10.3二项式定理 课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　二项式定理 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 课标要求 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=(n∈N*); (2)通项:Tk+1=__________,k=0,1,2,…,n,它表示第________项; (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数，…，. (4)(a＋b)n的展开式形式上的特点: ①项数为n＋1; ②各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n; ③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n; ④二项式系数从，一直到. an+an-1b+…+an-kbk+…+bn an-kbk k+1 3 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即___________ 增减性 二项式系数 当k<(n∈N*)时,是______的 当k>(n∈N*)时,是______的 二项式系数最大值 当n为偶数时,中间的一项________得最大值 当n为奇数时,中间的两项相等且取得最大值 = 递增 递减 4 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和:＋…＋＝________. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋…＝＋…＝__________. 2n-1 2n 5 常用结论与微点提醒 1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项. 2.牢记一个注意点:(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒. 3.理清二项式系数与项的系数的区别. 6 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)an－kbk是二项展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　) (4)(1＋x)7与(1－x)7的二项式系数和相同.(　　) 二项展开式中an－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × × √ 7 2.(苏教选修二P85T2原题)(x－2y)7的展开式中第3项的二项式系数是(　　) A. B. C.4 D.16 A 二项式系数是指，…，， 故第3项的二项式系数为. 8 3.(人教A选修三P38T3(5)改编)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A.40 B.41 C.－40 D.－41 B 令x＝1，得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0， 令x＝－1，得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0， 两式相加得82＝2(a4＋a2＋a0)， ∴a0＋a2＋a4＝41. 9 4.(北师大选修一P178T1改编)化简:＋…＋(－1)n＝_____.  0 由二项式(1＋x)n＝x0＋x1＋x2＋…＋xn， 令x＝－1，得(1－1)n＝＋…＋(－1)n＝0. 10 角度1　求二项展开式的特定项 例1 (1)(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A.6 B.－6 C.12 D.－12 A 考点一　展开式中的通项 法一　(x－)4的展开式的通项为Tr＋1＝x4－r(－)r ＝(－1)r(r＝0，1，2，3，4). 由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2＝6. 法二　(x－)4的展开式中含x3的项是由(x－)(x－)(x－)(x－)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(－)相乘得到的， 所以(x－)4的展开式中含x3的项为x2·(－)2＝6x3， 所以(x－)4的展开式中x3的系数为6. (2)已知二项式的展开式中存在常数项，则正整数n的一个可能的值为________________.   4(答案不唯一) 二项式的展开式的通项为Tk＋1＝(x3)n－kx3n－4k(k＝0，1，2，…，n)，要使展开式中存在常数项，只需3n－4k＝0，0≤k≤n，k∈Z，n∈N*有解即可，则n可取4. 角度2　两个二项式之积 例2 (2026·东北四市模拟)在(1－x)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数是(　　) A.－40 B.－20 C.20 D.40 D 要想得到x3，在(1－x)中选1，在3个(1＋2x)中都选2x，在余下2个(1＋2x)中都选1，或在(1－x)中选－x，在2个(1＋2x)中都选2x，在余下3个(1＋2x)中都选1，则含x3的项是1×(2x)3×12＋(－x)×(2x)2×13＝80x3－40x3＝40x3，所以x3的系数是40，故选D. 角度3　三项展开式问题 例3 (2026·西安调研)(x＋y＋2z)5的展开式中，xy2z2的系数是____________.  120 法一　(x＋y＋2z)5＝[(x＋y)＋2z]5，展开式的第r＋1项为(x＋y)5－r(2z)r. 令r＝2，可得第3项为22(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为x3－mym， 令m＝2，可得第3项为xy2， 所以(x＋y＋2z)5的展开式中，xy2z2的系数是22＝120. 法二　(x＋y＋2z)5＝(x＋y＋2z)(x＋y＋2z)·(x＋y＋2z)(x＋y＋2z)(x＋y＋2z)， 先从等号右边的5个括号中任取一个括号取出x共有种方法，再从剩余的4个括号中任取2个括号取出y共有种方法，然后从剩余的2个括号中取出2z共有种方法， 所以(x＋y＋2z)5的展开式中，xy2z2的系数是22＝120. 感悟提升 1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零等)，解出项数k＋1，代回通项即可. 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 训练1 (1)(1＋2x＋3x2)5展开式中x3的系数为(　　) A.200 B.230 C.120 D.180 A 法一(通项公式法)　(1＋2x＋3x2)5＝[1＋(2x＋3x2)]5， 由通项公式得Tr＋1＝(2x＋3x2)r，r＝0，1，2，3，4，5. 又(2x＋3x2)r的通项公式为 T'k＋1＝(2x)r－k(3x2)k ＝×2r－k×3k×xr＋k， k＝0，1，…，r. 令r＋k＝3(k≤r)，得 所以x3的系数为×23×30＋×21×31＝80＋120＝200.故选A. 法二(排列组合法)　(1＋2x＋3x2)5表示5个(1＋2x＋3x2)之积. 所以x3可从1个因式中取x，1个因式中取x2， 剩余的3个因式中取1，或3个因式中取x，剩余的2个因式中取1. 因此x3的系数为2×3×＋23×＝200.故选A. (2)已知今天是星期三，则67－1天后是(　　) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期五 A ∵67＝(7－1)7，其展开式的通项是Tk＋1＝77－k(－1)k， 其中k＝0，1，2，3，4，5，6时，Tk＋1可以被7整除，k＝7时，T8＝－1， ∵67－1除以7的余数与－2除以7的余数相同，借一个7，即与5除以7的余数相同，为5， 故67－1天后是星期一. (3)(2025·上海卷)在(2x－1)5的展开式中，x3的系数为____________.  80 (2x－1)5的通项为Tr＋1＝(2x)5－r·(－1)r，令5－r＝3，得r＝2， 所以展开式中x3的系数为×23×(－1)2＝80. 例4 (1)(多选)已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则(　　) A.n＝4 B.展开式中所有项的系数和为1 C.展开式中二项式系数和为24 D.展开式中不含常数项 AD 考点二　二项式系数的和与各项系数的和 由题意得，则， 解得n＝4，故A正确;所以， 令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误; 所以的二项式系数和为29，故C错误; 的通项公式为Tk＋1＝·(－2x)k＝(－2)kx2k－9， 若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝∉N， 所以不存在常数项，故D正确. (2)(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝____________;a1＋a2＋a3＋a4＝____________.  1 令x＝0，则a0＝1， 又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4， 故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4， 令t＝－2x， 则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4， 令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24， 故a1＋a2＋a3＋a4＝15. 15 感悟提升 1.二项式系数和只与(x＋y)n中的n有关，＋…＋＝2n;＋…＝＋…＝2n－1. 2.项的系数和赋值法 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]. 训练2 (1)(2026·湖北十一校联考)若x5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a2＝____________.  -10 由题意，x5＝[(x＋1)－1]5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5， 则a2＝(－1)3＝－10. (2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝____________;a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝____________.  300 由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝xk， 所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数， 故a2＋a6＋a8＝＝300. 对原式两边求导得， 10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得 a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 5 120 1.教材母题 (1)(人教A选修三P38T1(7))(1＋x)2n的展开式中，系数最大的项是第_________项.  (2)(湘教选修一P208T15)已知(1＋2x)n＝(2x)k＝akxk(n∈N＋).若(1＋2x)n的展开式中末三项的二项式系数的和为92，试判断展开式系数组成的数列a0，a1，…，an的单调性，并求其最大项. 2.教材中在讨论二项式系数的变化时，通常比较与的大小关系(比如人教A版P33)，确定f(r)＝(r∈{0，1，2，3，…，n})的增减情况，从而分析出系数在何时最大，何时最小，在比较大小时，通常可以考虑作差法或作商法(正数). 考点三　二项式系数的最值问题 例5 (1)(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　 ) A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 ACD 由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确; 因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误; 因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确. (2)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________.  5 的展开式的通项为Tr＋1＝xr，r＝0，1，…，10. 记各项系数为f(r)＝，r＝0，1，2，…，10. 由<1， 得r>＝7.25， 同理，由>1，得r<7.25. 所以当r<7.25时，f(r＋1)>f(r)，递增; 当r>7.25时，f(r＋1)<f(r)，递减， 即f(0)<f(1)<…<f(8)>f(9)>f(10)， 各项系数中最大值为f(8)＝＝5. 感悟提升 1.二项式系数最大项的确定方法:当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为;当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为. 感悟提升 2.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般采用“增减性”分析法.记各项系数为f(r)，当f(r)>0时，可用>1(或<1)来分析系数的增减情况，从而获得最大值.当f(r)存在小于0时，可先考虑|f(r)|大小，再加上正负号分析. 训练3 (1)已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，则展开式中系数最大的项为(　　) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 D 由(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79， 得＝1＋n＋＝79， 整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12(负值舍去)， 所以(1＋3x)12的展开式的通项为Tk＋1＝·(3x)k＝·3kxk(k＝0，1，2，…，12)， 记各项系数为f(k)＝·3k(k＝0，1，2，…，12)， 由>1得k<8.75， 故当k＝0，1，2，…，8时，f(k＋1)>f(k); k＝9，10，…，12时，f(k＋1)<f(k)， 即f(0)<f(1)<…<f(9)>f(10)>f(11)>f(12)，即f(9)最大，即第10项的系数最大. (2)(2026·南京六校调研)在(n∈N*)的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为____________.(用数字作答).  7 易知只有最大， n＝8，Tr＋1＝()8－r· ＝，0≤r≤8，r∈N， 令4－r＝1，得r＝2， 故x的系数为＝7. 一、单选题 1.(2026·武汉调研)展开式中项的系数为(　　) A.420 B.－420 C.560 D.－560 D 展开式的通项公式为Tr＋1＝(2x)7－r(－1)r27－r(－1)rx7－3r， 令7－3r＝－2，得r＝3， 所以×24×(－1)3＝－560，故选D. 2.(x2＋ax－1)·(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为(　　) A.0 B.3 C.－1 D.－2 D 展开式中含x2的项为x2·1＋ax·(－x)1＋(－1)·(－x)2＝x2－6ax2－15x2＝－(6a＋14)x2， 所以－(6a＋14)＝－2，解得a＝－2. 3.(2026·广州检测)若(2x－1)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，则a1＝(　　) A.－10 B.－1 C.1 D.10 D 令x－1＝t，则x＝t＋1，2x－1＝2t＋1，(2t＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝(2t)5－r， 令5－r＝1，得r＝4，所以a1＝×21＝10.故选D. 4.(2026·石家庄调研)(x2＋x＋y)5的展开式中x3y3的系数是(　　) A.5 B.10 C.20 D.60 C 将(x2＋x＋y)5看成5个(x2＋x＋y)相乘，若(x2＋x＋y)5的展开式中出现含x3y3的项，则在其中3个(x2＋x＋y)中取y，1个(x2＋x＋y)中取x2，1个(x2＋x＋y)中取x，得y3x2·x＝20x3y3， 所以(x2＋x＋y)5的展开式中x3y3的系数为20，故选C. 5.(2026·浙江三市质检)若(1－x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a2＋a4＋a6＝(　　) A.31 B.32 C.63 D.64 C 因为(1－x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 当x＝0时，a0＝1; 当x＝1时，0＝a0＋a1＋a2＋…＋a7;① 当x＝－1时， 27＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7，② ①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27， 所以a0＋a2＋a4＋a6＝26＝64，所以a2＋a4＋a6＝64－1＝63，故选C. 6.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A.－126 B.－70 C.－56 D.－28 C ∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，的展开式的通项为Tk＋1 ＝(－1)k(k＝0，1，2，…，8)， ∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3＝－56. 7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a＝·2＋·22＋…＋·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A.2 020 B.2 022 C.2 024 D.2 026 A 因为a＝·2＋·22＋…＋·220＝·2＋·22＋…＋·220－1＝(1＋2)20－1＝320－1， 所以a＝320－1＝(32)10－1＝910－1 ＝(10－1)10－1＝1010－109＋108－…－10＋－1 ＝1010－109＋108－…－10， 所以a能被10整除， 从选项可以看出，只有2 020能被10整除， 即b的值可以为2 020. 二、多选题 8.(2026·福州质检)已知(1－2x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　　) A.a0＝1 B.a1＝18 C.a1＋a2＋…＋a9＝－1 D.a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝－ AD A中，令x＝0，得a0＝(1－2×0)9＝1， B中，(1－2x)9展开式的第r＋1项 Tr＋1＝(－2x)r， 令r＝1得，T2＝(－2x)＝－18x， 所以a1＝－18. C中，令x＝1， 得a0＋a1＋…＋a9＝(－1)9＝－1，① 所以ai＝－1－1＝－2. D中，令x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39，② 由①－②得，a2i－1＝－.故选AD. 9.关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A.二项式系数和为64 B.所有项的系数之和为2 C.第三项的二项式系数最大 D.系数的最大值为240 AD 由二项式系数和公式知的二项式系数和为26＝64，故A正确; 令x＝1，则＝1，故B错误; 易知的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第四项，故C错误; 的展开式通项为Tk＋1＝ (2x)6－k·(－x－1)k＝26－k·(－1)k·x6－2k，k＝0，1，2，3，4，5，6， 记f(k)＝26－k·(－1)k，显然k取偶数时各项系数为正数，f(0)＝26＝64，f(2)＝16×15＝240，f(4)＝4×15＝60，f(6)＝1，可知系数的最大值为240，故D正确. 三、填空题 10.(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为____________.  20 Tk＋1＝ ＝·36－2k·x6k－18. 令6k－18＝0，则k＝3， 所以常数项为T4＝·30·x0＝20. 11.用二项式定理估算1.0110＝_______________.(精确到0.001)   1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋×0.01＋×0.012＋×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5 ＝1.104 5≈1.105. 1.105 12.(2026·郑州质检)用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有n个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n的展开式中，x3项的系数为____________(用数字作答).  330 当个位数字为0时，其他三个数位从1，2，3这三个数字中任意排列，有＝3×2×1＝6(种)情况. 当个位数字为2时，千位不能为0，所以千位有2种选择，百位从剩下的2个数字中选，十位为剩下的1个数字， 根据分步乘法计数原理，共有2×＝2×2×1＝4(种)情况. 所以n＝10. 对于(1＋x)k，展开式中x3项的系数为(k＝3，4，…，10). 那么(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10的展开式中x3项的系数为＋…＋. 由组合数的性质，且，得＋…＋＋…＋＋…＋＝…＝. 所以x3项的系数为＝330. 四、解答题 13.在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，____________.  (1)求＋…＋的值; 若选①: 因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8. 若选②: 因为第4项与第6项的二项式系数相等， 所以，得n＝8. 若选③: 因为奇数项的二项式系数的和为128， 所以2n－1＝128，解得n＝8. 所以(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝， 则有＝a0＋＋…＋， 即有a0＋＋…＋＝0， 令x＝0，得a0＝1， 所以＋…＋＝－a0＝－1. 综上所述，＋…＋＝－1. (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值. 由(1)可知，n＝8， (2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7， 令x＝1，则有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16. 14.在(3x－2y)20的展开式中，求: (1)二项式系数最大的项; 由题意得二项式系数最大的项为第11项，即T11＝(3x)10(－2y)10＝·310·210x10y10. (2)系数绝对值最大的项; 等价于求(3x＋2y)20的系数最大的项， 记(3x＋2y)20展开式中的系数为f(k)＝320－k· 2k，k＝0，1，2，…，20， 令>1，即>1，解得k<. ∵k∈N，∴k＝0，1，2，…，7时，f(k＋1)>f(k); 同理k＝8，9，…，20时，f(k＋1)<f(k)， ∴f(0)<f(1)<…<f(8)>f(9)>…>f(20); 故f(8)最大，即系数绝对值最大的项为T9＝312·28·x12y8. (3)系数最大的项. (3x－2y)20展开式中的系数为 g(k)＝·320－k·(－2)k，k＝0，1，…，20， 显然k为奇数时，g(k)<0; k为偶数时，g(k)＝f(k)>0. 由(2)知g(0)<g(2)<g(4)<…<g(8)>g(10)>g(12)>…>g(20)， 故g(8)最大，即系数最大的项为 T9＝·312·28x12y8. $