9.1 随机抽样与用样本估计总体 课件-2027届高考数学一轮复习

第九章 统计与成对数据的统计分析 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 抽样方法与 总体分布的估计 2023新课标Ⅰ，9 样本的数字特征 6考 数学运算 数学建模 数据分析 2021新高考Ⅱ，9 2021新高考Ⅰ，9 2023新课标Ⅱ，3 分层抽样 2023新高考Ⅱ，19(1) 频率分布直方图 2022新高考Ⅱ，19(1)(2) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 统计图表 2024新课标Ⅱ，4 频数分布表 2考  数学运算 数学建模 数据分析 2020新高考Ⅱ，9 折线图 成对数据的统计分析 2022新高考Ⅰ，20(1) 独立性检验 3考 2020新高考Ⅰ，19(2)(3) 2025新课标Ⅰ，15(2) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【命题形式】 本章内容主要在选择题、填空题中考查抽样方法、统计图表、样本的数字特征(如众数、中位数、百分位数等)、线性回归方程及独立性检验．解答题常考线性回归分析或将独立性检验与随机变量分布列综合的问题． 命题的兴趣点在社会生产生活中实际问题情境下的统计图表的识别、数据的抽取与应用，高科技、五育以及社会热点问题情境下的一元回归分析模型与独立性检验，考查数据分析、数学运算、逻辑推理等核心素养． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 备考要注意材料的阅读理解，学会准确识别各种统计图表，特别是样本频率分布直方图，要注意其纵轴的单位，掌握数据的统计方式；要掌握样本数据数字特征的求解及其应用，学会用样本估计总体，建立样本与总体数据之间的对应．灵活利用相关公式求解以社会实际生产生活问题为情境的一元线性回归模型及独立性检验．上述两个方面多与概率问题相结合，综合进行考查． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 第一讲　随机抽样与用样本估计总体 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[60] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 普查——对每一个调查对象都进行调查的方法． 抽样调查——根据一定目的，从总体中__________________进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法． 调查对象的______称为总体，组成总体的_________________称为个体．从总体中抽取的那部分个体称为样本，______________________称为样本容量，简称样本量． 抽取一部分个体 全体 每一个调查对象 样本中包含的个体数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点一　简单随机抽样 1．定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中________抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是________的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率__________，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是____________，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率__________，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为________________. 2．常用方法：__________和____________. 注：本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样． 逐个 放回 都相等 不放回的 都相等 简单随机抽样 抽签法 随机数法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点二　分层随机抽样 1．定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为________________，每一个子总体称为______.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为____________. 2．分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样． 分层随机抽样 层 比例分配 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点三　总体取值规律的估计 频率分布表与频率分布直方图 频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，从中可以看到整个样本数据的频率分布情况． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 绘制频率分布直方图的步骤为： 1．__________——求一组数据中__________与__________的差． 求极差 最大值 最小值 决定组距与组数 组数 组数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．______________——通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间． 4．________________——计算各小组的频率，绘制成表格． 将数据分组 列频率分布表 画频率分布直方图 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点四　总体百分位数的估计 1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有_______的数据小于或等于这个值，且至少有_____________的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从______到______的顺序排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为__________数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的__________. p% (100－p)% 小 大 第j项 平均值 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 知识点五　总体集中趋势与离散程度的估计 1．众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 注：(1)平均数表示“平均水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”，它们都有各自的使用范围，在实际应用中要注意选择． (2)一组数据的平均数、中位数都是唯一的．众数不唯一，也可以有多个． (3)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原始数据中的数. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 归 纳 拓 展 1．两种抽样方法的区别与联系 类别 共同点 各自特点 联系 适用范围 简单 随机 抽样 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中直接随机抽取，是一种等可能抽样 最基本的抽样方法．常用方法抽签法和随机数法 总体个数不多，且希望被抽取的个体带有随机性，无固定间隔 分层 抽样 将总体分成互不重叠的层，分层进行抽取，是一种等比例抽样 各层抽样时，采用简单随机抽样　 总体由差异明显的几部分组成 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　) (2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　　) (5)1，2，2，3，5的80%分位数是3.(　　) (6)对单峰频率直方图，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ (5)×　(6)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 题组二　走进教材 2．(必修2P184T3改编)高二年级有男生490人，女生510人，男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生中应抽取了________名，在这种情况下，估计高二年级全体学生的平均身高为________cm. [答案]　49　165.4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(必修2P197T1改编)从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50—350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则直方图中x＝________，在被调查的用户中，用电量的平均值为________kW·h，用电量落在区间[100，250)内的户数为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　0.004 4　186　70 [解析]　(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，计算得x＝0.004 4. 50×(75×0.002 4＋125×0.003 6＋175×0.006＋225×0.004 4＋275×0.002 4＋325×0.001 2)＝186. (0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 题组三　走向考场 4．(2025·新课标Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A．8 B．9 C．12 D．18 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 5．(2024·新课标全国Ⅱ卷改编)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表 据表中数据，结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 24 10 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 考点突破 · 互动探究 返回导航 抽样方法——自主练透　 1．(多选题)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(　　) A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样可能是分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　本题看似一道分层抽样的题，实际上每种抽样方法都可能出现这个结果，故A、B正确；根据抽样的等概率性知C、D不正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(2026·云南、广西、贵州诊断性联考)本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01，02，…，55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为(　　) 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191 A．51 B．25 C．32 D．12 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　A [解析]　根据随机数表读取，分别抽到的编号为31，32，43，25，12，51，26，04，01，11，所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51，故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(多选题)(2026·山西忻州名校联考)航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱，该项目融合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者．某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是(　　) A．该校高一学生人数是2 000 B．样本中高二学生人数是28 C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D．该校学生总人数是8 000 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　BC [解析]　由图可知高三年级学生人数占总人数的40%，抽取的样本中高三年级学生人数有32人，则抽取的学生总人数为32÷40%＝80，则样本中高一学生人数为80×(1－40%－35%)＝20.样本中高二学生人数为80×35%＝28，从而样本中高三学生人数比高一学生人数多32－20＝12.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，故选BC. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师点拨： 1．简单随机抽样、分层抽样中，总体中每个个体入样的概率相同． 2．抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况． 3．分层抽样是按比抽样 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比； (3)分层抽样样本的平均值的计算 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【变式训练】 1．(2025·山西临汾模拟)现从某学校450名同学中用随机数表法随机抽取30人参加一项活动．将这450名同学编号为001，002，…，449，450，要求从下表第2行第5列的数字开始向右读，则第5个被抽到的编号为________. 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　447 [解析]　根据随机数表的读取方法，依次抽取到的编号分别为：175，331，068，047，447，…，故第5个被抽到的编号为447. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(2025·重庆调研)某池塘中饲养了A、B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的．在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有(　　) A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 频率分布直方图——师生共研 (2026·福建优质高中质检)福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2 000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有850人 B．直方图中x的值为0.025 C．估计全体学生成绩的样本数据的80%分位数约为95 D．估计全体学生成绩的中位数为85 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师点拨：应用频率分布直方图时的注意事项 1．纵轴表示频率/组距； 2．频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比； 3．频率分布直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【变式训练】 (2025·广东部分学校质检)某大学共有15 000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1 000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(　　) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的 第60百分位数约为7.6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 总体集中趋势、离散程度的估计——多维探究 角度1　样本数据的总体集中趋势、离散程度的估计 (多选题)(2026·广西南宁、玉林摸底)为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的有(　　) A．中位数为90，平均数为89 B．70%分位数为93 C．极差为30，标准差为58 D．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 角度2　两组样本数据总体集中趋势、离散程度间的比较 (2026·河北邯郸调研)已知A组数据“x1，x2，…，xm”和B组数据“y1，y2，…，yn”(m，n∈N*，m，n∈[5, ＋∞))的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若m＝4n，则由A，B这两组数据构成的所有数据的总体方差为(　　) A．15 B．32 C．35 D．42 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 角度3　样本数据总体集中趋势、离散程度估计的应用 (多选题)根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续5天的日平均温度均超过10 ℃.现将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有(　　) A．平均数为13，极差为3 B．中位数为13，众数为11 C．众数为15，极差为6 D．平均数为16，方差为6 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师点拨： 1．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 【变式训练】 1．(角度1)(多选题)(2025·广东大湾区调研)已知样本数据7，3，5，3，10，8，则这组数据的(　　) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(角度2)(多选题)(2026·江西部分学校联考)在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据x1，x2，x3，…，x10满足xi－1<xi(2≤i≤10)，按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比(　　) A．极差变小 B．中位数不变 C．平均数变高 D．第75百分位数变小 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(角度3)(2026·湖南益阳质检)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(　　) A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 几种常见的统计图形 一、扇形图(饼状图)——用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (多选题)(2025·南京师大附中阶段测试)某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．该次数学史知识测试及格率超过90% B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名 C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D．若该校共有1 500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　由图知，及格率为1－8%＝92%>90%，故A正确；该测试满分同学的百分比为1－8%－32%－48%＝12%，即有12%×150＝18名，故B错误；由图知，中位数为80分，平均数为40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分，故C正确；由题意，1 500名学生成绩能得优秀的同学有1 500×(48%＋12%)＝900，故D错误．故选AC. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 二、条形图(柱状图)——建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (多选题)(2026·河北保定四校联考)如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比(与上一年同期相比)增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B．折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C．与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D．2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　折叠屏手机季度出货量的极差为2 771－1 857＝914千台，即91.4万台，故A正确；将各季度折叠屏手机出货量(千台)从小到大排列为1 857，2 233，2 505，2 571，2 771，故中位数为2 505千台，即250.5万台，故B正确；同比是指与上一年同期相比，故折叠屏手机2024年第三季度的出货量比2023年第三季度的出货量增加13.7%，故C错误；由图可知，2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数，故D正确．故选ABD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 三、折线图——建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (多选题)(2026·山东潍坊调研)如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位：亿千瓦时)的折线图，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．1月至7月全社会用电量逐月增加 B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D．1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　由图知，3月到4月用电量减少，故A错误；由图知，用电量的极差为79.9－59.2＝20.7，故B正确；数据从小到大有59.2，60.1，61.6，61.9，64.3，66.4，79.9，又7×75%＝5.25，所以第75百分位数是第六个数据66.4，故C错误；由1月至3月用电量极差为66.4－59.2＝7.2，4月至6月用电量极差为64.3－61.6＝2.7，显然7.2>2.7，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故D正确．故选BD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 四、雷达图(网络图、蜘蛛图)——一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图． 1．(2026·广东实验中学阶段测试)2025年某省将实行“3＋1＋2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目．为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值(指标值满分为5分，分值越高成绩越优)整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．选考科目甲应选物理、化学、历史 B．选考科目甲应选化学、历史、地理 C．选考科目乙应选物理、政治、历史 D．选考科目乙应选政治、历史、地理 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　D [解析]　根据雷达图，甲同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：物理、历史(化学)、地理、生物、政治，乙同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：历史、物理(政治)、地理、生物、化学，根据新高考选科模式规则，选考科目甲应选物理、化学、地理；选考科目乙应选历史、政治、地理．故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 2．(多选题)(2025·湖南名校联合体联考)如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 则下列结论正确的是(　　) A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B．2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多 C．2050年南美洲及大洋洲人口之和将与欧洲人口基本持平 D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　ABC [解析]　从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和将与欧洲人口基本持平，故C正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误．故选ABC. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 提能训练　练案[60] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·陕西汉中模拟)某射击运动员连续射击5次，命中环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　) A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　C [解析]　选取平均数大，方差小的． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(2026·湖北部分高中协作体联考)某小区对小区内的2 000名居民进行走访调查，各年龄段男、女居民人数如下表．已知在小区的居民中随机抽取1人，抽到20岁—50岁女居民的概率是0.19.现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民，则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为(　　) A．75 B．50 C．25 D．20   1岁—20岁 20岁—50岁 50岁以上 女居民 370 X Y 男居民 380 370 250 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 4．(2026·湖南部分学校联考)已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查，将46名学生按01，02，…，46进行编号，现提供随机数表的第7行至第9行： 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76 63 01 63 78 59　16 95 56 57 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79 32 21 12 34 29　78 64 56 07 82　82 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是(　　) A．07 B．12 C．39 D．44 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　D [解析]　依次抽取的样本编号为12，06，01，16，19，10，12，07，44，39，38，剔除重复号码12，故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 5．(2025·安徽亳州联考)有一组数据，按从小到大排列为：1，2，6，8，9，m，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则m为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 6．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 7．(2025·四川南充高级中学月考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) A．100，10 B．100，20 C．200，10 D．200，20 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　D [解析]　依题意可得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝200，其中高中生抽取2 000×2%＝40人，因为样本中高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20人．故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 8．(2025·吉林实验中学诊断)平均数、中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是(　　) A．如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 B．与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息 C．对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数 D．如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　对于A，因平均数是一组数据的平均水平，而中位数是将数据按照从小到大排列后，在最中间的那个数据或中间两个数的平均数，因频率分布直方图的形状对称，则平均数和中位数大体上差不多，故A正确；对于B，因个别数据变动，往往会改变平均数，而不改变中位数，所以平均数反映出样本数据中的更多信息，故B正确；对于C，因分类型数据往往是不连续的，用众数能更好地描述集中趋势，故C正确；对于D，频率分布直方图在“右边”拖尾时，平均数应更偏向于拖尾，而中位数两边的小矩形面积相等，故平均数必大于中位数，即D错误．故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 二、多选题 9．(2026·江苏部分学校开学考试)北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则(　　) A．该组数据的极差为26 B．该组数据的众数为18 C．该组数据的75%分位数为19 D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　BD [解析]　该组数据的极差32－7＝25，故A选项错误；该组数据的众数为出现频数最多的18，故B选项正确；该组数据的75%分位数：7×75%＝5.25，取第6个，则为20，故C选项错误；若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正确．故选BD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 10．(2026·江西智学联盟体联考)某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则(　　) A．众数是22 B．前4个数据的方差比最后4个数据的方差大 C．平均数是30 D．80百分位数是28 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　出现的次数最多，众数是22，故A正确； 前4个数据的平均数是25，方差为 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 11．(2025·江苏江阴一中阶段测试)2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩(单位：分，满分：120分)整理成如图的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．该校竞赛成绩的极差为70分 B．a的值为0.005 C．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分 D．这组数据的第30百分位数为81 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 12．(2025·山西长治质检)已知a，b∈R，有一组样本数据为2＋a，3，6－b，7－a，8，10，11＋b，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则(　　) A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 13．(2026·陕西西安、河北保定部分学校联考)某公司统计了2023年1月至6月的月销售额(单位：万元)，并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是(　　) 注：同比增长率＝(今年月销售额－去年同期月销售额)÷去年同期月销售额×100%. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．2023年1月至6月的月销售额的极差为8 B．2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8 C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5 D．2022年5月的月销售额为10万元 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 三、填空题 14．(2025·陕西教育联盟模拟)一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是________. [答案]　50 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 15．(2025·山东A7联盟联考)已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为________. [答案]　3.5 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 B组能力提升 1．(2025·广东肇庆联考)某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名(假设测试的成绩两两不同)，且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为(　　) A．36 B．41 C．46 D．51 [答案]　C [解析]　设班级的人数为x，由题意x－10<0.8x<x－9，解得45<x<50，又x∈N*，所以选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 3．(多选题)(2025·福建泉州质检)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图，为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100)内的同学成绩方差为10.则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 4．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房(含港澳台和海外票房)已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (1)求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)从样本中年龄为[30，40)，[40，50)，[50，60)的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在[40，50)中的观众应抽取多少人？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 [解析]　(1)由题意可得10×(0.010＋a＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)＝1，解得a＝0.018， 由频率分布直方图可知[0，40)的频率为0.75，而[40，50)的频率为0.2， 所以第85百分位数在区间[40，50)内，设第85百分位数为m， 则0.75＋0.02(m－40)＝0.85，解得m＝45， 所以第85百分位数为45； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 (2)由频率分布直方图可知年龄为[30，40)，[40，50)，[50，60)的三组观众频率之比为：5∶4∶1， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在[40，50)中的观众应抽取4人； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 C组拓展应用(选作) (2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第九章　统计与成对数据的统计分析 谢谢观看 2．__________________——决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准．若为整数，则＝________；若不为整数，则＋1＝________. 5．____________________——画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示. 3．平均数：＝__________，反映了一组数据的平均水平． i 4．设一组样本数据是x1，x2，…，xn，用表示其平均值，则(1)方差s2＝(xi－)2＝－2. (2)标准差s＝＝＝. 方差、标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小． 2.若一组数据xi(i＝1，2，…，n)的平均数为，方差为s2，则数据组axi＋b(i＝1，2，…，n，a，b为常数)的平均数为a＋b，方差为a2s2. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，均为. [解析]　由＝得x＝49. 由×170.2＋×160.8≈165.4(cm)． [解析]　样本数据2，8，14，16，20的平均数为＝＝12.故选C. [解析]　根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50，所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误；亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误；稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确；由频数分布表可得，亩产量在[1 050，1 100)的频数为100－(6＋12＋18＋24＋10)＝30，所以平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．故选C. (1)＝； 在分层抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为. [解析]　因为鱼群在池塘里是均匀分布的，所以品种A所占比约为＝，所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有×20≈13尾，故选C. [解析]　由图(0.005＋0.01＋x＋0.03＋0.04)×10＝1，可得x＝0.015，B错误；成绩在区间[90，100)内的学生有2 000×0.04×10＝800人，A错误；由图知，样本数据的80%分位数在区间[90，100)内，设为m，则(100－m)×0.04＝0.2，可得m＝95，C正确；由图知，样本数据的中位数在区间[80，90)内，设为n，则(90－n)×0.03＋0.4＝0.5，可得n＝，D错误．故选C. 4．总体百分位数的估计．确定要求的p%分位数所在分组[A，B)，若样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，则p%分位数＝A＋组距×. [解析]　由图可知众数在[4，8)内，众数是6，故A错误；中位数x在[4，8]内，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，故B错误；平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，故C错误；该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为4＋×4＝7.6，故D正确．故选D. [解析]　由题意中位数为＝90，平均数为＝89，故A正确；因为70%×10＝7，所以70%分位数为＝93，故B正确；极差为100－70＝30，方差s2＝[(70－89)2＋(85－89)2＋(86－89)2＋(88－89)2＋(90－89)2＋(90－89)2＋(92－89)2＋(94－89)2＋(95－89)2＋(100－89)2]＝58，所以标准差s＝，故C错误； 去掉一个最低分和一个最高分，则平均数为＝90>89，方差为[(85－90)2＋(86－90)2＋(88－90)2＋(90－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2＋(94－90)2＋(95－90)2]＝<58，所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D正确．故选ABD. [解析]　由条件可知，总体平均数＝×80＋×90＝×80＋×90＝82，设A组数据的平均数为，方差为s，B组数据的平均数是，方差是s，所以所有数据的总体方差s2＝[s＋(－)2]＋[s＋(－)2]＝×[15＋(80－82)2]＋×[20＋(90－82)2]＝32.故选B. [解析]　“连续5天的日平均温度均超过10 ℃”，将5天数据从小到大排序为：x1，x2，x3，x4，x5，A选项，因为这五个数据的平均数为＝13，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝65，又因为这五个数据的极差为3，则x5－x1＝3，可得x5＝x1＋3，若x1＝x5－3≤10，则x5≤13，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5<65，所以A选项正确；B选项，因为这五个数据的中位数是13，众数是11，所以将数据从小到大排序后，第3个数是13，第1、2个数为11，所以5个数据都超过10，所以B选项正确； C选项，因为这五个数据的众数是15，极差为6，如9，9，15，15，15，第1天低于10，不符合，所以C选项错误；D选项，因为这五个数据的平均数为＝16，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝80，方差为＝6，所以，(x1－16)2＋(x2－16)2＋(x3－16)2＋(x4－16)2＋(x5－16)2＝30，若x1≤10，则(x1－16)2≥36，矛盾，所以D选项正确．故选ABD. 2．方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方，对一些绘出统计图的方差(或极差)大小的比较问题，往往不需计算，可由图直观判断． 3．分层随机抽样中，若第一层的样本量为m，平均数为1，方差为s，第二层的样本量为n，平均数为2，方差为s，则样本平均数为＝，样本方差为s2＝[s＋(－1)2]＋[s＋(－2)2]． A．众数为3 B．平均数为6.5 C．上四分位数为8 D．方差为 [解析]　首先，我们把数据从小到大排列，得到3，3，5，7，8，10，观察得数据3出现的次数最多，所以众数为3，故A正确；平均数为＝＝6，故B错误；因为一共有6个数据，且6×75%＝4.5，所以上四分位数为第5个数，故上四分位数为8，故C正确；方差为[(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2]＝[9＋9＋1＋1＋4＋16]＝×40＝，故D正确．故选ACD. [解析]　已知比赛数据满足xi－1<xi(2≤i≤10)，则原数据从小到大排序为：x1，x2，x3，…，x10，处理后数据从小到大排序为：x2，x3，x4，…，x9.原数据极差：x10－x1，处理后数据极差：x9－x2，因为xi－1<xi(2≤i≤10)，所以x10－x1>x9－x2，A正确；原数据共10个，中位数为第5个和第6个的平均值，即，处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即，所以中位数不变，B正确； 原数据平均数：，处理后数据平均数：，平均数变化情况取决于与之间的关系，故不能确定变化情况，C错误；原数据共10个，第75百分位数是第8个，即x8，处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即，因为x8>x7，所以x8>，第75百分位数变小，D正确．故选ABD. [解析]　对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差s2>(6－2)2＝3.2>2.4，则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故B正确；对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为＝(1＋2＋3＋3＋6)＝3，方差为s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选B. [解析]　由题意可知该组数据为6，7，8，9，9，∴平均数＝＝7.8.故选B. 2．(2025·云南统测)甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数(单位：环)和方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.2 9.5 9.9 7.7 s2 0.16 0.65 0.09 0.41 [解析]　因为在小区的居民中随机抽取1人，抽到20岁—50岁女居民的概率是0.19，所以＝0.19，解得X＝380，则50岁以上的女居民的人数Y＝2 000－370－380－370－380－250＝250.现用分层随机抽样的方法在全小区居民中抽取200名居民，应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为×250＝25.故选C. [解析]　因为该组数据共6个，且6×40%＝2.4，所以这组数据的40%分位数为从小到大第3个数，即6，则6＝，解得m＝10.故选B. [解析]　讲座前中位数为>70%，所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%>20%，所以D错．故选B. ＝5， 后4个数据的平均数是25，方差为 ＝21，故B错误； 计算易知平均数是30，故C正确； 80百分位数是＝30，故D错误．故选AC. [解析]　因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A错误；因为(a＋0.008＋2a＋0.012＋0.015＋4a＋0.030)×10＝70a＋0.65＝1，解得a＝0.005，所以B正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值＝55×0.005×10＋65×0.008×10＋75×0.012×10＋85×0.015×10＋95×0.030×10＋105×4×0.005×10＋115×2×0.005×10＝90.7分，所以C正确；设这组数据的第30百分位数为m，则(0.005＋0.008＋0.012)×10＋(m－80)×0.015＝0.3，解得m＝，所以D错误．故选BC. [解析]　原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，A正确；取a＝－2，b＝1，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，B错误；新数据的方差为s′2＝[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2＋(8－8)2]<[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2]＝s2，C错误；因为3<8<13，所以8不是最值，故新数据的极差不变，D正确．故选AD. [解析]　2023年1月至6月的月销售额的极差为8，故A正确；因为6×60%＝3.6，所以2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为11，故B错误；2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5，故C正确；设2022年5月的月销售额为x万元，则×100%＝10%，解得x＝10，故D正确．故选ACD. [解析]　先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78.共12个数据，12×75%＝9，则第75百分位数为＝50. [解析]　设前10次射击的命中环数分别为x1，x2，…，x10，则x1＋x2＋…＋x10＝7×10＝70，由方差为4，得[(x1－7)2＋(x2－7)2＋…＋(x10－7)2]＝4，即(x1－7)2＋(x2－7)2＋…＋(x10－7)2＝40，所以增加两次射击后，这12次射击的命中环数的平均数为(x1＋x2＋…＋x10＋6＋8)＝(70＋6＋8)＝7，所以这12次射击的命中环数的方差为[(x1－7)2＋(x2－7)2＋…＋(x10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2]＝(40＋1＋1)＝3.5. 2．(2026·江苏南通调研)已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为s，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为s，则s，s的大小关系为(　　) A．s>s B．s＝s C．s<s D．无法判断 [解析]　由t＝×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋t)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5t，所以＝×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝t，且x1，x2，x3，x4，x5，t互不相等，由s＝×[(x1－t)2＋(x2－t)2＋(x3－t)2＋(x4－t)2＋(x5－t)2＋(t－t)2]＝×[(x1－t)2＋(x2－t)2＋(x3－t)2＋(x4－t)2＋(x5－t)2]，而s＝×[(x1－t)2＋(x2－t)2＋(x3－t)2＋(x4－t)2＋(x5－t)2]，所以s<s，故选C. [解析]　(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，∴a＝0.005，A错误；[50，70)内频率为5×0.005×10＝0.25<0.5，[50，80)内频率为12×0.005×10＝0.6>0.5，则中位数在[70，80)内，设中位数为x，则0.25＋(x－70)×7×0.005＝0.5，则x≈77.14，B正确；成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为×85＋×95＝87.5分，方差为×[12＋(87.5－85)2]＋×[10＋(87.5－95)2]＝30.25，C正确，D错误．故选BC. (3)若样本中年龄在[0，10)的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在[50，60)的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差s2. (3)由频率分布直方图可知[0，10)的频率为0.1，[50，60)的频率为0.05， 所以＝6×＋57×＝23， s2＝×[2＋(6－23)2]＋[5＋(57－23)2]＝581. 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高) [解析]　(1)＝＝552.3， ＝＝541.3， ＝－＝552.3－541.3＝11，zi＝xi－yi的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， ∴s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知＝11，2＝2＝，故有≥2，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． $