1.导学案 16 第6章 6.4.3 第2课时 正弦定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　正弦定理 【学习目标】 1.能借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.(逻辑推理、数学运算) 2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数.(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主导学 一、正弦定理 条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c 结论 == 文字 叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 二、正弦定理的变形 正弦定理拓展:===2R. (R是△ABC的外接圆半径) 边化角 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 角化边 sin A=,sin B=,sin C= 【思考】 在△ABC中,==,那么这个比值有什么特殊的含义吗? 提示:如图,无论怎么移动B',都会有B'=B. 所以在△AB'C中,==c, c是Rt△ABC,△AB'C外接圆的直径, 所以对任意△ABC,均有===2R(R为△ABC外接圆的半径). 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形和钝角三角形,不适用于直角三角形. (×) 提示:正弦定理适用于任意三角形,故错误. (2)在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. (√) 提示:在△ABC中,a>b⇔A>B⇔> ⇔sin A>sin B. (3)在△ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B. (√) (4)在△ABC中,若a=6,b=6,A=30°,则B=60°. (×) 提示:由正弦定理得=,即=,所以sin B=,因为b>a,所以B=60°或B=120°. 关键能力·师生共研 类型1已知两角及一边解三角形(数学运算) 【典例1】(1)(2025·商丘高一检测)在△ABC中,A=60°,C=75°,AC=,则BC= (　　) A.　 B.　 C.　 D.2 【解析】选C.由A=60°,C=75°,得B=45°,由正弦定理得=, 所以BC==. (2)(2025·北海高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,cos B=,b=2,则a= (　　) A.　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选A.因为cos B=,B∈(0,π), 所以sin B>0, 所以sin B===, 由正弦定理得=, 所以a=2×=. 【总结升华】 已知两角一边解三角形的步骤 (1)根据三角形内角和等于180°求第三角; (2)利用已知边及正弦定理求另外两边. 【即学即练】 1.在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为 (　　) A.3　 B.4　 C.3+　 D.5 【解析】选C.由三角形内角和为180°,知∠C=105°,则sin C=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=+, 由正弦定理可知=,代入解得AB=3+. 2.(2025·常州高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,tan B=,a=,则b= (　　) A.2　 B.　 C.3　 D. 【解析】选A.由tan B=,可得=,又sin2B+cos2B=1, 所以(cos B)2+cos2B=1,解得cos B=±, 因为tan B=>0,0<B<π,所以0<B<, 所以cos B=,sin B=cos B=, 由正弦定理可得=,所以=,解得b=2. 类型2已知两边及一边的对角解三角形(数学运算) 【典例2】(一题多变)[母题] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 【解析】因为=,所以sin C===, 因为0°<C<180°,c>a,所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. 所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. [变式]若把母题中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值? 【解析】因为=,所以sin A===. 因为c=>2=a,所以C>A. 所以A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个. 【总结升华】 1.已知两边及一边的对角解三角形的步骤 2.已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见表: 项目 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 【即学即练】 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=2,B=60°,则cos C= (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选A.由正弦定理可得=,故sin C=, 因为b>c,所以B>C,故C为锐角,故cos C=. 2.(2025·洛阳高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足下列条件的△ABC有两解的是 (　　) A.a=2,b=3,C=60° B.a=1,b=2,A=45° C.a=6,b=8,A=40° D.a=2,b=3,c∈Z 【解析】选C.对于A:已知两边及夹角,由三角形全等可知△ABC只有一解,故A错误; 对于B:由正弦定理=可得sin B===>1,所以△ABC无解,故B错误; 对于C:由正弦定理=可得sin B==sin 40°<=<1, 且a<b,则A<B,可知角B有两解,所以△ABC有两解,故C正确; 对于D:因为a=2,b=3,故c满足|3-2|<c<3+2,即1<c<5,整数解为c=2,3或4,不符合两解,故D错误. 类型3利用正弦定理判定三角形的形状(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)(2025·盐城高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=a,则△ABC一定是 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 【解析】选A.由acos B+bcos A=a,利用正弦定理,sin Acos B+cos Asin B=sin A, 即sin(A+B)=sin C=sin A,因为0<A<π,0<C<π,则A=C或C=π-A(不合题意舍去), 故△ABC一定是等腰三角形. (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos2=b(1-cos A)+a,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】选D.化简得:a(1+cos C)=b(1-cos A)+a⇒acos C+bcos A=b, 由正弦定理得sin Acos C+sin Bcos A=sin B,因为sin B=sin(A+C), 所以sin Acos C+sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即cos A(sin B-sin C)=0,所以cos A=0或sin B=sin C,所以A=或B=C或B+C=π(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系,通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解. 【即学即练】 1.在△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选D.由3b=2asin B,得=,根据正弦定理,得=,所以=,即sin A=.又角A是锐角,所以A=60°. 又cos B=cos C,且B,C都为三角形的内角, 所以B=C.故△ABC为等边三角形. 2.(2025·马鞍山高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos A+acos B=csin C,则△ABC为 (　　) A.等腰三角形　 B.等边三角形 C.直角三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选C.由正弦定理得sin Bcos A+sin Acos B=sin2C,其中sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin C=sin2C, 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,故sin C=1,则C=,故△ABC为直角三角形. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 第2课时　正弦定理 内容概览 【学习目标】 1.能借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.(逻辑推理、数学运算) 2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数.(逻辑推理、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、正弦定理 条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c 结论 == 文字 叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等 正弦 返回 二、正弦定理的变形 正弦定理拓展:===2R. (R是△ABC的外接圆半径) 边化角 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 角化边 sin A=,sin B=,sin C= 返回 【思考】 在△ABC中,==,那么这个比值有什么特殊的含义吗? 提示:如图,无论怎么移动B',都会有B'=B. 所以在△AB'C中,==c, c是Rt△ABC,△AB'C外接圆的直径, 所以对任意△ABC,均有===2R(R为△ABC外接圆的半径). 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形和钝角三角形,不适用于直角三角形.( ) 提示:正弦定理适用于任意三角形,故错误. (2)在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sin A>sin B.( ) 提示:在△ABC中,a>b⇔A>B⇔> ⇔sin A>sin B. (3)在△ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B.( ) (4)在△ABC中,若a=6,b=6,A=30°,则B=60°.( ) 提示:由正弦定理得=,即=,所以sin B=,因为b>a,所以B=60°或B=120°. × √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1已知两角及一边解三角形(数学运算) 【典例1】(1)(2025·商丘高一检测)在△ABC中,A=60°,C=75°,AC=,则BC=(　　) A.　 B.　 C.　 D.2 【解析】选C.由A=60°,C=75°,得B=45°,由正弦定理得=, 所以BC==. √ 返回 (2)(2025·北海高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,cos B=,b=2,则a=(　　) A.　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选A.因为cos B=,B∈(0,π), 所以sin B>0, 所以sin B===, 由正弦定理得=, 所以a=2×=. √ 返回 【总结升华】 已知两角一边解三角形的步骤 (1)根据三角形内角和等于180°求第三角; (2)利用已知边及正弦定理求另外两边. 返回 【即学即练】 1.在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为(　　) A.3　 B.4 　 C.3+　 D.5 【解析】选C.由三角形内角和为180°,知∠C=105°, 则sin C=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=+, 由正弦定理可知=,代入解得AB=3+. √ 返回 2.(2025·常州高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,tan B=,a=,则b=(　　) A.2　 B.　 C.3　 D. 【解析】选A.由tan B=,可得=,又sin2B+cos2B=1, 所以(cos B)2+cos2B=1,解得cos B=±, 因为tan B=>0,0<B<π,所以0<B<, 所以cos B=,sin B=cos B=, 由正弦定理可得=,所以=,解得b=2. √ 返回 类型2 已知两边及一边的对角解三角形(数学运算) 【典例2】(一题多变)[母题] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 【解析】因为=,所以sin C===, 因为0°<C<180°,c>a,所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. 所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 返回 [变式]若把母题中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值? 【解析】因为=,所以sin A===. 因为c=>2=a,所以C>A. 所以A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个. 返回 【总结升华】 1.已知两边及一边的对角解三角形的步骤 返回 2.已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见表: 项目 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 返回 【即学即练】 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=2,B=60°,则cos C=(　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选A.由正弦定理可得=,故sin C=, 因为b>c,所以B>C,故C为锐角,故cos C=. √ 返回 2.(2025·洛阳高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足下列条件的△ABC有两解的是 (　　) A.a=2,b=3,C=60° B.a=1,b=2,A=45° C.a=6,b=8,A=40° D.a=2,b=3,c∈Z 【解析】选C.对于A:已知两边及夹角,由三角形全等可知△ABC只有一解,故A错误; 对于B:由正弦定理=可得sin B===>1,所以△ABC无解,故B错误; 对于C:由正弦定理=可得sin B==sin 40°<=<1, 且a<b,则A<B,可知角B有两解,所以△ABC有两解,故C正确; 对于D:因为a=2,b=3,故c满足|3-2|<c<3+2,即1<c<5,整数解为c=2,3或4,不符合两解,故D错误. √ 返回 类型3 利用正弦定理判定三角形的形状(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)(2025·盐城高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=a,则△ABC一定是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 【解析】选A.由acos B+bcos A=a,利用正弦定理,sin Acos B+cos Asin B=sin A, 即sin(A+B)=sin C=sin A,因为0<A<π,0<C<π,则A=C或C=π-A(不合题意舍去), 故△ABC一定是等腰三角形. √ 返回 (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos2=b(1-cos A)+a,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】选D.化简得:a(1+cos C)=b(1-cos A)+a⇒acos C+bcos A=b, 由正弦定理得sin Acos C+sin Bcos A=sin B,因为sin B=sin(A+C), 所以sin Acos C+sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即cos A(sin B-sin C)=0,所以cos A=0或sin B=sin C,所以A=或B=C或B+C=π(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. √ 返回 【总结升华】 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系,通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解. 返回 【即学即练】 1.在△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选D.由3b=2asin B,得=,根据正弦定理,得=,所以=,即sin A=.又角A是锐角,所以A=60°. 又cos B=cos C,且B,C都为三角形的内角, 所以B=C.故△ABC为等边三角形. √ 返回 2.(2025·马鞍山高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos A+acos B=csin C,则△ABC为 (　　) A.等腰三角形　 B.等边三角形 C.直角三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选C.由正弦定理得sin Bcos A+sin Acos B=sin2C,其中sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin C=sin2C, 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,故sin C=1,则C=,故△ABC为直角三角形. √ 返回 $