6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
- 培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
- 体会数学建模的一般步骤：实际问题 → 抽象概括 → 建立数学模型 → 推理演算 → 还原说明.
- 建立三角形模型，利用正、余弦定理求解距离、高度、角度等实际问题.
- 理解仰角、俯角、方向角、方位角等概念.
- 根据实际问题画出正确的示意图，选择合适的三角形模型.
- 多三角形问题的综合求解.
- 问题引入：
如何测量河对岸两点之间的距离？例如，在河的一侧选取两个可到达的点 
，
，测得 
的长度，以及 
，
，
，
，求河对岸 
，
两点间的距离.
这种问题通常需要构造两个或更多个三角形，分别利用正、余弦定理求解.
- 典型模型：
(1) 题目：设 ， 为河岸上可到达的两点，， 为对岸不可到达的两点.测得 
，
，
，
，
.
(2) 步骤：
① 在 
中，已知 ，，，可求 
（利用正弦定理）.
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② 在 
中，已知 ，
，，可求 
.
③ 在 
中，已知 ，，，用余弦定理求 
.
- 例题（教材有）：
为了测量河对岸 ， 两点间的距离，在河岸一侧取 ，，测得 
m，
，
，
，
.求 .
解：
(1) 在 中，
，
，
，有理化可简化，此处略.
(2) 类似求 ，再在 中用余弦定理.
- 测量距离的一般方法：
当两点不可到达时，常构造两个可到达点与目标点组成三角形，通过解三角形求出距离.
- 常用的几何量：边长、角度，已知两角一边用正弦定理，已知两边及夹角用余弦定理.
- 仰角与俯角：
- 仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角.
- 俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角.
常用于测量建筑物的高度.
- 典型问题：
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测量底部不可到达的建筑物高度.例如，在点 测得建筑物顶端 的仰角为 
，向前走一段距离到 ，测得仰角为 
，已知 
，求 （ 为建筑物底部在地面的投影）.
解法：设 
，
，则 
，
，联立解得 
.
也可用正弦定理：在 中，已知 
（或补角），，可解.
- 例题：
从地面 处测得塔顶 的仰角为 
，向塔前进 
m 到 ，测得仰角为 
，求塔高 .
解：设 ，，则 
，
.
由 
代入第一式：
，整理得 
，
，
，
m.
测量高度常用方法：
- 若底部可到达，直接测仰角和距离，用正切.
- 若底部不可到达，通过两个观测点构造三角形，用正弦定理或解直角三角形.
- 方向角与方位角：
(1) 方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 
的角.
(2) 方位角：从某点的指北方向线顺时针到目标方向线的水平夹角，范围为 
到 
.
- 典型问题：
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