概率、统计中的创新交汇性问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计创新交汇问题，覆盖与函数、数列交汇及新定义三大核心考点，对接高考评价体系，分析近三年高频考点分布，归纳分段函数求最值、递推数列建模等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题深度训练，如2023新高考Ⅱ卷19题函数建模、Ⅰ卷21题数列递推，通过“问题情境—数学抽象—模型构建”培养数学思维与数学语言素养，总结“概率函数化”“递推关系转化”等突破方法，配套模拟题与易错点分析，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

概率、统计中的创新交汇性问题 重难解读 概率统计中的创新性问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此 类问题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞 清各数据、各事件间的关系，建立恰当的数学模型，把实际问题转化为 数学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策. 目录/ CONTENTS 考点一 概率、统计与函数的交汇问题 01 考点二 概率、统计与数列的交汇问题 02 考点三 概率统计中的新定义问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 概率、统计与函数的交汇问题 目 录 （2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病 者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患 病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 高中总复习·数学 目 录 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判 定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病 者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的 概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相 应事件发生的概率. （1）当漏诊率p（c）＝0.5％时，求临界值c和误诊率q（c）； 解：依题可知，图1第一个小矩形的面积为5×0.002＞0.5％， 所以95＜c＜100，所以（c－95）×0.002＝0.5％，解得c＝97.5， q（c）＝0.010×（100－97.5）＋5×0.002＝0.035＝3.5％. 高中总复习·数学 目 录 （2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的 解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值. 解：当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002 ＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82； 当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－ 100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98， 故f（c）＝ 高中总复习·数学 目 录 由一次函数单调性知，函数f（c）在[95，100]上单调递减；在（100， 105]上单调递增， 故f（c）的最小值在c＝100处取得，所以f（c）在区间[95，105]的最小 值为0.02. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变 量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借 助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注 意以下两点： （1）构造函数：准确分析事件中的随机变量所满足的概率分布模型，利 用相应的求解公式建立函数关系式.由于涉及到的式子较为复杂，所以准 确运算化简是关键； （2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身 范围的限制. 高中总复习·数学 目 录 练1 （2026·安徽合肥模拟）3月14日为国际数学日，也称为π节，为庆祝 该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞 赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题， 若答对题目不少于5道题，则获得1个积分.已知甲、乙两名同学一组，甲 同学和乙同学对每道题答对的概率分别是p1和p2，且每道题答对与否互不 影响. （1）若p1＝ ，p2＝ ，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的 概率； 高中总复习·数学 目 录 解：假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为a1，a2， 所以所求概率为P＝P（a1＝2，a2＝3）＋P（a1＝3，a2＝2）＋P（a1＝ 3，a2＝3） ＝ （ ）2× ×（ ）3＋（ ）3× （ ）2× ＋（ ）3×（ ）3＝ ， 所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为 . 高中总复习·数学 目 录 （2）若p1＋p2＝ ，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学 这一组获得的积分为X分.若E（X）≥5恒成立，求n的最小值. 解：由（1）可知P＝P（a1＝2，a2＝3）＋P（a1＝3，a2＝2）＋P（a1 ＝3，a2＝3） ＝ × ×（1－p1）× ＋ × × ×（1－p2）＋ × ， 整理可得P＝ [3（p1＋p2）－5p1p2]＝ （4－5p1p2）， 因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，且p1＋p2＝ ， 所以 ≤p1≤1，所以p1p2＝p1（ －p1）∈［ ， ］， 高中总复习·数学 目 录 令t＝p1p2，则t∈［ ， ］， 所以P（t）＝－5t3＋4t2，t∈［ ， ］，则P'（t）＝－15t2＋8t， 当t∈［ ， ］时，P'（t）＞0恒成立，P（t）在［ ， ］上单调递增， 所以当t＝ 时，P（t）取得最小值 ，设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为Y，则Y～B（n，P）， 又X＝Y，所以E（X）＝E（Y）＝nP，则由nP≥5， 即n· ≥5，解得n≥ ≈19.3， 因为n为正整数，所以n的最小值为20. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 概率、统计与数列的交汇问题 目 录 （2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规 则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投 篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5. （1）求第2次投篮的人是乙的概率； 解：设“第2次投篮的人是乙”为事件A， 则P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6. 高中总复习·数学 目 录 （2）求第i次投篮的人是甲的概率； 解：设“第i次投篮的人是甲”的概率为Pi， 则第i－1次投篮的人是甲的概率为Pi－1，第i－1次投篮的人是乙的概率为 1－Pi－1，则Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）·0.2（i≥2）， 即Pi＝ ＋ Pi－1（i≥2），则Pi－ ＝ （Pi－1－ ）， 又P1＝ ，∴P1－ ＝ － ＝ ≠0， ∴数列{Pi－ }是以 为首项， 为公比的等比数列. ∴Pi－ ＝ ×（ ）i－1，即Pi＝ ×（ ）i－1＋ ， ∴第i次投篮的人是甲的概率为 ×（ ）i－1＋ . 高中总复习·数学 目 录 （3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝ 0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（ Xi）＝ qi.记前n次（即从第1次 到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）. 解：设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0 时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲， ∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi， ∴E（Xi）＝pi. Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn， 高中总复习·数学 目 录 则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn， 由（2）知，pi＝ ＋ ×（ ）i－1， ∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝ ＋ ×［1＋ ＋（ ）2＋…＋（ ）n－1］＝ ＋ × ＝ ＋ ×［1－（ ）n］. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的 递推关系.解决此类问题的基本步骤为： （1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的 依据，也是建立递推关系的准则； （2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问 题； （3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等 差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相 关公式. 高中总复习·数学 目 录 练2 （2026·安徽六安模拟）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时 得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分.独立地重复掷一枚骰子若干 次，将每次得分相加的结果作为最终得分. （1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望； 高中总复习·数学 目 录 解：X可能取值为2，3，4， P（X＝2）＝ × ＝ ，P（X＝3）＝ × × ＝ ，P（X＝4）＝ × ＝ . ∴X的分布列为 X 2 3 4 P ​ ​ ​ 数学期望E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若投掷n次骰子，记合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求 Pi. 解：根据题意，投掷n次，得分为n＋1分，则只有一次投掷得2分， 所以Pn＝ × ×（ ）n－1＝ ， 则 Pi＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， 则有 Pi＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， 高中总复习·数学 目 录 两式相减，得 Pi＝ ＋ ＋…＋ － ＝2× － ＝1－（ ）n－ ＝1－ ， 所以 Pi＝ － ×（ ）n. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 概率统计中的新定义问题 目 录 任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单 词）的出现概率或者说不确定性有关，信息中排除了冗余后的平均信息量 为“信息熵”.设随机变量X所有取值为1，2，…，n，n∈N*，且P（X ＝i）＝Pi＞0（i＝1，2，…，n），P1＋P2＋…＋Pn＝1，定义X的信息 熵为H（X）＝－ Pilog2Pi. （1）当n＝1时，求H（X）的值； 解：若n＝1，则i＝1，P1＝1，因此H（X）＝－（1×log21）＝0. 高中总复习·数学 目 录 （2）当n＝2时，若P1∈（0， ），探究H（X）与P1是正相关还是负相 关，说明理由. 解：H（X）与P1正相关，理由如下. 当n＝2时，P1∈（0， ），P1＋P2＝1，H（X）＝－P1log2P1－（1－ P1）log2（1－P1）. 令f（t）＝－tlog2t－（1－t）log2（1－t），t∈（0， ），则f'（t）＝ log2（ －1）＞0， 所以函数f（t）在（0， ）上单调递增，所以H（X）与P1正相关. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特 征，适时转化为“熟悉”问题.总之，解决此类问题，取决于已有知识、 技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断地实践和反 思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题. 高中总复习·数学 目 录 练3 若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间Ω上的离散型随机变量，则 将（X，Y）称为二维离散型随机变量，将（X，Y）取值为（xi，yj）的 概率记作P（X＝xi，Y＝yj），其中i，j＝1，2，…，n. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进 球得1分，不进球得－1分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再 通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为 ，抽中签者点球，进 球得1分，不进球得－1分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比 赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为 ， ，且每次点球之间相互独 立.记甲得分为X，乙得分为Y. 高中总复习·数学 目 录 （1）求P（X＝1，Y＝0），P（X＝－2，Y＝1）； 解：由题意有X＝1，Y＝0的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未 进球， 所以P（X＝1，Y＝0）＝ × × ×（1－ ）＝ ， 因为X＝－2，Y＝1是不可能事件， 所以P（X＝－2，Y＝1）＝0. 高中总复习·数学 目 录 （2）求P（Y＝0｜X＝1）； 解：X＝1表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签， 所以P（X＝1）＝ ×（1－ ）＋ × × ＝ ， 所以P（Y＝0｜X＝1）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （3）已知随机事件X＝－1发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 解：X＝－1表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙 抽到签， 所以P（X＝－1）＝（1－ ）× ＋（1－ ）×（1－ ）× ＝ ， 又Y的可能取值为－2，0，1， 所以P（X＝－1，Y＝－2）＝（1－ ）×（1－ ）× ×（1－ ）＝ ， P（Y＝－2｜X＝－1）＝ ＝ ＝ ， 高中总复习·数学 目 录 P（X＝－1，Y＝0）＝（1－ ）×（1－ ）× × ＝ ， 所以P（Y＝0｜X＝－1）＝ ＝ ＝ ， P（X＝－1，Y＝1）＝（1－ ）× ＝ ， P（Y＝1｜X＝－1）＝ ＝ ＝ . 所以Y的分布列为 Y －2 0 1 P ​ ​ ​ 所以E（Y）＝－2× ＋0× ＋1× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：60分） 目 录 1. （13分）如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米，一只小虫从S点 出发沿四棱锥爬行，在每个顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬 行n米后恰回到S点的概率为Pn（n≥2，n∈N）. （1）求P2，P3的值； 解：P2表示从S点到A（或B，C，D）点，然后回到S点 的概率，所以P2＝4× ＝ . 因为从S点沿一条棱爬行，不妨设先沿着棱SA爬行，再经过B点或D点，然后回到S点，其概率为 ×2＝ ，所以P3＝ ×4＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）证明：3Pn＋1＋Pn＝1（n≥2，n∈N）. 解：证明：设小虫爬行n米后恰好回到S点的概率为Pn， 那么1－Pn表示爬行n米后没回到S点的概率. 此时小虫必在A（或B，C，D）点，所以 ×（1－Pn） ＝Pn＋1，即3Pn＋1＋Pn＝1（n≥2，n∈N）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需 求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据 如下： 对A的需求量 0 1 2 3 概率P 若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品 A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品， 只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记Xn为该商店第n周开始时 商品A的供给量，假设X1＝2. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （1）求X3的分布列； 解：由题意Xn∈{1，2}，第2周开始时商品A不同供给量的概率为P（X2＝1）＝ ，P（X2＝2）＝1－P（X2＝1）＝ ， 第3周开始时商品A供给量的概率为 P（X3＝1）＝P（X3＝1｜X2＝1）P（X2＝1）＋P（X3＝1｜X2＝2）P （X2＝2）＝ × ＋ × ＝ ， P（X3＝2）＝1－P（X3＝1）＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 第3周开始时商品A的供给量分布列为 X3 1 2 P ​ ​ 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）记 ＝（P（Xn＝1），P（Xn＝2））为第n周开始时供给量Xn的 概率向量，随着n的增大，若 ＝ ，则 趋向一个定常态分布，记 这个定常态分布为 .求商品A的定常态分布 . 解：记Dn为商品A第n周内的需求量，由题意，Xn与Dn的状态有关， 当n≥1时，若Dn＜Xn，则Xn＋1＝Xn－Dn；若Dn≥Xn，则Xn＋1＝2， 设 ＝（x，1－x），即P（Xn＝1）＝x，P（Xn＝2）＝1－x， 由全概率公式可得P（Xn＋1＝1）＝P（Xn＋1＝1｜Xn＝1）P（Xn＝1） ＋P（Xn＋1＝1｜Xn＝2）P（Xn＝2）＝ P（Xn＝1）＋ P（Xn＝2）＝ x＋ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 P（Xn＋1＝2）＝1－P（Xn＋1＝1）＝1－（ x＋ ）＝ ＋ x， 由 ＝ ，得 x＋ ＝x， ＋ x＝1－x，解得x＝ ，故 ＝ （ ， ）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只 小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠 数.现用随机变量Xi（i＝1，2，…，5）表示第i组被感染的白鼠数，并将 随机变量Xi的观测值xi（i＝1，2，…，5）绘制成如 图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被 感染的概率为p（p∈（0，1）），假设每只白鼠是 否被感染是相互独立的.记Ai为事件“Xi＝xi（i＝1， 2，…，5）”. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （1）写出P（A1）（用p表示，组合数不必计算）； 解：由题知随机变量X1～B（10，p）， 所以P（A1）＝ p2（1－p）8. （2）研究团队发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）之间的关系为p＝ θ2－ θ ＋ .在统计学中，若参数θ＝θ0时的p值使得概率P（A1A2A3A4A5）最 大，称θ0是θ的最大似然估计，求θ0. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：设事件A＝A1A2A3A4A5，由题图可知x1＝2，x2＝1，x3＝1，x4＝3，x5＝3， 则P（A）＝[ p2（1－p）8]·[ p（1－p）9]2·[ p3（1－p）7]2， 即P（A）＝（ ）2（ ）（ ）2p10（1－p）40. 设g（p）＝ln P（A）＝ln[（ ）2（ ）（ ）2]＋10ln p＋40ln（1－p），p∈（0，1）， 则g'（p）＝ － ＝ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 所以当0＜p＜ 时，g'（p）＞0，所以g（p）在（0， ）上单调递增； 当 ＜p＜1时，g'（p）＜0，所以g（p）在（ ，1）上单调递减； 所以当p＝ 时，g（p）取得最大值，即P（A）取得最大值， 所以 － θ0＋ ＝ ，即9 －15θ0＋4＝0， 解得θ0＝ 或θ0＝ ， 因为0＜θ0＜1，所以θ0＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （17分）（2025·辽宁鞍山模拟）一个猜拳跳棋赢奖品的游戏：在棋盘 上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，设棋子跳到第n站的概率为 Pn，n＝1，2，3，…，10，一枚棋子从第1站开始，玩家需要与主持人猜 拳，每猜一次拳棋子向前跳动一次，玩家将该站对应的奖品累积起来.若 与主持人打平或输给主持人，则棋子向前跳一站；若赢主持人，则棋子向 前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败，失去所有累积奖品）或者第10站 （获胜，获得所有累计奖品），游戏结束. （1）求P1，P2，P3的值； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：棋子开始时在第1站是必然事件，∴P1＝1. 棋子跳到第2站，只有一种情况，即第一次猜拳玩家没有赢主持人，其概 率为 ，∴P2＝ . 棋子跳到第3站，有两种情况：第一次猜拳玩家赢主持人，其概率为 ； 前两次猜拳玩家都没有赢主持人，其概率为 × ＝ ，∴P3＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）求证：数列{Pn＋1－Pn}（n＝1，2，3，…，8）为等比数列； 解：证明：棋子跳到第n＋2（n＝1，2，3，…，7）站，有两种情况： 棋子先跳到第n站，猜拳玩家赢主持人，其概率为 Pn； 棋子先跳到第n＋1站，猜拳玩家没有赢主持人，其概率为 Pn＋1. ∴Pn＋2＝ Pn＋1＋ Pn. ∴Pn＋2－Pn＋1＝－ （Pn＋1－Pn），又∵P2－P1＝－ ， ∴数列{Pn＋1－Pn}（n＝1，2，3，…，8）是以－ 为首项，－ 为公 比的等比数列. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （3）求玩家获胜的概率. 解：由（2）得Pn＋1－Pn＝（－ ）n（n＝1，2，3，…，8）， ∴P9＝（P9－P8）＋（P8－P7）＋…＋（P2－P1）＋P1＝（－ ）8＋ （－ ）7＋…＋（－ ）＋1＝ ＝ ＋ ， ∴获胜的概率为1－P9＝ － . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $