6.4.3 第3课时 正弦定理和余弦定理的应用 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第3课时　正弦定理和余弦定理的应用

【学习目标】

　　1.掌握三角形面积公式,并利用三角形面积公式解决解三角形相关问题.

　　2.能利用正、余弦定理解决较复杂的解三角形问题.

◆ 知识点一　三角形的面积公式

任意三角形的面积公式为:

(1)S△ABC=bcsin A=　　　　=　　　　,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. 

推论:①S△ABC=,其中R为△ABC的外接圆半径;

②S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中R为△ABC的外接圆半径.

(2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高.

(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.

【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)已知三角形的三边长为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S=(a+b+c)r. (　 )

(2)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,则A=60°. (　 )

(3)在△ABC中,若a=6,b=4,C=30°,则△ABC的面积是6. (　 )

(4)在△ABC中,若AB=,AC=2,B=45°,则△ABC的面积为. (　 )

2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明:S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.

◆ 知识点二　解三角形相关的常用结论

△ABC内角和定理:A+B+C=π.

sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B⇔c=acos B+bcos A.

同理有a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C.

◆ 探究点一　三角形的面积问题

例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=2,a=2c,cos B=,则△ABC的面积S=              (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.2

C.1  D.

(2)[2025·北京顺义一中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=bc,3csin A=asin B,且△ABC的面积S=2,则c=　　　　. 

变式 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且6S=a(b+c).

(1)若sin B=,求cos A;

(2)若a=3,A=,求S.

 

 

[素养小结]

已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积,三角形的面积公式为S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A.

◆ 探究点二　利用正余弦定理解决几何问题

例2 如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=,AD=DC=3,cos∠ADC=.

(1)求线段AC的长度;

(2)求线段BD的长度;

(3)求△ABC的面积.

 

 

变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcos=asin B.

(1)求A的大小;

(2)若a=2,·=,D在BC上,AD是∠BAC的平分线,求AD的长.

 

 

[素养小结]

在平面几何中求边角等问题,通常思路是先找所求的边、角所在的三角形,结合题目所给出的中线、角平分线等条件及正、余弦定理求解.

◆ 探究点三　正余弦定理与三角的综合应用

例3 [2025·长沙雅礼中学高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=16.

(1)若a=4,b=5,求cos C的值;

(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=18sin C,求a和b的值.

 

 

变式 [2025·石家庄二十四中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+csin A=b+c.

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC为锐角三角形,求2cos B+cos C的取值范围.