6.4.3 第3课时 正弦定理和余弦定理的应用 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第3课时　正弦定理和余弦定理的应用 【学习目标】 　　1.掌握三角形面积公式,并利用三角形面积公式解决解三角形相关问题. 　　2.能利用正、余弦定理解决较复杂的解三角形问题. ◆ 知识点一　三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为: (1)S△ABC=bcsin A=　　　　=　　　　,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.  推论:①S△ABC=,其中R为△ABC的外接圆半径; ②S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中R为△ABC的外接圆半径. (2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高. (3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知三角形的三边长为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S=(a+b+c)r. (　 ) (2)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,则A=60°. (　 ) (3)在△ABC中,若a=6,b=4,C=30°,则△ABC的面积是6. (　 ) (4)在△ABC中,若AB=,AC=2,B=45°,则△ABC的面积为. (　 ) 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明:S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B. ◆ 知识点二　解三角形相关的常用结论 △ABC内角和定理:A+B+C=π. sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B⇔c=acos B+bcos A. 同理有a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C. ◆ 探究点一　三角形的面积问题 例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=2,a=2c,cos B=,则△ABC的面积S= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.2 C.1 D. (2)[2025·北京顺义一中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=bc,3csin A=asin B,且△ABC的面积S=2,则c=　　　　.  变式 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且6S=a(b+c). (1)若sin B=,求cos A; (2)若a=3,A=,求S. [素养小结] 已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积,三角形的面积公式为S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. ◆ 探究点二　利用正余弦定理解决几何问题 例2 如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=,AD=DC=3,cos∠ADC=. (1)求线段AC的长度; (2)求线段BD的长度; (3)求△ABC的面积. 变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcos=asin B. (1)求A的大小; (2)若a=2,·=,D在BC上,AD是∠BAC的平分线,求AD的长. [素养小结] 在平面几何中求边角等问题,通常思路是先找所求的边、角所在的三角形,结合题目所给出的中线、角平分线等条件及正、余弦定理求解. ◆ 探究点三　正余弦定理与三角的综合应用 例3 [2025·长沙雅礼中学高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=16. (1)若a=4,b=5,求cos C的值; (2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=18sin C,求a和b的值. 变式 [2025·石家庄二十四中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+csin A=b+c. (1)求角A的大小; (2)若△ABC为锐角三角形,求2cos B+cos C的取值范围. 第3课时　正弦定理和余弦定理的应用 【课前预习】 知识点一 (1)acsin B　absin C 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)因为该三角形可以分割成三个分别以a,b,c为底边长,以内切圆的半径r为高的三角形,所以三角形的面积S=ar+br+cr=(a+b+c)r,故错误. (2)由三角形的面积公式S=bcsin A,得×2×2×sin A=,所以sin A=,则A=60°或A=120°,故错误. (3)该三角形的面积S=absin C=×6×4×sin 30°=6,故正确. (4)由正弦定理得sin C===,∵C∈(0°,135°),C>B,∴C=60°或120°,∴A=75°或15°,∴S△ABC=AB·AC·sin A=或,故错误. 2.证明:如图所示,过点A作BC边的垂线,垂足为E,则AE=bsin C, 所以S△ABC=BC·AE=absin C. 同理可得S△ABC=bcsin A,S△ABC=acsin B, 故S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)A　(2)2　[解析] (1)∵c=2,a=2c,∴a=4.∵cos B=,∴sin B==,∴△ABC的面积S=acsin B=×4×2×=.故选A. (2)因为b2+c2-a2=bc,所以cos A==.因为3csin A=asin B,所以由正弦定理得3ac=ab,所以b=c.因为△ABC的面积S=bcsin A=2,sin A==,所以××=2,所以c2=8,则c=2. 变式　解:(1)因为6S=a(b+c),所以6×acsin B=a(b+c),又sin B=,所以3ac×=a(b+c),整理得ac=ab,所以b=c,则C=B,所以cos A=-cos(B+C)=-cos 2B=-1+2sin2B=-1+2×=-. (2)因为6S=a(b+c),所以6×bcsin A=a(b+c), 又a=3,A=,所以3bc×=3(b+c),即b+c=bc, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A, 所以9=(bc)2-2bc-2bc·,即(bc)2-4bc-12=0,解得bc=6或bc=-2(舍去), 所以S=bcsin A=×6×=. 探究点二 例2　解:(1)在△ADC中,由余弦定理可得AC2=DA2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC=9+9-2×3×3×=12, 所以AC=2. (2)因为∠ADC+∠ADB=180°,所以cos∠ADB=-cos∠ADC=-. 在△ADB中,由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DB·cos∠ADB,即17=9+DB2-2×3×DB×, 所以DB2+2DB-8=0,即(DB-2)(DB+4)=0,解得DB=2或DB=-4(舍去),故DB=2. (3)因为cos∠ADB=-,cos∠ADC=, 所以sin∠ADB=sin∠ADC=, 所以S△ADC=DA·DC·sin∠ADC=×3×3×=3,S△ADB=DA·DB·sin∠ADB=×3×2×=2,所以S△ABC=S△ADC+S△ADB=3+2=5. 变式　解:(1)∵bcos=asin B,∴sin Bsin=sin Asin B.∵B∈(0,π),∴sin B>0, ∴sin=2sincos, 又A∈(0,π),∴cos=,∴=,即A=. (2)由·=,得cbcos=,∴bc=3. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc+bc=12,可得b+c==. ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴bcsin=c·AD·sin+b·AD·sin, ∴AD===. 探究点三 例3　解:(1)a=4,b=5,a+b+c=16,故c=7, 由余弦定理得cos C===-. (2)sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,由半角公式得sin A·+sin B·=2sin C, 即sin A+sin B+sin Acos B+sin Bcos A=4sin C, 即sin A+sin B+sin(A+B)=4sin C, 即sin A+sin B+sin C=4sin C,即sin A+sin B=3sin C, 所以由正弦定理得a+b=3c, 因为a+b+c=16,所以4c=16,解得c=4,故a+b=12, 又△ABC的面积S=absin C=18sin C,所以ab=36,所以a=b=6. 变式　解:(1)由acos C+csin A=b+c及正弦定理,得sin Acos C+sin Csin A=sin B+sin C, 因为sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Csin A=cos Asin C+sin C, 又sin C>0,所以sin A-cos A=2sin=1, 即sin=. 因为0<A<π,所以A-∈, 所以A-=,即A=. (2)由(1)知B+C=, 则C=-B,由得<B<. 2cos B+cos C=2cos B+cos=cos B+sin B=sin, 因为<B<,所以<B+<,故sin∈,则2cos B+cos C的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $