1 第3章 函数及其图象 第2节 二次函数-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 4.解：(1)因为y随x的增大而增大，所以m十3> 0,解得m>一3. 所以m的取值范围是m>一3. (2)如果这个一次函数是正比例函数，那么 m十3>0'解得m=4. m-4=0, (3)如果这个一次函数的图象与y轴正半轴有 交点，那么m十3之0解得m>4,所以m的取 1m-4>0, 值范围是m>4. 课后检测评价 1.C2.B B[当=-10时9-一高 当x=10时，y=-x十1=-9， &-9K=≤0 设x<x则⅓=一x,十1y= 六=1-x=1 y x十x=1-为+ y ,则x,一xn=y-y,十 1 11 yn ym 0a-y)1+1）<0, ymyn ∴x=1-y十中x值随y值的增大而减小， 1-()-10-8≤x≤1--9y-司 --8≤+x<9J 4.A[依照题意画出图形，如图所示. (0,6) 将y=mx+6代入y=是中，得：mx 十6=2，整理得：mx2+6x一n=0, ,二者有交点，.△=62+4m≥0，…∴mn≥-9.] 5.0<<26.-2 7.解：(1)：点B(a,4)在反比例画数y=-12的图 象上，∴.4a=-12,解得a=-3, 点B的坐标为（一3,4）， 将A,B两点坐标代入一次函数解析式得 46年件伦 .一次函数的解析式为y=一2x一2. 120(((《<<<< 数学 (2)如图所示，将直线AB向上平移10个单位 长度后得直线l的解析式为y1=一2x十8， ↑y y2=9 0 1 3 y1=-2x+8 1y1=-2x+8, 联立方程组6 y2= 每得仁仔 由图可知，使y1<y2成立的x的取值范围为 0<x<1或x>3. 8.解：(1)，直线y=2x十6经过点A(1,m),.m =2×1十6=8，∴A(1,8),反比例函数经过点 A1,8),8=会k=8反比例画数的解折 或为y (2)由题意，点M,N的坐标为M(月n N"20<a<6"2<0, ÷sam-×(2+)×a-× 4 .n=3时，△BMN的面积最大. 第2节二次函数 课堂典例探究 变式训练 1.(1)①④(2)②③④ 2.解：(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入y=- (一2+2b+c=0, bx十c得： 1c=-6, 1b=4, 解得 c=-6. 这个二次画教的解新式为)=一司+红一6 4 (2),该抛物线的对称轴为直线x= 2x(】 =4, 点C的坐标为(4,0). .AC=OC-OA=4-2=2, ÷SAm=7XACX0B=2×2X6=6. 2 3解：=-红+2=（一瓷）°+2-会对称轴 为一台 ()当号>≥2即≥4时，由图知，当x=2时， y最小=6一2k. k x= (2)当-2<受<2，即-4<<4时，由图知，当 =时=2-星 41 (3)当≤-2，即≤-4时，由图知，当x=一2 2 时，y最小=6十2. x=- 02 「6-2k,k≥4， 城上y的最小位为y=2-气，-44， 6+2k,k=-4. 课堂达标 1.A[A=12-4×(-1)×(-1)=-3<0,.函 数y=一x2十x一1的图象与x轴无交点.门] 2.B[篮环的纵坐标为3.05，令y=-0.2x2十 3.5=3.05,得x1=1.5,x2=-1.5(舍去). .t=2.5+1.5=4(m).] 3.C[观察二次函数图象可知：m>0,n<0, ∴.一次函数y=mx十n的图象经过第一、三、四 象限，反比例函数y=”的图象在第二、四象 限.故选C.] 参考答案 1 4.16 5.解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2十bx十c, (a≠0) -2=a十b+c, 则{-3=c, -6=a×(-1)2+b×(-1)+c, a=-1, 解得b=2, c=一3， 所以二次函数的解析式为y=一x2十2x一3. (2)根据题意，可设二次函数的解析式为y= a(x-3)2+5(a>0). 因为图象过点(1,13)，所以13=a(1一3)2+5，解得 a=2. 所以二次函数的解析式为y=2(x-3)2十5. (3)根据题意，可设二次函数的解析式为y= a(x一1一√2)·(x-1十√2).因为函数图象与 y轴交于点(0，-2)，所以-2=a(0-1一√2)· (0-1+√2)， ∴.a=2,∴.y=2(x-1+√2)(x-1-√2). 课后检测评价 1.C2.B 3.D[若a>0,开口向上，选项C、D与y轴交点 都在y轴负半轴，令x=0得y=c<0,∴.c<0, 又abc>0,b<0,对称轴x=一>0，选项C 2a 不正确，选项D正确.若a<0,开口向下，选项A 中c<,又abc>0,∴b>0,对称轴x=一2a b >0,故A不正确，选项B中c>0,又abc>0, 0对稀轴=一品<0选项B不正魔们 4.B[由题图知：当点B的横坐标为1时，抛物线 顶点取C(一1,4)，设该抛物线的解析式为：y= a(x+1)2+4,代入，点B坐标，得：0=a(1+1)2 十4，a=一1，即：B点横坐标取最小值时，抛物 线的解析式为：y=一(x+1)2+4. 当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取 E(3,1),则此时抛物线的解析式：y=一(x一3)2 +1=-x2+6x-8=-(x-2)(x-4),即与x 轴的交点为(2,0)或(4,0)（舍去），∴点A的横 坐标的最大值为2.] 5.196.(3,0) 7.解：函数为二次函数，∴a≠0. ∴.y=ax2+2ax+1=a(x+1)2-a+1, 对称轴为x=一1. (1)当a>0时，由二次函数的图象可知，函数在 一3≤x≤一1上，y随x的增大而减小，函数在 >>>>>>>>121 衔接教材一本通 一1≤x≤2上，y随x的增大而增大，所以当x =2时，函数有最大值y=4a十4a十1=8a+1, 8+1=4a=是 (2)当a<0时，由二次函数的图象可知，函数在 一3≤x≤一1上，y随x的增大而增大，函数在 一1≤x≤2上，y随x的增大而减小，所以当x =-1时，函数有最大值y=1一a,∴.1-a=4, a=-3.综上可得a=8或a=-3. 8 1 x=- 2m y=一2x解得 31 8.解：(1)由题意得 y=x+m, = m 3 (2②)①根据题意得-2≤2，解得m≥-3， .m的取值范围为m≥一3。 ②当m=6时，顶点为M(-4,2), .抛物线为y=(x十4)2十2，函数的最小值为2， ,x满足t一1≤x≤t十3时，二次函数的最小值 为2， 化1海特-7花8 (3)ytbx+9,得+(p-1Dz十g一m y=x+m, =0,△=(p-1)2=4(q-m),△=p2-2p+1 4q十4，抛物线的顶，点坐标既可以表示为 M(-得智)又可以表示为 = 3m,4g= 3n十p2, A=分-2p+1-（m+p)+4m=-2+1 3m+4m, +4m=1,.△>0， .无论m取任何值，二次函数y=x2十px十q 的图象与直线y=x十m总有两个不同的交点. 第二篇高中新知探究学习 第一章集合与常用逻辑用语 第1节集合的概念与表示 课前预习导引 知识点1 1.研究对象总体2.确定互不相同3.一样的 4.a∈AatA 数学 知识点2 列举法描述法1.一一列举出来2.共同特征 课堂典例探究 变式训练 1.D[研究一组对象能否构成集合的问题，首先 要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没 有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定 性；③中“密度小”没有明确的界限.] 2.解：(1){-2，-1,0,1,2}. (2){3,6,9}. (3).x=|xl,x≥0. 又.x∈Z且x<5,x=0或1或2或3或4. .集合可以表示为{0,1,2,3,4} (4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (5){x|x=2k-1,-1≤k≤3，k∈Z}. 3.解：(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， 此时x=一司符合题意： 当a≠0时，方程a.x2十2x十1=0为一元二次方程， △=4-4a=0,即a=1, 原方程的解为x=一1，符合题意， 故当a=0或a=1时，原方程只有一个解，此时 A中只有一个元素. (2)A中至多含有一个元素，即A中有一个元素 或没有元素 当△=4-4a<0,即a>1时，原方程无实数解. 结合(1)知，当a=0或a≥1时A中至多有一个 元素 (3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个 元素，由△>0得a<1. 结合(1)可知当a≤1时，A中至少有一个元素. 课堂达标 1.C[A项中元素不确定；B项中两个集合元素 相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集 合相等；D项中方程的解分别是x1=1,x2=xg =一1，由互异性知，构成的集合中有2个元素.] 2.C[因为P中恰有3个元素，所以P={3,4, 5},可得5<k≤6.] 3.D[因为集合中元素具有互异性，所以a,b,c 互不相等，因此选D.门 5解：肉美多号份侣。 a=4' 1 、骑深了口—0·或∫口—0”或口一。”或人 1b=1,1b=0, 1 b2 1 由案合元素的互异性知二0'或 a=4' 1b=1, 1 b一2初、高中基础知识衔接 第一篇 第2节 二次函数 衔接目标 高中对二次函数有更高的要求，特别是在含有参数的二次函数问题方面，因此通过 本节的学习要在复习二次函数的图形、性质和解析式的基础上，掌握含有参数的二次函 数最值的求法。 二、化解疑难 课前预习导引 1.理解二次函数的定义要注意掌握它的结 一、知识链接 构特征 1.二次函数的定义 (1)等号左边是函数，右边是关于x的二 形如y=a.x2十bx十c(a≠0)的函数叫关于x 次式； 的二次函数 2.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象 (2)x的最高次项是2次； 和性质 (3)二次项的系数a≠0，b,c可以为零. 条件 a>0 a<0 2.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)中，x,y 是变量，a,b,c是常数，其中b,c可以是任 意实数，a必须是不等于零的实数.这是 因为当a=0时，二次函数就变成了一次 图 函数y=bx十c(b≠0). 对称轴x= 2a ,顶点坐 对称轴x= ,顶点坐 2a 3.画一般二次函数图象的一般方法是：利用二 b 4ac-b2 标(-2a Aa 标（一2a b 4ac-b2 次函数的性质，先确定抛物线的对称轴和顶 点坐标，再在抛物线对称轴的一侧取一些值 当x≤- 品时y随x 当x≤- 品时y随x 描点，根据对称性，在抛物线对称轴的另一 增 的增大而减小；当x≥ 的增大而增大；当x≥ 侧描出相关的对称点，然后用平滑的曲线顺 会时y随x的增 品时y随：的啦 次连接各点，即得其图象，这样画出的二次 大而增大 大而减小 函数图象就比较完整， 当x= 会时，少达到 当x=一 时，达到最 最大 课堂典例探究 (小)值 最小值y=ac-b2 无 Aa 大值y=4ac-b2 Aa 无最大值 最小值 八类型一 二次函数的图象 3.二次函数解析式的三种常见的表达形式 例1已知抛物线y=一x2十2x十2. (1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)； (1)该抛物线的对称轴是 ,顶点 (2)顶点式：y=a(x-h)2+(a≠0)，其中 坐标是 h=名k=如 (2)选取适当的数据填入下表，并在图中 (3)两根式（交点式）：若方程a.x2+bx十c=0(a 的直角坐标系内描点画出该抛物线的 ≠0)有两根x1,2,则二次函数y=ax十 图象； bx+c(a≠0)可以改写成y=a(x-x)(x -x2)(a≠0)，其中x1,x2是方程ax2十bx +c=0(a≠0)的两根，也是二次函数的图 象与x轴的交点的横坐标 >>>>>>>33 衔接教材一本通 数学 2.二次函数图象的平移 在对二次函数的图象进行平移时，具有 这样的特点一只改变函数图象的位 置、不改变其形状，因此，在研究二次函 54321012345x 数的图象平移问题时，只需利用二次函数 图象的顶点式研究其顶点的位置即可： [变式训练] 1.如图，二次函数y=a.x2+bx十c的 (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2, 图象开口向上，图象经过点（一1,2） y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1 和(1,0)且与y轴交于负半轴. 与y2的大小. (1)给出四个结论：①a>0;②b>0; [解](1)直线x=1;(1,3). ③c>0;④a+b+c=0.其中正确的结论的 序号是 (2)列表如下： (2)给出四个结论：①abc<0;②2a+b>0; 0 3 ③a十c=1;④a>1.其中正确的结论的序号 是 y 2 3 类型二，一二次函数的解析式 描点画图象如图 [例2(1)已知某二次函数的最大值为2，图 所示. 象的顶点在直线y=x+1上，并且图象 (3).a=-1,∴.抛 经过点(3，一1)，求二次函数的解析式； 物线的开口向下. 12101 (2)已知二次函数的图象过点（一3,0）， 在对称轴直线 (1,0),且顶点到x轴的距离等于2，求此 二次函数的解析式 x=1右侧，y随x的 [解](1)设二次函数解析式为 增大而减小 y=a(x-h)2+k(a≠0)， .x1>x2>1,y1<y2 由2=x+1得x=1, 规律方法 所以二次函数顶点坐标为(1,2)，将其代入 1.函数y=ax2十bx十c图象作图要领： y=a(x-h)2+k(a≠0)得y=a(x-l)2+2 (1)确定开口方向：由二次项系数a (a≠0)，再将点(3，-1)代入解得a=一3， 4 决定； 所以二次函数解析式为： (2)确定对称轴：对称轴方程为 y=- -1+2。 b x=- 2a (2)因为二次函数的图象过点（一3,0）， (3)确定图象与x轴的交点情况，①若 (1,0),所以可设二次函数的解析式为y △>0则与x轴有两个交点，可由方程 =a(x十3)(x-1),a≠0，整理得y=ax 十2ax一3a,所以顶，点的纵坐标为 a.x2+bx十c=0求出；②若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程ax2十bx十c -12a2-4a2=一4a.因为二次函数的图象 Aa =0求出；③若△<0则与x轴无交点； 的顶点到x轴的距离为2，所以|一4a=2, (4)确定图象与y轴的交点情况，令 解得a=士2，所以二次画数的解桥式为y x=0得出y=c,所以交点坐标为(0，c); (5)由以上各要素画出草图 =或=-x》 34(((<(((〈 初、高中基础知识衔接 第一篇 规律方法求二次函数的解析式，关 当一2≤x≤2时，图象最低点为P,最高 键是根据题目中的条件选择恰当的函 点为B. 数表达式，常见的有以下三种， ∴.当x=1时，函数取得最小值为一4； (1)一般式：y=a.x2+bx十c(a≠0)； 当x=一2时，函数取得最大值为5. (2)顶点式：y=a(x-h)2十k(a≠0)， 规律方法二次函数在自变量x给定 其中顶点坐标是(h,k); 的范围m≤x≤n内，对应的图象是抛 K (3)交点式：若抛物线y=ax2十bx十c 物线上的一段（含两个端点）有限曲线 (a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0) 段，必存在最高点和最低点，即二次函 两点，则其函数关系式可以表示为y 数y=ax2+bx十c(a≠0)，在当m≤x a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ≤n时，既有最大值，又有最小值， [变式训练] [变式训练] 2.如图，已知二次函数y 3.函数y=x2-kx十2，-2≤x≤2，求y的 最小值 =一 22+bx十c的 图象经过A(2,0), B(0,一6)两点， (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交 于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积， ☑课堂达标 1.函数y=一x2+x一1图象与x轴的交点 个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定 2.小敏在某次投篮中，球的运动 路线是抛物线y 一0.2x2+3.5的一部分（如图 少类型三-.三次函数的最值.--回 所示)，若命中篮环中心，则他 例3当-2≤x≤2时，求函数y=x2 与篮底的距离t是 2x一3的最大值和最小值， A.3.5m B.4 m [思路分析]将函数解析式配方，找出 C.4.5m D.4.6m 函数的对称轴，作出函数在所给范围内 3.已知二次函数y=(x+m)2一n 的大致图象，观察图象的最高点和最低 的图象如图所示，则一次函数 点，由此得到函数的最大值、最小值及函 y=mx十n与反比例函数 数取得最值时相应自变量x的值， y=m”的图象可能是 ( [解]将函数解析式y= x2一2x一3配方，得y=2 (x-1)2-4.画出函数图象 (如图所示). A(2,-3 不华 1,4 >>>>>35 衔接教材一本通 数学 4.将长度为1米的铁丝做一个长方形，这个长 二、填空题 方形面积的最大值为 平方米. 5.函数y=2x2-3x十5在-2≤x≤2上的最 5.根据下列条件，求二次函数的解析式. 大值是 (1)图象经过点(1，-2)，(0，一3)，(-1， -6); 6.抛物线y=x-4x+罗与x轴的一个交 (2)当x=3时，函数有最小值5，且经过 点的坐标为(1,0)，则此抛物线与x轴的 点(1,13)； 另一个交点的坐标为 (3)函数图象与x轴交于点(1一√2,0)和 三、解答题 点(1十√2,0)，并与y轴交于点(0，一2). 7.已知二次函数y=ax2+2ax+1在 一3≤x≤2上的最大值为4，求实数a 的值 课后检测评价 8.二次函数y=x2十px十q的顶点M是直 一、选择题 线y=-2x和直线y=x十m的交点。 1.已知二次函数y=ax2十bx十c (1)用含m的代数式表示顶点M的 (a≠0)的图象如图所示，以下 四个结论：①a>0;②c>0; 坐标； ③b2-4ac>0;④- <0,正 (2)①当x≥2时，y=x2+px十q的值均 2a 随x的增大而增大，求m的取值范围； 确的是 ( ②若m=6,且x满足t一1≤x≤t十3时， A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 二次函数的最小值为2，求t的取值 2.已知二次函数y=-x2+2x十3，当x≥2 范围； 时，y的取值范围是 ( (3)试证明：无论m取任何值，二次函数 A.y≥3 B.y≤3 y=x2+x十q的图象与直线y=x十m C.y>3 D.y<3 总有两个不同的交点 3.设abc>0,二次函数y=ax2十bx十c的 图象可能是 o B 4.如图，一条抛物线与 x轴相交于A、B两 点，其顶点P在折线 C一D一E上移动， 若点C、D、E的坐标 /A 0 分别为(-1,4)， (3,4),(3,1),点B的横坐标的最小值为1， 则点A的横坐标的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 36<<