第七章复数单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新教材必修二第七章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知为虚数单位，，则（   ） A． B． C．2 D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．复数，则实数（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 4．设复数，满足，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．已知i为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为（　　） A．1 B．i C． D． 7．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 8．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则（     ） A． B．的虚部是 C．若，则， D． 10．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．对复数，若，则 11．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 13．从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个. 14． ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，其中i为虚数单位. （1）若复数z是实数，求m的值； （2）若复数z是纯虚数，求m的值. 16．已知复数，求及． 17．已知复数满足，的实部与虚部的积为. （1）求； （2）设， ，求的值. 从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 18．已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数的模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 19．已知复数满足，且，求负实数的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材必修二第七章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知为虚数单位，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用复数除法求得的值，再用复数的绝对值公式求解即可. 【详解】由题，则=. 故选：D. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后化简即可得到答案. 【详解】 故选：C． 3．复数，则实数（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】B 【分析】根据复数为零，则实部和虚部都等于零，列出方程组求解即得． 【详解】因为为实数，且， 所以，解得， 故选：B． 4．设复数，满足，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数所表示的向量的几何意义，得到，进而求解. 【详解】由于以复数所表示的向量,为邻边作平行四边形， 则,， 由于 ∴, ∵,， ∴， 故选：B 5．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可 【详解】由题意， 故为实数 或 故选：A 6．已知i为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为（　　） A．1 B．i C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m的值结合复数虚部的定义进行求解即可． 【详解】（2-i）（m+i）=2m+1+（2-m）i， 若复数在复平面内对应的点位于实轴上， 则2-m=0得m=2， 复数， 即复数的虚部是1， 故选A． 【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键． 7．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 8．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则（     ） A． B．的虚部是 C．若，则， D． 【答案】CD 【解析】取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，则，A选项错误； 对于B选项，复数的虚部为，B选项错误； 对于C选项，若，则，，C选项正确； 对于D选项，，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 10．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．对复数，若，则 【答案】BC 【详解】对于A项，设，则， 由可得，，所以满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误； 对于B项，设，则， 由可得，， 根据复数相等的条件可得，解得， 所以，故B项正确； 对于C项，由复数的模的定义知C正确； 对于D项，令，则，，所以，但是，故D错误. 11．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】2 【分析】由纯虚数的概念知，实部为0，虚部不为0，取交集即可得的值. 【详解】由纯虚数的概念知，可得 故答案为：2 13．从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个. 【答案】36 【解析】若复数为虚数，则，分两种情况讨论即得解. 【详解】从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，当时，对应的有6个值；当取1,2,3,4,5,6时，对应的只有5个值.所以虚数有（个）.故答案为:36. 【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题. 14． ______. 【答案】 【解析】利用，即得解. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】本题考查了复数的幂指数运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，其中i为虚数单位. （1）若复数z是实数，求m的值； （2）若复数z是纯虚数，求m的值. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）根据复数为实数的条件是虚部为零，求解即得； （2）根据复数为纯虚数的条件是实部为零，虚部不为零，求解即得. 【详解】（1）若复数z是实数，则， ∴或； （2）若复数z是纯虚数，则， ∴. 16．已知复数，求及． 【答案】； 【分析】利用复数的乘法和加法运算化简后，利用复数的模的概念计算即可. 【详解】, . 17．已知复数满足，的实部与虚部的积为. （1）求； （2）设， ，求的值. 从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）由已知，利用复数的模的计算公式和实部虚部的概念列出方程组，求得m,n的值，进而得解； （2）根据各个条件，选择其中之一，或者根据复数相等的条件，或者根据复数为纯虚数的条件，或者根据复数的几何意义对应的点的坐标的意义，列出方程组求解即得. 【详解】（1）解：由， ，解得， 所以. （2） 若选①，由，则，解得 若选②，由题意，解得 若选③，由题意，解得. 18．已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数的模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 【答案】（1）；（2）当，时，取最小值. 【解析】（1）求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可得出结论； （2）可得出，将点的坐标代入函数的图象，可得出，可得出，展开后利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的、的值. 【详解】（1），当且仅当时，复数的模最小，为； （2）当复数的模最小时，. 又点位于函数的图象上，所以. 又，则，， 所以， 当且仅当时等号成立. 又，所以，. 所以，的最小值为，此时，. 【点睛】本题考查复数模的最值的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 19．已知复数满足，且，求负实数的值. 【答案】 【解析】设，代入，得到： 求解a，即得解. 【详解】设.因为，所以 ， 则 当时，，由，解得； 当时，则或，因为，所以此时无解. 综上所述，. 【点睛】本题考查了复数的三角形式及四则运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于较难题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $