湖南长沙市长郡中学2026届高三数学微专题（2）函数与导数综合

长都中学2026届高三数学微专题（2) 函数与导数综合 课堂讲义 1.已知函数f(x)=n(e2x+e2)-x,实数m满足f(m)>f(2m+2),则m的取值范围 是() B.(0,2) c. D.（-2,0) 2.（多选)设函数f(x)=e-x2-a(aeR,e为自然对数的底数)若存在b∈[2,3]， 使f(f(b)=b成立，则a的取值可以是（)（注：e2≈7.389，e3≈20.086） A.1 B.4 C.8 D.12 3.已知函数f(x)=ax2-x+sinx, (1)当a=0时，证明：f(x)在R上存在唯一零点； (2)证明：f(:)≥0在[0，+∞)上恒成立的充要条件是a≥1 4.(备选)已知函数f(x)=an(x+1),8(x)=f(x) (1)若a>0,求g(x)的单调区间： (2)若e*-1≥f(x),h(x)=g(x)-cosx. (i)求a;(ⅱ)函数h(x)图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确 定对称点的组数；若不存在，请说明理由，长鄙中学2026屑高三数学微专题(2) 函数与导数综合 课堂讲义 1.已知函数f(x)=n(e2“+e2)-x,实数m满足f(m)>f(2m+2),则的取值范围是( 4 B.(0,2) D.(-2,0) 【解析】对f(x)=n(e2x+e2)-x 化简f(x)=n(e2+e2)x=血(e(e+e2)》x=x+ln+e2*x=ln+e2s)）. 来号令f=0,得1 x<1时f'(x)<0,f(x)此时单调递减；x>1时f'(x)>0,f(x)此时单调递增， f(1+x)=In(et+e-at))=In(et+e-),f(1-x)=In(e *+e-a-))=In(e-+ets), f1+x)=f1-x), 故f(x)的图象关于直线x=1对称，且在(-o,)上单调递减，1，+o)上单调递增 所以f(m)>f(2+2)等价于|-1X2+2-1曰2m+1,平方得(-1)2>(2+1)2， 整理得m2+2<0,解得-2<l<0.【答案】D 2.(多选)设函数f(x)=e-x2-a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[2,3]，使 f(f(b)=b成立，则a的取值可以是()（注：e2≈7.389，e3≈20.086） A.1 B.4 C.8 D.12 【答案】BC 【详解】因为f(x)=e*-x2-a,则f(x)=e-2x,令F(x)=f'(x),则F'(x)=e-2, 令F'(x)>0,解得x>n2;令F'(x)<0,解得x<n2; 可知F(x)在(-o,h2)上单调递减，在(n2,+o)上单调递增， 则F(x)≥F(h2)=2(1-ln2)>0,即f(x)>0,可知f(x)在定义域R内单调递增， 若f(x)>x在[2,3]内恒成立，则f(f(x)>f(x)>x,不合题意； 若f(x)<x在[2,3]内恒成立，则f(f(x)<f(x)<x,不合题意： 若存在x∈[2,3]，使得f(x)=x,令b=x∈[2,3]，则f(f(b)=f(b)=b,符合题意； 综上所述：原题意等价于f(x)=x在[2,3上有解，即e-x2-x=a在[2,3上有解， 令8(x)=e-x2-x,x∈[2,3]，则g(x)=e-2x-1,令h(x)=g(x,x∈[2,3]，则 H(x)=e-2>0, 可知h(x)在[2,3]上单调递增，则h(x)≥h(2)=e2-5>0,即g'(x)>0, 可知g(x)在[2,3]上单调递增，且g(2)=e2-6≈1.389，g(3)=e3-12≈8.086， 即1.389≤g(x)≤8.086，可得1.389≤a≤8.086，结合选项可得AD错误，BC正确。 3.已知函数f(x)=ax2-x+sinx. (1)当a=0时，证明：f(x)在R上存在唯一零点； (2证明：(：≥0在[0，+∞）上恒成立的充要条件是a≥} 【解析】(1)当a=0时，f(x)=-x+sinx,,f'(x)=-1+cosx≤0， f(x)在R上单调递减，又：f(0)=0,∴f(x)在R上有唯一零点x。=0 1 (2)必要性：因为x≥0时，f(x)≥0，所以f(π)≥0，即m2-元+sinπ≥0，所以a≥二 充分性：当a≥1时，fy)=am2-x+sir≥上x2-x+simx, 令h(x)=12-x+sinx,则()=2x-1+c0x,x≥0， ①当x≥元时，N(x)=2x-1+c0sx≥2元-1+cor=1+cosx≥0， 当且仅当x=π时，h(x)=0,所以h(x)在[兀，+o)上单调递增，故h(x)≥h()=0,所以 f(x)≥0， ②当0≤x<元时，记o()=i(,则p)=2sinx, 因为p(0)=2>0, 2-1<0,=2>0, 2) 又因为@()-是s在Q习上单调递减，在三上单调递增， 2 所以在@上存在、，使w-0,)=0,且西引。e经小： 所以当0<x<或x2<x<π时，p(x)>0；当x<x<x,时，p(x)<0, 所以(x)在(0，x)、(x2,四上单调递增，在(，七，)上单调递减， 又因为0==0.}个}=0.=s=0, 所以当x∈(0, 时，对>0：当r径时、<0， 所以h(x)在 上单调递增， 在π上单调递减。 所以h(x)n=min{h(0),(元}，而h(o)=0,h(四=0，所以h(e)n=0,所以h(≥0，所 以f(x)≥0. 4.已知函数f(x)=al血n(x+1),g(x)=xf(x) (1)若a>0,求8(x)的单调区间： (2)若e-1≥f(x),h(x)=g(x)-cosx (i)求a;(i)函数h(x)图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的 组数： 若不存在，请说明理由。 【解析】(1)当a>0时，g(x)=f(x)=an(x+1), 8)-=a[h+1+中ah+1十>-1).则g)为增函数，又g0)-=0. 当x>0时，g'(x)>0,g(x)在(0，+o)上为增函数，当-1<x<0时，g(x)<0,g(x)在(-1,0) 上为 减函数，.g(x)的单调递增区间为(0，+o),单调递减区间为(-1,0)： (2)(i)e-12f(x)即e-1≥adln(x+1)(x>-1), 当a≤0时，若-1<x<0,则n(x+1)<0,an(x+1)≥0，且e*-1<0,不等式不成立， 当a>0时，令G(y)=e-1-a血(c+10(x>-),gx)=e-a- (x+1)e*-a x+1 x+1 令m(x)=(x+1)e-a,则m(x)=(x+2)e>0,(r)在(-1，+o)上为增函数，m(-1)=-a<0, >-1,。0c+1)e-a1a-+）ae e e m>+）-a,又m(ae-1)>0且e-1>-1,则m在(-1，+四)上有且仅有一个零点 e X0, 当x>6时，(x)>0,G(x)>0,在(，+w)上G(x)为增函数， 当-1<x<x。时，n(x)<0,G(x)<0,G(x)在(-1，x)上为减函数， 则函数在x=x处取得最小值G(x),G(x)≥0， 又G(0)=0,则此时必有x。=0,所以m(0)=0,解得a=1; (i)由(i)知，g(x)=xn(x+1),假设存在关于原点对称的点， 设点P(m,n)为函数h(x)图象上的点，则P(m,n)关于原点对称的点为P'(-,-n), mln(m+1)-cosm=n ,→mnm+1-2co3u=0,设函数 -mln (-m+1)-cosm=-n 1- F(m）=mnm+1-2cos(-1<m<1, 1- F(-m）=-mihn+1-2cos(m）=mn+m-2cosm=F(m）,Pm）为偶函数， 1+ 1- 当0≤m<1时，m)n22sm,+1-4m+22e 1-m1-m1-m :n+1≥0，则F'(m)≥0，所以函数F(叫为增函数，F(m)≥F(O)=-2, 1-m )-n3-2号ao号传写传m0,即方层侧-0 上有唯一解， 综上可知函数y=g(x)-cosx图象上存在唯一一对关于原点对称的点.