6.4.3.2 正弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 6.4.3.2 正弦定理 【学习目标】 1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题. 1. 通过从特殊到一般的探究过程，发现正弦定理，培养探索精神和创新意识，体会数学的对称美. 1. 会用正弦定理解三角形（已知两角及一边；已知两边及其中一边的对角）. 【学习重点】 1. 正弦定理的两种形式： · （ 为外接圆半径）. 2. 用正弦定理解三角形： · 已知两角及一边（AAS，ASA） · 已知两边及其中一边的对角（SSA，可能有两解） 【学习难点】 1. 正弦定理的证明（向量法、外接圆法）. 2. 已知两边及其中一边的对角时，解的个数的判断. 学习任务一 正弦定理的发现与证明 【合作探究】 1. 问题引入： · 在 中，已知两角及一边（如 ， 和边 ），如何求其他元素？ · 在初中，我们学过“大边对大角”，但这只是定性关系.我们需要定量关系. · 观察直角三角形：（斜边）. · 对于锐角或钝角三角形，是否也有类似的比例关系？ 1. 猜想与证明： (1) 向量法：作高，或在三角形中构造与边垂直的单位向量，通过数量积推导. (2) 外接圆法：作 的外接圆，直径 ，利用圆周角定理得 等. · 结论：（ 为外接圆半径）. · 这就是正弦定理. 1. 思考： (1) 正弦定理能否用于任意三角形？ · （可以，包括直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.） (2) 在直角三角形中，正弦定理的形式是什么？ · （，，与勾股定理一致.） 【自主梳理】 1. 正弦定理： · ，其中 为三角形外接圆半径. 1. 变形形式： (1) ，，. (2) ，，. (3) . 学习任务二 正弦定理的应用 【合作探究】 1. 例1（AAS）： · 在 中，已知 ，，，求 . · 解：由正弦定理 ，得 . 1. 例2（SSA，两解情形）： · 在 中，，，，求 . · 解：由 ，得 . · 所以 或 ，且均符合 ，故有两解. · 若 时，有两解；若 时，一解；若 或 时，可能一解或无解（需具体分析）. 1. 例3（判断三角形形状）： · 在 中，若 ，判断形状. · 解：由正弦定理，，，代入得 ，即 . · 所以 或 ，即 或 ，故为等腰三角形或直角三角形. 【自主梳理】 正弦定理解三角形类型： · 已知两角及一边（AAS 或 ASA）：可直接求另一边和其余角（用三角形内角和求第三角）. · 已知两边及其中一边的对角（SSA）：可能有一解、两解或无解，需结合 与 的关系判断. 解的判断（已知 ，，）： 1. 求 . 1. 若 ，无解. 1. 若 ，，一解. 1. 若 ： (1) 若 ，则 为锐角，一解. (2) 若 ，则可能有两解（ 为锐角或钝角，且 ）. 学习任务三 正弦定理的变式与综合应用 【合作探究】 1. 变式应用： · 在 中，，判断三角形形状. · 解：由正弦定理， 等，得 ，故 为钝角，三角形为钝角三角形. 1. 综合练习： · 在 中，，，，求 的值. · 解：由正弦定理，，，，所以原式 . 1. 实际应用： · 某观测站 在 的南偏西 方向， 在 的南偏东 方向，且 km， km，求 的距离. · 解：，在 中，已知 ，，，用余弦定理求 ： · . · 也可用正弦定理结合三角形内角和先求角 或 ，再求边. 【自主梳理】 1. 正弦定理与余弦定理结合使用：已知两边及夹角用余弦；已知两角及一边用正弦. 2. 边角互化是解题关键：，. 3. 涉及外接圆半径时，常用 . 【自查自纠】（正误判断） 1. 在 中， 恒成立. （ ） 1. 已知两边及其中一边的对角，三角形一定有一解. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 正弦定理可以解决所有已知两角一边的问题. （ ） 1. 正弦定理中的 是三角形外接圆直径. （ ） 答案：1.√（由正弦定理） 2.× 3.×（可能互补） 4.√ 5.×（是直径，但 为直径长度） 【典例分析】 例1：在 中，已知 ，，，求 . 解：由正弦定理 ，得 . 例2：在 中，，，，求 . 解：，所以 或 . 当 时，；当 时，，均符合，故有两解. 例3：在 中，，判断形状. 解：由正弦定理，，同理 ，，所以 ，故 ，为等边三角形. 【习题巩固】 1. 在 中，，，，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在 中，，，，则 等于（ ） · A.  B.  C. 或  D. 1. 在 中，，则最大角的余弦值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在 中，若 ，，，则 ______. 1. （选做）在 中，，， 分别为角 ，， 的对边，且 ，判断三角形的形状. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（，选C. 1. A（， 或 ，但 且 ，，所以 ，只有 ，故A） 1. B（设三边 ，最大角为 ，） 1. （） 1. 解：由正弦定理 ，，代入得 ，即 ，所以 ，故为等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $