6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例 【学习目标】 1. 会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 1. 培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 1. 体会数学建模的一般步骤：实际问题 → 抽象概括 → 建立数学模型 → 推理演算 → 还原说明. 【学习重点】 1. 建立三角形模型，利用正、余弦定理求解距离、高度、角度等实际问题. 2. 理解仰角、俯角、方向角、方位角等概念. 【学习难点】 1. 根据实际问题画出正确的示意图，选择合适的三角形模型. 2. 多三角形问题的综合求解. 学习任务一 测量距离问题 【合作探究】 1. 问题引入： · 如何测量河对岸两点之间的距离？例如，在河的一侧选取两个可到达的点 ，，测得 的长度，以及 ，，，，求河对岸 ， 两点间的距离. · 这种问题通常需要构造两个或更多个三角形，分别利用正、余弦定理求解. 1. 典型模型： (1) 题目：设 ， 为河岸上可到达的两点，， 为对岸不可到达的两点.测得 ，，，，. (2) 步骤： · ① 在 中，已知 ，，，可求 （利用正弦定理）. · ② 在 中，已知 ，，，可求 . · ③ 在 中，已知 ，，，用余弦定理求 . 1. 例题（教材有）： · 为了测量河对岸 ， 两点间的距离，在河岸一侧取 ，，测得 m，，，，.求 . · 解： (1) 在 中，， · ，，有理化可简化，此处略. (2) 类似求 ，再在 中用余弦定理. 【自主梳理】 1. 测量距离的一般方法： · 当两点不可到达时，常构造两个可到达点与目标点组成三角形，通过解三角形求出距离. 1. 常用的几何量：边长、角度，已知两角一边用正弦定理，已知两边及夹角用余弦定理. 学习任务二 测量高度问题 【合作探究】 1. 仰角与俯角： 1. 仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角. 2. 俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角. · 常用于测量建筑物的高度. 1. 典型问题： · 测量底部不可到达的建筑物高度.例如，在点 测得建筑物顶端 的仰角为 ，向前走一段距离到 ，测得仰角为 ，已知 ，求 （ 为建筑物底部在地面的投影）. · 解法：设 ，，则 ，，联立解得 . · 也可用正弦定理：在 中，已知 （或补角），，可解. 1. 例题： · 从地面 处测得塔顶 的仰角为 ，向塔前进 m 到 ，测得仰角为 ，求塔高 . · 解：设 ，，则 ，. · 由 代入第一式：，整理得 ，，， · m. 【自主梳理】 测量高度常用方法： · 若底部可到达，直接测仰角和距离，用正切. · 若底部不可到达，通过两个观测点构造三角形，用正弦定理或解直角三角形. 学习任务三 测量角度问题 【合作探究】 1. 方向角与方位角： (1) 方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 的角. (2) 方位角：从某点的指北方向线顺时针到目标方向线的水平夹角，范围为 到 . 1. 典型问题： · 船在海上航行，已知初始位置和速度方向，求会合时间或距离.此类问题通常将速度向量合成，或用正余弦定理解三角形. 1. 例题： · 某舰艇在 处测得灯塔 在北偏东 方向，舰艇以每小时 海里的速度向正东方向航行 小时后到达 ，此时测得灯塔 在北偏东 方向.求灯塔 到 的距离. · 解：由题意，，，所以 . · 在 中， 海里，， 海里. 【自主梳理】 · 方向角注意以正北或正南为基准. · 方位角从正北顺时针量. · 常用正弦定理、余弦定理结合方位角解三角形. 【自查自纠】（正误判断） 1. 仰角和俯角都是视线与水平线的夹角. （ ） 1. 方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线的角度. （ ） 1. 测量底部不可到达的建筑物的高度，至少需要两个观测点. （ ） 1. 在测量距离时，若两个点都不可到达，则无法测量. （ ） 1. 应用正余弦定理解实际问题的关键是建立正确的三角形模型. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.√ 4.×（可构造多个三角形） 5.√ 【典例分析】 例1（测量高度）：从山顶 测得山下两点 ， 的俯角分别为 和 ，且 ， 与山脚 共线， m，求山高 . 解：设 ，，则 . ，，所以 ，代入得 ，解得 m. 故山高 m. 例2（测量距离）：某船在海面上 处，测得灯塔 在北偏东 ，船向正东航行 海里到达 ，测得灯塔 在北偏东 ，求灯塔 到 的距离. 解：由方位角，，，所以 . 在 中， 海里， 海里. 【习题巩固】 1. 从地面上 ， 两点测得山顶 的仰角分别为 和 ，且 ， 与山脚 共线， m，则山高 为（ ） · A. m B. m C. m D. m 1. 一只船向正北航行，在 处测得灯塔 在北偏东 ，前进 海里到 ，测得灯塔 在北偏东 ，则灯塔 到 的距离是（ ） · A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 1. 为了测量河对岸 ， 两点间的距离，在河岸一侧取 ，，测得 m，，，，，则 的长度为（ ） · A. m B. m C. m D. m 1. 某人在 处测得建筑物顶部 的仰角为 ，向建筑物前进 m 到达 ，测得仰角为 ，则建筑物的高度为______ m（保留根号）. 1. （选做）某海轮以 海里/小时的速度向正东航行，在 处测得灯塔 在北偏东 ， 小时后到 ，测得灯塔 在北偏东 ，求灯塔 到 的距离. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（设 ，则 ，，，） 1. B（同典例2，） 1. 计算略，选项待定.需具体计算：在 中，，；在 中，，，化简得 ？再在 中用余弦定理：，，简化后可能得到 .故选 A. 1. （设高 ，，即 ，） 1. 解：，，所以 ， 海里，由正弦定理 ，得 海里. 学科网（北京）股份有限公司 $