10.3 随机事件的概率与古典概型 课件-2027届高考数学一轮复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第三讲　随机事件的概率与古典概型 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[64] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　随机事件的有关概念 1．随机试验——对随机现象的实现和对它的观察．常用E表示． 样本点——随机试验的每个可能的____________.常用w表示． 样本空间——全体样本点的集合，常用Ω表示． 2．随机事件——样本空间Ω的子集，简称事件，常用A，B，…表示． 基本事件——____________________的事件． 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时称为事件A发生，Ω________发生，称Ω为必然事件，∅在每次试验中都________发生，称∅为不可能事件． 基本结果 只包含一个样本点 总会 不会 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二　事件的关系与运算   定义 符号表示 包含 关系 若事件A______，则事件B__________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) __________________ 相等 关系 若B⊇A，且__________，则称事件A与事件B相等 __________ 发生 一定发生 B⊇A (或A⊆B) A⊇B A＝B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布   定义 符号表示 并事件 (和事件) 若某事件发生________________________ ______________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________________ 交事件 (积事件) 若某事件发生_________________________ ________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ______________ 当且仅当事件A与事件B至少 有一个发生 A∪B(或A＋B) 当且仅当事件A与事件B同时 发生 A∩B(或AB) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布   定义 符号表示 互斥 事件 若A∩B为__________事件，则称事件A与事件B互斥 ______________ 对立 事件 若A∩B为__________事件，A∪B为____________，则称事件A与事件B互为对立事件 _________________ __________________ 不可能 A∩B＝∅ 不可能 必然事件 且A∪B＝Ω 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点三　古典概型 1．概率——对随机事件发生可能性大小的度量(数值)． 2．具有以下两个特征的试验称为古典试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点______________. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性________. 只有有限个 相等 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)P(Ω)＝______，P(∅)＝______. (3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝___________.P(AB)＝ ______. (4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝_____________. (5)如果A⊆B，那么P(A)______P(B)． (6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)． 1 0 P(A)＋P(B) 0 1－P(B) ≤ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点四　频率与概率 在任何确定次数的随机试验中，随机事件A发生的频率具有随机性．随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，可用频率fn(A)估计概率P(A)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 归 纳 拓 展 1．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数． 2．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 3．求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数常用两个计数原理及排列、组合知识，另外还有列举法、列表法、树状图法等． 4．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　) (3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (5)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二　走进教材 2．(必修2P235例8)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三　走向考场 3．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点突破 · 互动探究 返回导航 随机事件的关系——自主练透 1．(多选题)(2025·湖北部分学校开学考)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1—8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则(　　) A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AB [解析]　由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，事件A表示{1,3,5,7}，事件B表示{2,4,6,8}，事件C表示{6,7,8}，事件D表示{1,2,3,4}，所以A∩C＝{7}≠∅，A∪B＝Ω且A∩B＝∅，B∩C＝{6,8}≠∅，C∩D＝∅且C∪D＝{1,2,3,4,6,7,8}⊆Ω，所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立，故A、B正确，C、D错误．故选AB. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·浙江温州三模)设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P(A)＋P(B)＝1”是“事件A，B互为对立事件”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　因为P(A)>0，P(B)>0，所以若事件A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，但P(A)＋P(B)＝1推不出两个事件A，B对立，如掷一颗骰子，事件A为出现1点、2点、3点，事件B为出现3点、4点、5点，此时P(A)＋P(B)＝1，但两个事件不对立，所以“P(A)＋P(B)＝1”是“事件A，B互为对立事件”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申]本例1中若抽奖者从中任取三个球，则事件E：“取出球的编号至少两个为偶数”的对立事件是______________________________；事件F：“取出球的编号积为奇数”与E的关系为____________；事件G：“取出球的编号至多两个小于4”与事件H：“取出球的编号至少一个大于4”互斥吗？____________. [答案]　“取出球的编号至多有一个为偶数”　互斥　不互斥 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 1．准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．判断互斥、对立事件的两种方法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 (多选题)(2026·河北沧州市质监)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动．则下列说法正确的是(　　) A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件 C．E＝C∪D D．A＝C∩E [答案]　ABC [解析]　C∩E＝C≠A，故D错误，ABC显然正确. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 古典概型——师生共研 1．(2026·重庆西北狼教育联盟开学诊断)据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·江西五市九校联考)将1个0,2个1,2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(2025·河北大数据应用调研)现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到A，B，C三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到A学校，且丙教师不能到B学校的概率为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2026·东北三省一区八校模拟)7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申]本例2中，相同数字都不相邻的概率P1＝________，相同数字不都相邻的概率P2＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，较复杂事件的基本事件数可用排列、组合知识求得，具体应用时可根据需要灵活选择． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(2025·浙江金华一中月考)奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·江西部分学校月考)甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 古典概型的综合问题——多维探究 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2　古典概型与几何交汇 1．(2025·河北唐山模拟)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申1]本例条件下能构成直角三角形的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申2]从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度3　古典概型与统计交汇 1．(多选题)(2026·重庆部分学校调研)某年级某班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2024年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在[10,12]，现在从课余使用手机总时间在[10,12]的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [引申]本例2中(1)“至少抽到1名女生”的概率为________；(2)“至多抽到1名女生”的概率为________.　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：求复杂互斥事件概率的方法 1．直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(角度1)若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(角度2)(2026·湖北荆州起点考试)在正方体的8个顶点和6个面的中心(共14个点)中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(角度3)(2026·辽宁六校协作体期中联考)已知2,4,6,8，x这5个数的标准差为2，若在－2,0,5，2x－1，x－2中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 有放回抽样与无放回抽样 1．(2026·山东日照三模)从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·广西名校模拟)甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜．甲获得3分的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： “放回”是指上一轮取到的元素，下一轮仍在其中可再次选取；“不放回”是指上一轮取到的元素，下一轮不可再次选取． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”，每次从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个小球都摸到就停止摸球． (1)若有放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为________； (2)若无放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 提能训练　练案[64] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·湖南湘西州期末)湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一个草原”，事件G＝“至多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件I＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是(　　) A．E与G是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C．F与G是互斥事件 D．G与I是互斥事件 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B [解析]　事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件F与G有可能同时发生，即都包括去其中一个草原，不是互斥事件，故C错误；事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·四川巴中诊断)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至多有1个阴数的概率为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2025·湖南八校联合质检)某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 6．(2026·江苏苏锡常镇四市调研)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 7．(2025·江苏南通质检)今年春节，《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没之逆转时空》《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影．若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 8．(2025·浙江嘉兴测试)将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3×3的正方形格子中，则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　计算可知每行、每列数字之和都为15，符合题意的填写方法有如下8种： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二、多选题 9．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”，事件B＝“第二次取到红球”，事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是(　　) A．A⊆B B．事件B与事件C是互斥事件 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 10．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在[90,100]内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从[40,50)和[90,100]内各抽1名学生，[70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 三、填空题 12．(2025·高考综合改革适应性演练)有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 13．(2025·河南驻马店部分学校模拟)某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A为甲、乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则P(A)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 14．(2026·江苏苏州期初阳光调研)在1,2,3，…，9中随机选出一个数a，在－1，－2，－3，…，－9中随机选出一个数b，则a2＋b被3整除的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 B组能力提升 1．(2026·四川成都名校联考)2025年四川省新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(2025·云南大理统测)云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动．在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2026·广西南宁二中开学考试)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，共有________种不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为________.(用数字作答) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5.(2026·辽宁辽西重点高中摸底)将五张标有1,2,3,4,5的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”(例如按1－3－5－4－2取走卡片的顺序是“和谐序”，按1－5－2－3－4取走卡片的顺序不是“和谐序”)，现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　分两种情况讨论：(1)第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片，第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片，第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片，第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为24种； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 C组拓展应用(选作) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 谢谢观看 A＝，A∩B＝∅， 设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则事件A的概率P(A)＝. (1)甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场．(　　) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　　) [答案]　 [解析]　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝. A． B． C． D． [解析]　这2名学生来自不同年级的概率为＝.故选D. A． B． C． D． [解析]　所求概率P＝＝.故选D. A． B． C． D． [解析]　当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁有1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁有1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是A＝24，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为＝.故选B. 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 集合法 ①由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. [答案]　 [解析]　从5人中任选3人，一共有C种选法．所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有C种选法；3人中有2名男生1名女生，有CC种选法．则所选3人中至多有1名女生的概率P＝＝. A． B． C． D． [解析]　将1个0,2个1,2个2随机排成一行，共有＝30种，其中，2个1不相邻的情况有·C＝18种，故所求概率为＝. A． B． C． D． [解析]　6名教师选出3人分别到A，B，C三所学校的方法共有A＝120种．甲、乙2名教师不能到A学校，且丙教师不能到B学校的情况有A＋CCC＝68种，所以所求概率P＝＝.故选D. A． B． C． D． [解析]　根据题意，不同的分组方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三种；当分组为4,1,1,1时，共有＝35种，其中甲乙同组且丙丁同组有1种；当分组为3,2,1,1时，共有＝210种，其中甲乙同组且丙丁同组有CC＝6种；当分组为2,2,2,1时，共有＝105种，其中甲乙同组且丙丁同组有＝3种；所以甲乙同组且丙丁同组的概率为＝＝.故选A． [答案]　　 [解析]　只有2个2相邻有AC＝6(种)，只有2个1相邻有AC＝6(种)，2个2相邻且2个1相邻有A＝6(种)，故相同数字都不相邻共有30－18＝12(种)，所以P1＝＝；相同数字都相邻的概率P＝＝，∴P2＝1－P＝. 含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P()进一步求解． A． B． C． D． [解析]　从8个点中任取3个点，共有C＝56种情况，这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上有3×C＝12种情况，则所求的概率P＝＝.故选A． A． B． C． D． [解析]　以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有A种情况，其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手的有2A种情况，所以所求概率为P＝＝.故选D. 角度1　古典概型与函数交汇 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　求导得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率为P＝＝. A． B． C． D． [解析]　如图所示，从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有C＝56种，在正方体中，满足任取3个顶点构成正三角形有8种，顶点的集合分别是{A，C，B1}，{A，C，D1}，{B，D，C1}，{B，D，A1}，{A1，C1，B}，{A1，C1，D}，{B1，D1，A}，{B1，D1，C}，所以所求概率为＝.故选A． [答案]　 [解析]　所求概率P＝＝. [答案]　 [解析]　如图，选正方体6个侧面上的4个顶点，共有6种选法；过中心O的平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，则共有6C种选法；所有可能情况有C种，所以这4个点在同一个平面的概率为＝＝，故答案为. 2．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m，第二次向上的点数记为n，曲线C：＋＝1，则曲线C的焦点在x轴上且离心率e≤的概率等于(　　) A． B． C． D． [解析]　因为离心率e≤，所以≤，解得≥，由列举法得当m＝6时，n＝5,4,3，当m＝5时，n＝4,3；当m＝4时，n＝3,2；当m＝3时，n＝2；当m＝2时，n＝1，共9种情况，故所求概率为＝.故选D. A．若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生 B．若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为 C．若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为 D．若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同 [解析]　因为抽签法是简单随机抽样，抽样是随机的，班里有30名男生，所以存在抽到9名男生的可能性，故A正确；总共有24＋30＝54名学生，采用抽签法时，男生甲被抽到的概率为＝，故B错误；在按比例分层随机抽样中，女生应抽取的人数为24×＝4名，女生乙被抽到的概率为＝，故C正确；在按比例分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于＝，所以男生甲和女生乙被抽到的概率相同，故D错误．故选AC. A． B． C． D． [解析]　50名学生中使用手机总时间在[10,12]的学生共有50×0.08×2＝8名，所以所求概率P＝＝.故选C. [答案]　(1)　(2) [解析]　(1)记“至少抽到1名女生”为事件A，则：抽取3名男生，∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.(2)至多抽到一名女生的概率P＝＝. 2．间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法． A． B． C． D． [解析]　a，b∈{－1,0,1,2}，(a，b)的取法有16种，函数y＝f(x)有零点，即4－4ab≥0，∴ab≤1，当a＝－1或0时，b可取－1,0,1,2；当a＝1时，b可取－1,0,1；当a＝2时，b可取－1,0.共13种．∴所求概率P＝，故选A． [答案]　 [解析]　从14个点中取4个点，共有C＝1 001种取法，四点共面分下面三种情况：①正方体的6个面：每个面包含4个顶点和1个中心点，此时共有6C＝30种；②3个中间平面：每个平面包含4个点，此时共有3C＝3种；③6个对角面：每个对角面包含4个顶点和2个中心点，此时共有6C＝90种；所以四个点不共面共有1 001－30－3－90＝878种，所以所求概率P＝. [答案]　 [解析]　2,4,6,8，x这5个数的平均数为＝，因为2,4,6,8，x这5个数的标准差为2， ＝2， 解得x＝5，则－2,0,5,2x－1，x－2，即为－2,0,5,9,3，按照从小到大的顺序为－2,0,3,5,9，从－2,0,3,5,9随机取出3个不同的数，有C＝10种取法，其中5为这3个数的中位数有C＝3种，所以5为这3个数的中位数的概率是. A． B． C． D． [解析]　5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有53＝125种取法，三次都不重复的取法有A＝60种，由加法原理和乘法原理，出现重复编号卡片的概率P＝1－＝.故选B. [答案]　 [解析]　若甲获得3分，则甲必取中6号球，乙必取中1号球．当甲小球上的数字为6,5,4时，甲获得3分的概率为＝；当甲小球上的数字为6,5,3时，甲获得3分的概率为＝；当甲小球上的数字为6,5,2时，甲获得3分的概率为＝；当甲小球上的数字为6,4,3时，甲获得3分的概率为＝；当甲小球上的数字为6,4,2时，甲获得3分的概率为＝.综上，甲获得3分的概率为＋＋2×＋＝. 简解：将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率．甲从三个盒子中各取一球，共有23＝8种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，所以，甲获得3分的概率为. [答案]　(1)　(2) [解析]　(1)P＝＝或＝.　(2)P＝＝. A． B． C． D． [解析]　由条件可知，满足条件的点数之和为3,7,11，点数之和为3的情况有(1,2)和(2,1)，共2种情况，点数之和为7的情况有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种情况，点数之和为11的情况有(5,6)，(6,5)共2种情况，所以满足条件的概率P＝＝.故选C. A． B． C． D． [解析]　由题意可得，1,3,5,7,9为阳数，2,4,6,8,10为阴数，若从10个数中任取2个数，则这2个数字全是阴数的概率为：P＝＝＝，所以这2个数中至多有1个阴数的概率为1－＝，故选D. 4．(2026·广东部分学校开学质检)已知m∈N*，从1,2，…，m中随机取出两个数，若两数之和为3的概率为，则m＝(　　) A．6 B．7 C．20 D．21 [解析]　从m个正整数中任意取出两个不同的数共有C取法，其中两数之和为3的取法为：1,2，共1种，故两数之和等于3的概率为，所以＝，即＝，所以(m－7)(m＋6)＝0，又因为m∈N*，解得m＝7.故选B. A． B． C． D． [解析]　设样本空间为Ω，则n(Ω)＝C＝126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A，则n(A)＝CCC＋CCC＋CCC＝72，所以P(A)＝＝＝.故选B. A． B． C． D． [解析]　所求概率P＝＝.故选B. A． B． C． D． [解析]　分两种情况讨论：(1)小帅和其中一个同学同时看《飞驰人生2》，另外两个看剩余三部电影中的两部，此时所求概率为＝＝；(2)观看《飞驰人生2》只有小帅一人，只需要将剩余三人分成两组，再将这两组人分配给两部电影，此时所求概率为＝＝；综上，恰有两人看同一部影片的概率为×2＝.故选B. A． B． C． D． 而9个数填入9个格子有9！种方法， 所以所求概率为P＝，故选A． C．P(AB)＝ D．P(B＋C)＝ [解析]　由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}，事件B包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红)，(红，绿)}，则A不包含于B，选项A错误；B∩C≠∅，选项B错误；事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}，P(AB)＝＝，选项C正确；事件B＋C包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)，(红，绿)}，P(B＋C)＝＝，选项D正确．故选CD. [解析]　由频率分布直方图得，成绩在[70,80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；因为0.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；因为成绩在[90,100]内的人数为100×0.010×10＝10，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1，故C错误；由P＝＝知，故D错误．故选AB. 11．(2026·辽宁鞍山质检)甲盒中有3 个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是(　　) A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X＝1)＝ B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为 C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回则恰好得到2个白球的概率为 D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则P(B)＝ [解析]　P(X＝1)＝＝，A错误；从甲、乙盒中各取一球恰好取出一个白球的概率为P＝＝，B正确；P＝＝，C正确；P(B)＝＝，D正确．故选BCD. [答案]　 [解析]　从8张卡片中随机抽出3张共有C＝56种抽法，又抽出的3张卡片上的数字之和为×＝18，所以符合题意的抽法有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种，故所求的概率为. [答案]　 [解析]　若甲、乙两人的选课都不相同则共有CC＝4×3＝12种；若甲、乙两人的选课有1门相同，则共有2C＋CC＝24种．故P(A)＝＝. [答案]　 [解析]　a有9个结果，b有9个结果，a2＋b共有81个结果，a＝1,2,4,5,7,8时，b可取－1，－4，－7，此时a2＋b被3整除．a＝3,6,9时，b可取－3，－6，－9，此时a2＋b被3整除．P＝＝. A． B． C． D． [解析]　两人所选六科的情况共有CC·CC＝144种情况，由于语文、数学、英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况，第一，物理、历史有一科相同，政治、地理、化学、生物不相同，有CC＝12种情况．第二，物理、历史不相同，政治、地理、化学、生物有一科相同，有CCCC＝48种情况，所以所求概率P＝＝.故选B. 2．(2025·山东烟台期末)我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为(　　) 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 A． B． C． D． [解析]　由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，个位2根，共有4个两位数22,26,62,66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31,71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40,80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为＝，故选A． [答案]　 [解析]　6名志愿者排成一排合影共有A种排法，而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有：C·A·A种排法，故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为＝. [答案]　120　 [解析]　由题意可知，上车后五人在这五个座位上随意坐，坐法种数为A＝120种．假设A坐对自己的位置，其他四人没有坐对与自己车票相符座位所包含的基本事件有：CBED，CEBD，CDEB，DBEC，DEBC，DECB，EBCD，EDBC，EDCB，共9种，因此，所求概率为P＝＝. [答案]　 (2)第一步，抽5号卡片，第二步，从1,3,4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片，第三步，从3,4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片，第四步，从2,4号卡片抽取一张，有2种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为3×2×2＝12种．而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为A＝120，因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为＝. (2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为________. [答案]　 [解析]　从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A＝120种，设前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，则|－|≤，故|2c－(a＋b)|≤3，故－3≤2c－(a＋b)≤3，故a＋b－3≤2c≤a＋b＋3，若c＝1，则a＋b≤5，则(a，b)为(2,3)，(3,2)，故有2种，若c＝2，则1≤a＋b≤7，则(a，b)为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,3)，故有10种，当c＝3，则3≤a＋b≤9，则(a，b)为(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,5)，(2,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(5,4)，故有16种， 当c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16种，当c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10种，当c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2种，即m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2(2＋10＋16)＝56，故所求概率为＝. $