6.4.3.1 余弦定理（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 6.4.3.1 余弦定理 【学习目标】 1. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 1. 学会用余弦定理解决三类基本的解三角形问题（已知两边及夹角求第三边；已知三边求角；已知两边及其中一边的对角求另一角或边）. 1. 培养在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，理解事物间的普遍联系与辩证统一. 【学习重点】 1. 余弦定理的两种形式： · ，，. · 推论：，等. 2. 用余弦定理解三角形（SAS，SSS）. 【学习难点】 1. 余弦定理的向量证明方法. 2. 已知两边及其中一边的对角时，解的个数的判断（后续学习）. 学习任务一 余弦定理的发现与证明 【合作探究】 1. 问题引入： · 在 中，已知两边 ， 及夹角 ，如何用 ，， 表示第三边 ？ · 我们可以用向量的方法：设 ，，则 . · . · 因此 . · 同理可得 ，. · 这就是余弦定理. 1. 思考： 1. 若 是直角三角形，，则 ，余弦定理变成什么形式？ · （，即勾股定理.） 2. 余弦定理可以解决三角形的哪些问题？ · （已知两边及其夹角求第三边；已知三边求角.） 1. 尝试用坐标法证明： · 以 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，则 ，，计算 即可. 【自主梳理】 1. 余弦定理（边长形式）： · ，，. 1. 余弦定理的推论（角的形式）： · ，，. 1. 适用范围： (1) 已知两边及夹角（SAS），求第三边. (2) 已知三边（SSS），求角. (3) 已知两边及其中一边的对角（SSA）也可用，但可能有两解，后续再讨论. 学习任务二 余弦定理的初步应用 【合作探究】 1. 例1（SAS）： · 在 中，已知 ，，，求 . · 解：，所以 . 1. 例2（SSS）： · 在 中，已知 ，，，求角 . · 解：，所以 . 1. 例3（变形应用）： · 在 中，，求 . · 解：由余弦定理推论，，所以 . 1. 即时训练： · (1) 在 中，，，，求 . · (2) 在 中，，，，求 . 【自主梳理】 利用余弦定理解三角形的步骤： 1. 如果已知两边及其夹角，直接用 求第三边. 2. 如果已知三边，用 求角. 3. 注意：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（）. 学习任务三 综合应用（判断三角形形状） 【合作探究】 1. 例4：在 中，若 ，则 是什么三角形？ · 解：由 ，得 ，故为钝角三角形. · 类似地， 时，； 时，. 1. 例5：在 中，，判断三角形形状. · 解：由余弦定理，，化简得 ，即 ，恒成立，故该条件为恒等式，不能判定形状. · （注意：该结论其实是三角形中的射影定理，适用于任意三角形.） 【自主梳理】 利用余弦定理判断三角形形状： 1. （直角） 2. （钝角） 3. （锐角） 【自查自纠】（正误判断） 1. 在 中，若 ，则 . （ ） 1. 余弦定理只适用于直角三角形. （ ） 1. 已知三角形的两边及其夹角，第三边唯一确定. （ ） 1. 已知三角形的三边，三角形的形状唯一确定. （ ） 1. 公式 中， 是角 的对边. （ ） 答案：1.√（） 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：在 中，已知 ，，，求最大角. 解：最大边为 ，所以最大角为 . . 分子提取 ：. 分子分母同乘 ？或直接计算：，数值较繁.实际上，注意到 ，，，最大边是 ？不对，比较：，，，所以最大边是 ，最大角为 . . 进一步化简：，所以 ，故 . 例2：在 中，，，，求最大角的余弦值. 解：最大边为 ，. 【习题巩固】 1. 在 中，若 ，则角 的大小为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在 中，已知 ，，，则 的值为（ ） · A. 4 B. 2 C.  D. 1. 在 中，，则最大角为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在 中，，，，则 ______. 1. （选做）在 中，，求最大角的余弦值. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（，） 1. A（由 得 ，即 ，，解得 或 （舍）） 1. B（设三边为 ，最大角对边 ，，） 1. （，） 1. 解：由正弦定理，，设 ，，，最大角为 ，. 学科网（北京）股份有限公司 $