6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1. 掌握平面向量数量积的坐标表示公式，能熟练进行数量积的坐标运算. 1. 掌握向量模长、夹角的坐标计算公式，能解决有关垂直、夹角等问题. 1. 能独立用向量法证明两角差的余弦公式，理解向量的工具性. 【学习重点】 1. 向量数量积的坐标公式：. 2. 向量模的坐标公式：. 3. 向量夹角的坐标公式：. 4. 两向量垂直的坐标条件：. 【学习难点】 1. 利用数量积坐标公式解决几何问题（如求角、判断垂直）. 2. 用向量法证明两角差的余弦公式. 学习任务一 向量数量积的坐标表示 【合作探究】 1. 问题引入： · 已知 ，，如何用坐标表示它们的数量积？ · 由向量坐标定义，，，且 ，，，则 · 因此，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和. 1. 性质： (1) ，所以 . (2) 若 ，则 ，即 . 1. 例题： · 已知 ，，求 ，. · 解：； · . 【自主梳理】 1. 数量积坐标公式：. 1. 模长公式：. 1. 垂直条件：. 学习任务二 向量夹角的坐标计算公式 【合作探究】 1. 夹角公式： · 设 ， 的夹角为 （），则 · 该公式由数量积定义直接代入坐标得到. 1. 例题： · 已知 ，，求 与 的夹角 的余弦值. · 解：； · ，； · ，所以夹角 的余弦值为. 1. 思考：垂直时 ，平行时 . 【自主梳理】 1. 夹角公式：. 2. 注意分母不为零（非零向量）. 学习任务三 用向量法证明两角差的余弦公式 【合作探究】 1. 证明思路： · 在平面直角坐标系中，以原点为顶点，作单位向量 ，. · 则 与 的夹角为 ，由数量积定义得： · . · 又由坐标公式：. · 因此，. 1. 例题：利用公式求 . · 解：. 【自主梳理】 · 两角差的余弦公式：. · 向量法的核心：构造单位向量，利用数量积的两种表示. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若 ，，则 . （ ） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. 两角差的余弦公式可以用向量法证明. （ ） 1. 若 ，，则 . （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.×（应为 ） 4.√ 5.√（） 【典例分析】 例1：已知 ，，求： (1) ； (2) ，； (3) 与 的夹角 . 解： (1) . (2) ，. (3) ，. 例2：已知 ，，且 ，求 . 解：由 ，得 ，，. 例3：用向量法证明 . 证：由两角差公式 . 【习题巩固】 1. 已知 ，，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 ，，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，若 ，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，则 与 的夹角余弦值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）已知 ，，求 . 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（） 1. B（） 1. A（） 1. A（，，，） 1. 解：，. 学科网（北京）股份有限公司 $