1 第1章 数与式 第3节 乘法公式与因式分解-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

课后检测评价 1.B2.A 3.B[①a2·a3=a5,错误；②(a3)2=a,正确； ③(ab)3=a3b,正确； ④a5÷a5=1,错误.故选B.] 4.B[A.√4=2，故A错误；B.|a|≥a,正确； C.a2·a=a,故C错误；D.-12=-1,故D错 误；故选B.] 5.76.-2b 7.解：(1)50*=102×5=ab; 22r-()-g- (3)202= (得×10-g×10-g 5 (2a-b_b） ÷a-2b 8.解：(a+6-a一b)a+5 _(2a-b)(a-b)-b(a+b).atb (a十b)(a-b) a-26 =2a2-3ab+62-ab- 。。 1=2a(a-2b). a-b a-2b a-b 1 2a a-2b a-b' 当a=√2+√3，b=√2-√3时， 原式= 2(√2+√3) 2(W2+√3) (2+√3)-(2-√3) 2√3 =6+3 3 第3节 乘法公式与因式分解 课堂典例探究 变式训练 1.解：(a-b)2=a2-2ab+b2. :大正方形的面积=(a一b)2, 还可以表示为a2-2ab十b2, .(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.解：(1)原式=(3+2y)(32-6y十4y2) =33+(2y)3=27+8y3; (2)原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2] =(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1. 3.解：(1)-4ab-862+10b=-2b(2a+4b-5); (2)2(n-m)2-m(m-n)=2(n-m)2十m(n m)=(n-m)(2n-m); (3)15y(a-b)2-3y(b-a)=15y(a-b)2+ 3y(a-b)=3y(a-b)(5a-5b+1). 4.解：(1)x2-xy+3y-3x=x(x-y)+3(y-x) =(x-y)·(x-3). (2)法-.2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y -4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2) (y-3)=(2x-y+2)(x+y-3) 法二.2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy- y2)-(4.x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x 5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3). 参考答案 课堂达标 1.C[因为完全平方公式(a士b)2=a2±2ab+b.立 方和公式(a十b)(a2-ab十b)=a3+b3;立方差公 式(a-b)·(a2十ab+b)=a3-b;两数差立方公 式(a-b)3=a3-3a2b+3ab-b.故C正确.] 2.C[原式=(x2-4)(x2+4)=x4-16.] 3.D[A.原式=(x十2)(x一2)，错误；B.原式= (x十1)2，错误；C.原式=3m(x-2y),错误； D.原式=2(x十2)，正确.] 4.2ab(a+2)(a-2) 课后检测评价 1.C2.D 3.A[易知A项正确，B项应为一(x十1)(x十 3),C项应为2n(m-2n)(m十2n),D项应为 2 4.A[A.可以运用平方差，故本选项正确；B.不 能运用平方差，故本选项错误；C.不能运用平方 差，故本选项错误；D.不能运用平方差，故本选 项错误.] 5.x(y+3)(y-√3)6.2026 熊：原式（后八+（合小房+言， (2)原式=(a2-4)(a+4a2+4)=(a2)3-43 =a6-64. 8.解：x4+y4+2x2y2-2x2-2y2-15=0, (x2+y2)2-2(x2+y2)-15=0, (x2+y2-5)(x2+y2+3)=0, .x2+y2-5=0或x2+y2+3=0, x2十y2=5或x2十y2=-3(不合题意，舍去)， 故x2+y2=5. 第4节十字相乘法 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)原式=(x-3)(x十1) 1 -3 11 (2)原式=(y-3)(2y-1) 1 -3 2-1 (3)原式=(3x-2)(4x+1) 3 -2 41 (4)原式=-(x2-11x+18)=-(x-2)(x-9) 1 -2 1-9 (5)原式=(x-y)(x-2y) 1 一2 11 115初、高中基础知识衔接 第一篇 第3节 乘法公式与因式分解 衔接目标 立方和、立方差公式在初中不作要求，而在高中的化简、运算中经常用到，通过本节 的学习要记住这些公式并能灵活应用；利用添项、拆项等方法分解因式在初中也不作要 求，而在高中也经常用到. 3.分组分解法 课前预习导引 (1)定义：把多项式分成几组来分解因式的 一、知识链接 方法叫做分组分解法。 (一)乘法公式也叫简乘公式 (2)分组的标准 就是把一些特殊的多项式相乘的结果加 将多项式的项适当分组，必要时可通过 以总结，直接应用.公式中的每一个字 拆项、添项以保证分组后组与组之间能 母，可以表示数字、单项式、多项式或根 提公因式或运用公式 式、分式等 (3)分组的方法 1.平方差公式：(a十b)(a-b)=a2-b; 四项或四项以上的多项式的因式分解一般 2.完全平方公式：(a士b)2=a2士2ab十b; 要分组，四项多项式分组的方法有：三、一分 3.立方和公式：(a十b)(a2-ab十b2) 组和二、二分组.用三、一分组的，其特征是 =a3+b3; 其中三项（或提取“一”号后）是完全平方公 4.立方差公式：(a-b)(a2+ab十b2) 式，另一项也是某整式的平方，可以用平方 =a3-b3. 差公式继续分解，先观察能否用三、一分组， (二)因式分解的一些基本方法 若不能，则进行二、二分组，对于二、二分组 1.提公因式法 要注意公式的应用和分组方法的不唯一 一般地，如果多项式的各项有公因式，可 二、化解疑难 以把这个公因式提到括号外面，将多项 1.因式分解是整式乘法的逆变形，所以可 式写成因式乘积的形式，这种分解因式 以利用整式乘法来分解因式或检验因式 的方法叫做提公因式法.具体方法：当各 分解的结果是否正确 项系数都是整数时，公因式的系数应取 2.因式分解的过程是代数式的恒等变形， 各项系数的最大公约数；字母取各项的 不要与解方程或解不等式的同解变形相 相同的字母，且各字母的指数取次数最 混淆.如：x2-2x2+2x=x2-8x2+2x 低的；取相同的多项式，且多项式的次数 =x(x一8x+2)就不是恒等变形，这种 取最低的， 做法是将原多项式扩大到原来的4倍： 2.公式法 如果把乘法公式反过来用，就可以用来 正确的解法应是x-2x2+2x 把某些多项式分解因式.常用公式有： 平方差公式：a2-b2=(a十b)(a-b); (x-8x2+2x)=x(x2-8x+2). 完全平方公式：a2士2ab+b2=(a士b)2; 3.在提取公因式时，若首项系数为负数，一 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2; 般先要提出“一”号，但注意此时括号内 立方和（差）公式：a3土b3=(a土b)(a2干 各项应变号；不能漏项，提出公因式后， ab-+b2). 每一项都有剩余部分，它们的项数与原 >>[9☐| 衔接教材一本通 数学 多项式的项数相同；当多项式的某项与 类型二利用立方和（或差）公式计算可 公因式相同时，被全部提出后，剩下的多 例2计算：(1)(2a+b)(4a2-2ab+b); 项式应在相应的位置上补“1”，如am十 bm+m=m(a+b+1);提取公因式后，剩 (2a-26〔25a2+0+8a)月 下的多项式需要整理成最简形式；应提 (3)(5-2x)(4x2+25+10x). 取最大公因式，分解要彻底， [思路分析](1)将式子中的4a2看成是 4.熟记公式特征是关键，要注意公式间的 (2a)2,符合立方和公式，进行化简计算； 特征比较 不要犯a2+b2=(a±b)2,-a2-b2= (2)将式子中的25a2+6+3a6接a 一(a±b)2这样的错误， 的降幂调整顺序，然后把25a2与b分 课堂典例探究 别看成是5a与26的平方，运用立方差 心类型一利用平方差、完全平方公式计算☑ 公式计算；(3)将4x2与25分别看成是 例1化简：(1)(a十2b)(a-2b)-(a-2b)2; 2x与5的平方，然后按照x的升幂调整 (2)(x-3)2-(x十2)(x-2). 4x2+25+10x的顺序，运用立方差公式 [解](1)原式=a2-4b2-(a2-4ab+ 4b2)=a2-4b-a2+4ab 计算 -462 [解](1)(2a+b)(4a2-2ab+b2) =4ab-8b2 (2)原式=x2-6x+9-(x2一4)=x2 =8a3+b3 6x+9-x2+4=-6x+13. 2(5a-6)25++6 规律方法应用完全平方公式和平方 差公式时，要先观察题目特点是否符合公 =(5a)-(26-125a2- 式的结构特征.若不符合，应先变形为符 (3)(5-2x)(4x2+25+10x) 合公式的形式，再利用公式进行计算；若 =53-(2x)3=125-8x3. 不能变形为符合公式的结构形式，则应运 规律方法 解题时一定要仔细观察算 用多项式乘多项式法则进行计算， 式是否符合公式的特点，若不符合公式 [变式训练] 的特点，则用多项式的乘法法则进行 1.利用图形中面积的等量关系可以得到某 计算 些数学公式.例如，根据图甲，我们可以 [变式训练] 得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+ 2.计算：(1)(3+2y)(9-6y+4y2); 2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式 (2)(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1). 是怎样的？写出得到公式的过程」 +a+6 甲 10 初、高中基础知识衔接 第一篇 心类型三。-_提取公因式法分解因式☒ [变式训练] 例3阅读下列因式分解的过程，再回答所 3.分解因式： 提出的问题： (1)-4ab-8b2+10b; 1+x+x(x+1)+x(x+1) (2)2(n-m)2-m(m-n); =(1+x)[1+x+x(x+1)] (3)15y(a-b)2-3y(b-a). =(1+x)2(1+x)=(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是 ,共 应用了 次. (2)若分解1+x+x(x十1)+x(x+1)2+… 十x(x十1)2，则需应用上述方法 次，结果是 (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+ 1)2+…+x(x十1)”(n为正整数). [解析](1)上述分解因式的方法是：提 公因式法，共应用了2次」 (2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x十1)2025， =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+ 类型四。用分组分解法分解因式☑ 1)20247 [例4分解因式：x-x3十x-1. =(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(x十 1)2023]=… [思路分析]这是一个四项式，无法直 =(1+x)2025(1+x)=(1十x)2026, 接提取公因式，因此要先进行分组，此题 可把x4一x3和x一1分别看成一组，此时 故分解1+x+x(x+1)+x(x十1)2+… 四项式变成二项式，提取公因式后，再进 十x(x十1)225，则需应用上述方法2025次， 结果是：(x十1)2026. 一步分解；此题也可把x十x,一x3-1 分别看作一组. (3)分解因式：1+x+x(x+1)十x(x+ [解]解法一：原式=(x-x3)十(x-1) 1)2+…+x(x十1)”(n为正整数)的结果 =x3(x-1)+(x-1)=(x3+1)(x-1) 是：(x十1)+1 =(x+1)(x-1)(x2-x+1); [答案](1)提公因式，两次(2)2025次 (x+1)262s(3)(z十1)+1 解法二：原式=(x4+x)-(x3+1) =x(x3+1)-(x3+1) 规律方法1.如果多项式的各项含有 =(x-1)(x3+1) 公因式，那么就可以把这个公因式提到 =(x-1)(x+1)(x2-x+1). 括号外面，把多项式转化成公因式与另 规律方法分组分解法的原则是分组 一个多项式的积的形，这种因式分解的 后可以直接提取公因式，或者可以直接 方法叫做提公因式法， 运用公式.使用这种方法的关键在于适 2.提公因式的步骤： 当分组，而在分组时，必须有预见性，能 (1)确定公因式(2)提出公因式并确定 预见到下一步能继续分解.而“预见”源 另一个因式（依据多项式除以单项式） 于细致的“观察”，分析多项式的特点 >>>>>>11 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 3.下列因式分解中，结果正确的是() 4.分解因式：(1)x2-xy十3y-3x; A.x2-4=(x+2)(x-2) (2)2x2+xy-y2-4x+5y-6. B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3) C.2m2n-8n3=2n(m2-4n2) D.2-+=1-士+） 4.下列多项式乘法中可以用平方差公式计 算的是 A(3+儿-3 B.(x+2)(2+x) ☑课堂达标 C.(-a+b)(a-b) 1.下列运算正确的是 ( D.(x-2)(x+1) A.(a-b)2=a2-b 二、填空题 B.(a-b)3=a3-b3 5.在实数范围内分解因式：xy2-3x= C.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) D.a3+b3=(a+b)(a2+ab+b2) 6.已知a2-a-1=0,则a3-a2-a十2026 2.(x+2)(x一2)(x2+4)的计算结果是 之 ( 三、解答题 A.x4+16 B.-x4-16 7.计算： C.x4-16 D.16-x4 3.下列因式分解正确的是 ( afgm+2jga-bm+*月 A.x2-4=(x十4)(x-4) (2)(a+2)(a-2)(a+4a2+16) B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.3mx-6my-3m(x-6y) D.2x十4=2(x+2) 4.分解因式：2a3b一8ab= 课后检测评价 一、选择题 1.下列分解因式正确的是 8.已知x+y+2xy2-2x2-2y2-15=0,求 Am-8m2+64=(m2-8)2 x2+y2的值. B.x4-y=(x2十y2)(x2-y2) C.4a2-4a+1=(2a-1)2 D.a(x-y)-b(y-x)=(x-y)(a-b) 2.下列变形属于因式分解的是() A.4x+x=5x B.(x+2)2=x2+4x十4 C.x2+x+1=x(x+1)+1 D.x2-3x=x(x-3) 12☐《<