) 1 -3 2-1 (3)原式=(3x-2)(4x+1) 3 -2 41 (4)原式=-(x2-11x+18)=-(x-2)(x-9) 1 -2 1-9 (5)原式=(x-y)(x-2y) 1 一2 11 115衔接教材一本通 数学 第2节 绝对值、根式、指数式 衔接目标 将数推广到实数后，运算在加减乘除的基础上学习了绝对值、乘方、开方和整数指 数幂；根式学习了二次根式和三次根式.高中阶段对数与式的运算又进行进一步的扩 充，要求较高 (4)整数指数幂的运算性质（以下m,n均为 课前预习导引 整数) 一、知识链接 ①am·a”=am+n;②(am)”=am; (一)绝对值的概念 ③(ab)m=abm;④am÷a”=am-"(a≠0). 绝对值：数轴上表示一个数的点到原点 二、化解疑难 的距离，叫做这个数的绝对值. 1.含字母的绝对值问题，要注意对字母的 a,a>0, 分类讨论， a 0,a=0, 2.只有非负数才有算术平方根，非负数的 -a,a<0. 算术平方根是非负数. (二)数的乘方与开方 3.整数指数幂的运算性质中幂指数运算法 1.正数有两个平方根，负数没有平方根 则遵循：乘相加，除相减，幂相乘 2.若x”=a(n是大于1的整数)，则x叫做 4.含字母的幂运算中，应注意0°没有意义，即 a的n次方根，记作x= a°=1(a≠0). a(n为奇数) ,a叫做根式.正数a ±a(n为偶数) 课堂典例探究 的正的平方根与0的平方根叫做a的算 心类型一 绝对值的意义 术平方根，记作√a. 例(1)解方程x=2; 3.运算性质 (2)解不等式x-1|>2. (1)(√a)2=a(a≥0)； [解](1)因为在数轴上到原点的距离 (2)Wa=|al; 为2的点对应的数为士2， (3)(a)3=a(a为任意实数)； 所以方程|x|=2的解为x=士2. (4)a=a; (2)在数轴上找出|x一1=2的解（如图）， (5)-a=-a; 因为在数轴上到1对应的点的距离等于2 的点对应的数为一1或3，所以方程|x一1 (6)√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)（乘法运算）； =2的解为x=一1或x=3,因此不等式 g三/会(a≥0,6>0)（除法运算） |x-1|>2的解集为x<-1或x>3. ☐—2—2→ 5=画=√a品6≥0，a>0)分母有理化. -2-101234 √a√a 规律方法我们知道x的几何意义 4.幂的运算 是在数轴上数x对应的点与原点的距 (1)正整数指数幂：a”=aXaX…Xa; 离，即|x=|x-0,也就是说，x表 n个a 示在数轴上数x与数0对应的点之间 (2)零指数幂：a°=1(a≠0)； 的距离；这个结论可以推广为|x1一x2 (3)负整数指数：a“-六-（日）八a≠0， 表示在数轴上数x1与数x2对应的点 m是正整数)； 之间的距离 6<< 初、高中基础知识衔接 第一篇\ [变式训练] 心类型三 根式的计算 1.(1)方程|x十2|=3的解为 例3计算下列各题： (2)解不等式：|x一2<6. 15-21×5-6/: (2w+22z-是8x-4a [解] 1)(6-215)×,8-6,2 心类型二 二次根式的含义 =3√2-65-3√2=-6√5. 回 一x-6,则xy= (24c+22x-28x-4G 例2|若y=x一 =2√元+2√2x-√2x-4√元 =√2x-2无. [解析] 规律方法利用二次根式的加、减、 由题意可知： 2 -x≥0 乘、除运算法则进行运算，同时应注意 数学公式的运用，化简求值时有时需要 解得0= 分类讨论。 .y=0十0-6=-6， [变式训练] .xy=-3. 3.计算：(1)(2-1)2+22(3-√2)(3+2)： [答案] -3 26-3√层-2网×(-26. 规律方法二次根式√a(a≥0)中，a≥0 这个条件可以用来求变量的取值范围， 有时与函数解析式相结合考查.√a≥0 的应用也很广泛，例如：若2a十3石=0， 则a=0,b=0.在化简二次根式时，要考虑 被开方数的取值范围，并能灵活准确地 运用√a=|a.对于(a)2=a(a≥0)，既 可以正应用，也可以逆应用.逆应用的意 义在于，可以把一个非负数或非负代数 心类型四- 整数指数幂的运算。-一 式写成完全平方式的形式，如：2= 「例4计算： (2)2,便于因式分解等运用： +2026°+(-2)3÷(-2)2； [变式训练] 2.求使下列式子有意义的x的取值范围. (2x-3.14+(-402-()。 (1) 4z2:8 [解](1)原式=4+1+(-8)÷4 √4-3x =5-2=3. (2)原式=1+16-9=8. 规律方法对整数指数幂的运算法则 一定要熟练掌握，明确哪些部分的数或 式子参与了怎样的运算，哪部分未变， 对变形的式子每一步都要找到“依据” >>>>>)7 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 3.下列运算，其中结果正确的个数为( 4计算：5+（-)厂-2sn45+63-29。 ①a2·a3=a②(a3)2=a③(ab)3= a3b3④a5÷a5=a A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列计算中，正确的是 () A.√4=士2 B.la≥a C.a2·a5=alo D.-12=1 二、填空题 5.已知实数m满足√(2-m)2十√m-3= √m,则m= 6.计算：10ab3÷(-5ab)= 三、解答题 7.已知102=a,52=b,求： (1)50x的值；(2)2的值；(3)202的值. ☑课堂达标 (结果用含a、b的代数式表示) 1.已知实数a在数轴上的位置如 16 图所示，则化简|1-a|十√a 的结果为 ( ) A.1 B.-1 C.1-2a D.2a-1 2.如果x2=2,有x=士√2；当x3=3时，有 x=3,想一想，从下列各式中，能得出的 是c=±22的是 ( A.x2=土20 B.x20=2 C.x±20=20 D.x3=±20 8.先化简，再求值： +8ao- 3.下列计算结果为a2的是 A.a8÷a(a≠0) B.a2·a 0气0其中a=2+b=反. C.-3a2+(-2a)2 D.a-a2 4.计算/15： 1 课后检测评价 一、选择题 1.一个自然数的算术平方根为a,则和这个 自然数相邻的下一个自然数是() A.a+1 B.a2+1 C.a2+1 D.a+1 2.下列结论正确的是 A.一√(-6)2=-6 B.(-√3)2=9 C.√/(-16)2=±16 D.-(2 5)2=16 25 8☐《<