1 第1章 数与式 第1节 实数-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第一篇 第篇·初、高中基础和识衔接 第一章 数与式 第1节实数 衔接目标 在初中阶段，我们对实数已有初步认识，实数具有顺序性，能够进行大小比较，并且 其中有着丰富的内涵，但是，数系的扩充还没有结束，在高中阶段我们还将学习虚数.虚 数和实数统称为复数.学好实数的有关知识将为高中阶段的学习打下良好的基础. 6.有理数和无理数：整数和分数统称为有 课前预习导引 理数，一般用字母Q表示 一、知识链接 (1)有理数都可以写成有限小数（包括整 1.正数与负数：大于0的数我们称为正数， 数)或无限循环小数的形式；都可以表 小于0的数称为负数， 示成分数卫(p,q是互素的整数，q≠0) 2.整数和分数：我们一般把形如…，一3， 一2，一1,0,1,2,3，…的数称为整数，一 的形式.反之能表示成卫(p,9是互素的 般用字母Z表示，而其中正整数一般用 整数，g≠0)形式的数都是有理数 (2)无理数是无限不循环小数，不能写成 N表示；而把形如分(a,b为整数，且 卫(p,9是互素的整数，q≠0)的形式。 b≠0)的数称为分数， 根据以上的概念梳理，实数的分类如下： 3.奇数和偶数：能被2整除的数我们称为 正整数 偶数，一般用2k(k∈Z)表示；反之不能被 整数零 2整除的数称为奇数，一般用2k士1(k∈ 有理数 负整数 Z)表示. 分数 正分数 有限或无限循环小数》 实数 负分数 4.倍数和因数：当整数a能够被整数b所整 正无理数 无理数 无限不循环小数》 除时，a称为b的倍数，而b称为a的因 负无理数 数，例如2026是2的倍数，而2是2026 二、化解疑难 的因数. 1.实数分类时要看最终结果，不能只看表 5.素数与合数：在所有比1大的整数中，如 面现象，如√4是有理数，不是无理数 果除了1和它本身以外，没有别的约数， 2.和初中相比，高中对概念的理解更加抽象和 理性，我们解决问题时常常脱离具体的数为 这样的数我们称为素数，又称为质数，例 支撑，而是运用比较抽象的数学符号语言进 如2,3,5,7，…；如果除了1和它本身以 行思维和推理.因此本节我们将通过例题对 外，还有别的约数，这样的数我们称为合 字母代替数所引发的分类讨论，实数的分 数，例如4,6,15，….1比较特殊，它既不 类，实数的大小比较以及实数的一些基本性 是素数，也不是合数 质进行巩固和深化 >>>>>3 衔接教材一本通 数学 课堂典例探究 规律方法在估算一个正数的算术平 方根、立方根的大小时，通常应选取特殊 心类型一 实数的有关概念 ☑ 值，采用两边逼近的方法求解，但选取的 例若a是实数，下列说法对吗？若不 特殊值一定要在允许的取值范围内，不能 对，请给出成立的条件 随意取值.两个无理数比较大小时，可将 (1)-a<0; 根号外的因数移到根号内，也可以用“平 (2)2a是偶数； 方法”.如比较一3√2和一23的大小时， (3)-|a|<0; 把3、2移进根号内，符号不变， (4)a+3>a; -32=-18,-2√3=-12，所以 (5)(-a)2= a2; -3√2<-23 (6)3a>2a. [思路分析] 出现字母，应从所有的实 [变式训练] 数去思考 2.估计√11的值在 之间 [解](1)不对，当a>0时成立. A.1与2之间 B.2与3之间 (2)不对，当a是整数时成立. C.3与4之间 D.4与5之间 (3)不对，当a≠0时成立. 八类型三」 实数的大小比较 (4)对. 例3比较下列各组数的大小： (5)不对，当a=0时成立. (1)2√7与3√3； (6)不对，当a>0时成立. (2)2+√6与3+√5； 规律方法字母代替数，泛指所有的 (3)-x2+1和x2-4x十6. 数，一a表示数a的相反数，而数a可 [思路分析]比较代数式的大小一般采 表示正数、负数、0等一切实数，进入高 取作差法。 中阶段我们的思维将更理性，不能停留 在事物的表面形态 [解](1).2√7=√28,33=√/27 [变式训练] 28>√27，.2√7>3√3. 1.若a是实数，下列说法对吗？若不对，请 (2).(√2+√6)2=8+2√12， 给出成立的条件 (3+√5)2=8+215， (1)-a2<0;(2)2a十1是奇数； .8+2√12<8+2√15， (3)la|>0;(4)a-2<a; (5)(-a)3=-a3;(6)a<2a. .√2+6<3+5 (3)-x2+1-(x2-4x+6)=-2x2+4x-5 =-2(x2-2x)-5=-2(x-1)2-3. (x-1)2≥0，.-2(x-1)2-3<0 .-x2+1<x2-4x+6. 八类型二 无理数的估算 规律方法对于任意实数a与b的大小 比较，存在a>b,a=b,a<b三种关系.比 [例2若m=√40-4，则估算m的值所在的 较两个实数的大小方法很多，可以通过变 范围为 形[如(1)(2)门后进行判断；可以利用数轴 A.1<m<2 B.2<m<3 上右边的点表示的数比左边的点表示的 C.3<m<4 D.4<m<5 数大；可以把所有实数化成小数形式后进 [思路分析]估算√40的值，采用两边逼 行判断.对于含有字母的两个代数式大小 近的方法思考， 的比较，一般采用“作差法”，如(3)，也有 [解析]B[因为36<40<49，所以 时采用“比商法”.由于最后结果受到字母 √36<40</49，即6</40<7，所以2< 取值的影响，往往需要判断其与0的大小 √40一4<3，即无理数m的值所在的范围 关系，如(3)，如果无法判断，还需根据情 为2<m<3.] 况进行分类讨论 4 初、高中基础知识衔接 第一篇 [变式训练] 二、填空题 3.比较2,5,7的大小，正确的是（ 5.设t>0,则t十1与2的大小关系 A.7<2<5 B.2<7<5 为 C.2<5<7 D.W5<7<2 6.设[x)表示大于x的最小整数，如[3)=4， [一1.2)=一1，则下列结论中正确的是 ☑课堂达标 (填写所有正确结论的序号) 1.实数x,号0，-1中，无理数是 ①[0)=0；②[x)一x的最小值是0； ③[x)一x的最大值是0；④存在实数x, A. B C.0 D.-1 使[x)-x=0.5成立. 三、解答题 2.在实数一5，一√3,0，π，√6中，最大的一个 7.比较下列各组数的大小. 数是 ( (1)2026与45； A.-5 B.-3 C.π D.√6 3.如图，在数轴上点A和点B之间表示整 (2)2+3与√2+√5； 数的点有 个，分别是 (3)-2x+3与x2-4x+6; (4)3与2b. B -/2 0 4.满足-√2<x<√5的整数x是 课后检测评价 一、选择题 1.下列说法正确的是 A.正整数，负整数统称为整数 B.正有理数，0，负有理数统称为有理数 C.无限小数都是无理数 8.小明和小华做游戏，游戏规则如下： D.有理数是有限小数 (1)每人每次抽取四张卡片，如果抽到白 2.若√19+1的值在两个整数a与a+1之间， 色卡片，那么加上卡片上的数或算式；如 则a= ( 果抽到底板灰色的卡片，那么减去卡片 A.4 B.5 C.6 D.7 上的数或算式； 3.如图所示，数轴上表示2，√5的对应点分 (2)比较两人所抽的4张卡片的计算结 别为C,B,点C是AB的中点，则点A表 果，结果大者为胜者 示的数是 ( ) 小明抽到的卡片如下： 小华抽到的卡片如下： AC B 32 + 18 0 25x A.-√5 B.2-√5 D.5-2 请你通过计算判断谁为胜者？ C.4-5 4.7√44,2√506,45三个数的大小关系是 A.7J44<2√/506<45 B.2506<45<7√J44 C.7√44<45<2√506 D.45<2506<7√J44 >>>>5衔接教材一本通 参考 第一篇 初、高中基础知识衔接 第一章数与式 第1节实数 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)错误，当a≠0时成立.(2)错误，当a是 整数时成立.(3)错误，当a≠0时成立.(4)成 立.(5)成立.(6)错误，当a>0时成立. 2.C[√9<1I<16,.3<1I<4,1I在 3与4之间.] 3.A2=√4<√5，.2<5；97<8=2， .7<2,7<2<5,故选A.] 课堂达标 1.A[元是无理数，号，0，-1都是有理数，故 选A.] 2.C[根据实数比较大小的方法，可得：π>√6>0> 一√3>-5，故实数一5，一√3,0，π√6中最大的数是 元.故选C.] 3.4-1,0,1,24.-1,0,1,2 课后检测评价 1.B2.B 3.C[易知AC=BC=√5-2，而数轴上右边的数总 比左边的数大，所以点A表示的数是2一(W5一2) =4-√5.] 4.B[7√44=√2156,45=√2025,2√506= √W2024,√2024<√2025<√/2156，∴.506<45 <7√44，故选B.] 5.t+1≥2wt6.④ 7.解：(1)45=√2025， ∴√/2026>√2025，√2026>45. (2).(2+√3)2=7+4√5， (√2+5)2=7+2√10， .43>2√10， .2+√3>√2+√5. (3)x2-4x+6十2x-3=x2-2x+3>0, .x2-4x+6>-2x+3. (4)当3-2b>0时，即6<号时，3>2b, 当3-26=0时，即6=号时，3=26， 当3-26<0时，即6>号时，3<26， 114<<< 数学 答案 8.解：(1)小明抽到卡片的计算结果W18-2 4 +名-3恒-反-2E+名- 十 小华抽到卡片的计算结果：√2而-3√子 亚+3-？=25-3g5+3-?=5,1 √3 2 2 22 (2):2<52小华获胜. 2 第2节绝对值、根式、指数式 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)由已知可得x十2=3或x+2=-3,解 得x=1或x=一5. (2)在数轴上找出x一2=6的解.在数轴上 到2对应的，点的距离等于6的点对应的数为 一4或8，∴.方程x一2=6的解为x=一4或 x=8,∴.不等式x-2<6的解为-4<x<8. 2.解：(1)由题意得4-3x>0,解得x<号当< 号时 1一有意义； (2)由题意得3-≥0解得≤3且≠2.当 x-2≠0， ≤3且≠2时号有多义： (3)由题意得x寸5≥0·解得x≥-5且工≠0. x≠0， 当x≥-5且x≠0时，+5有意义. x 3.解：(1)原式=2-2√2+1+2√2(3-2)=3 2√2+2√2=3； (2)原式=-2(6)+号×2层×6+× 2√/24×6=-12+2+18=8. 4.解：原式=3+(-2)-巨×号+1=3-2-1+1 =1. 课堂达标 1.A[由数轴上实数a的位置可知0a<1,∴.1一a >0,∴.l1-a+√a=1-a十a=1.] 2.B[根据题意，可知x20=2,能得出x=士2.] 3.C[A.a3÷a4=a,故此选项错误；B.a2·a= a3,故此选项错误；C.-3a2十（-2a)2=a2,故此 选项正确；D.a与a2不是同类项，不能合并，故 此选项错误，故选C.] 4.155-158 2