6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 　　1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 　　2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和垂直等问题. ◆ 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=　　　　　,即两个向量的数量积等于　　　　　　　　　　.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b=-7. (　 ) ◆ 知识点二　向量模的坐标表示 1.若a=(x,y),则|a|2=　　　,|a|=　　　　.   2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||=　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若A(1,0),B(0,-1),则||=. (　 ) (2)已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x=2.(　 ) ◆ 知识点三　向量垂直的坐标表示 设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔　　　　　　　　.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 若a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则“a⊥b”的充要条件是“x1x2-y1y2=0”. (　 ) ◆ 知识点四　两个向量的夹角公式的坐标表示 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得cos θ=　　　　　　　　.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角. (　 ) (2)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. (　 ) ◆ 探究点一　向量数量积的坐标运算 　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)设a=(1,2),b=(3,-4),c=(3,2),则(a+2b)·c= (　 ) A.-11 B.-9 C.9 D.11 (2)[2025·江苏盐城高一期中] 如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,则·的值是 (　 ) A. B. C. D. 变式 (1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=(　 ) A.10 B.-10 C.3 D.-3 (2)[2025·青岛二中高一期中] 在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2CD=2,点F是BC边的中点,点E是CD边上一个动点,则·的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. [素养小结] 向量数量积的坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式: ①|a|2=a·a. ②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. ③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形是规则的且易建系,则可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积. ◆ 探究点二　向量模的问题 例2 (1)已知向量a=(0,1),b=(2,-1),则|2a+b|=(　 ) A. B.5 C.2 D.4 (2)设向量a=(-3,4),向量b与向量a共线且方向相反,若|b|=10,则向量b的坐标为 (　 ) A. B.(6,-8) C. D.(6,8) 变式 (1)[2025·无锡一中高一期中] 已知a=(1,2),b=(m,m-1),且a·b=-|a|·|b|,则m= (　 ) A.3 B.-1 C.3或1 D.3或-1 (2)已知a=(1,m),b=(3,4),且满足|2a+b|=|b|,则实数m的值为　　　　 .  [素养小结] 求向量的模的两种基本策略 (1)坐标法:若向量a是以坐标形式出现的,即a=(x,y),则求向量a的模可直接利用公式|a|=. (2)常规平方法:若向量a,b是以非坐标形式出现的,则先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.常用的求向量的模的公式:|a|2=a2=a·a,|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. ◆ 探究点三　向量的夹角和垂直问题 例3 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(λ+3,1),向量a与向量b的夹角为θ. (1)求cos θ的值; (2)若c⊥(2a+b),求实数λ的值. 变式 (1)已知向量a=(5,12),b=(2,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= (　 ) A.- B.- C. D. (2)已知向量m=,n=,其中α∈(0,π),若m⊥n,则α=　　　　.  [素养小结] 1.解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)若题目条件没有涉及向量的坐标,而给出了a·b以及|a||b|,则利用公式cos θ=求出cos θ. (2)若题目条件涉及向量的坐标,则利用公式cos θ=求出cos θ. (3)无论是上述哪种类型,由三角函数值cos θ求角θ时,都应注意角θ的取值范围是[0,π]. 2.由垂直关系求参数时需要牢记公式,体现了方程思想. 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 【课前预习】 知识点一 x1x2+y1y2　它们对应坐标的乘积的和 诊断分析 √ 知识点二 1.x2+y2　　2. 诊断分析 (1)√　(2)×　[解析] (2)由|a|=|b|得 =,解得x=±2. 知识点三 x1x2+y1y2=0 诊断分析 ×　[解析] “a⊥b”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”. 知识点四 诊断分析 (1)×　(2)× 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)∵a=(1,2),b=(3, -4),c=(3,2),∴a+2b=(7, -6),∴(a+2b)·c=7×3+(-6)×2=9.故选C. (2)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB=,BC=2,∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,2).∵点E在边CD上,且=2,∴E,∴=,=,∴·=·=-+4=.故选D. 变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)由向量a=(2,-1),b=(1,-1),可得a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.故选B. (2)以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),F,设E(x,1),x∈[0,1],则=(-x,-1),=,所以·=x+=-,因为x∈[0,1],所以·=-∈.故选A. 探究点二 例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)方法一:∵a=(0,1),b=(2,-1),∴2a+b=2(0,1)+(2,-1)=(2,1),∴|2a+b|==.故选A. 方法二:∵a=(0,1),b=(2,-1),∴a·b=-1,∴|2a+b|===.故选A. (2)设b=(-3a,4a),a<0,则|b|==10,可得a=-2,所以b=(6,-8).故选B. 变式　(1)B　(2)-2　[解析] (1)由题意知,a·b=m+2(m-1)=3m-2,-|a|·|b|=-=-,又a·b=-|a|·|b|,所以3m-2=-,解得m=-1.故选B. (2)∵|2a+b|=|b|,∴|(5,2m+4)|==5,解得m=-2. 探究点三 例3　解:(1)由题意得|a|==,|b|==2,a·b=1×2+2×(-2)=-2, ∴cos θ===-. (2)∵2a+b=(4,2),且c⊥(2a+b), ∴c·(2a+b)=0,即4(λ+3)+2=0,解得λ=-. 变式　(1)C　(2)　[解析] (1)由题得c=(2t+5,12),∵<a,c>=<b,c>,∴cos<a,c>=cos<b,c>,∴=,∴=,解得t=. (2)因为m⊥n,所以m·n=0,即-=cos α-=0,所以cos α=,又因为α∈(0,π),所以α=. 学科网（北京）股份有限公司 $