湖南长沙市长郡中学2026届高三数学微专题（1）导数的几何意义、恒成立问题、导数与不等式

长都中学2026届高三数学微专题（1) 导数的几何意义、恒成立问题、导数与不等式 课堂热身： 1.已知实数6y满足：5=7-2”，则() A.x≥1 B.y≥1 C.(x-1)(y-1)≥0 D.(x-1)y-1)≤0 2.(多选)已知函数f(x)=e,g(x)=lnx,其中e为自然对数的底数，则下列说法 错误的是() A.函数y=f(x)-eg(x)的极值点为(1，e) B.曲线y=∫(x)与y=g(x)有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于2 C.若x>0时，f()-2g(x)≥x(x-k)恒成立，则k≥ D.若x∈R,x2>0时f(x)=g(x2),则x2-x≥e 典例分析： 例I.已知函数f(x)=e-ax+sinr(a∈R). (1)若a=1,求证：f(x)>0；(2)若a=0,求证：f(x)在(-元，+∞)上恰有两个零 点： (③)若不等式/(22sr对任意的x引恒成立，求a的值. 例2.（备选)已知函数f(x)=2nx-（(a+1)x2-2+1（a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数f(x)有两个零点x,x2.(i)求实数a的取值范围；(ii)求证： 1 X1+2>2 a+l长都中学2026届高三数学微专题（1) 导数的几何意义、恒成立问题、导数与不等式 课堂热身： 1.已知实数xy满足：5=7-2，则() A.x≥1 B.y≥1 C.(x-1)(y-1)≥0D.(-1)y-1)≤0 【解析】因为5>0，所以7'-2”>0，即7P>2y,所以y>0, 设f(y)=7'-2'(y>0),求导得f'(y)=ln7.7'-n22', 因为n7>ln2>0,7>2">0,因此f'(y)>0,即f(y)在(0，+∞)上是单调递增. 若y=1,则f①)=7-2=5，对应5=5，得x=1,此时(x-10y-1)=0; 若y>1,由fy)单调递增得fy)>f1)=5,即5>5=5， 又g(x)=5是增函数，故x>1,此时x-1>0,y-1>0,得(x-1)(y-1)>0: 若y<1,由fy)单调递增得f(y)<f(1)=5得5<5，解得x<1,此时(x-1)(y-1)>0: 综上，所有情况都满足(x-1(y-1)≥0，选C. 2.(多选)已知函数f(x)=e,g(x)=nx,其中e为自然对数的底数，则下列说法错误的是 （) A.函数y=(x)-eg(x)的极值点为(1，e) B.曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于2 C.若x>0时，f()-2g(x)2x(-k)恒成立，则k≥ e D.若x1∈R,x2>0时f(3)=g(x2),则x2-x1≥e 【解析】对于A,函数的极值点是使函数取得极大值、极小值的x值，A错误： 对于B,令公切线与曲线y=f(x)相切的切点为(x,),与曲线y=g(x)相切的切点为 (s,In s), 而f=cg 则曲线y=f(x)在(x。,eo)处的切线：y-eo=eo(x-x),即y=ex+(1-x。)e, 曲线y=g)在(G,n)处的切线：y-ns=（x-),即y=x+ny-l, 1 [e*=1O 则 ,由①得x。=-ln5,代入②可得slns-lns-s-1=0, (1-x)eo=lns-1② 令函数同)=sh-h-5-山，求号得o)-las 显然证数0在Q+上单调造塔，而90=-1<0p0)=h2一山4-1>0， 则存在，∈1,2)，使得9心)=0，即有血，=1 当0<5<5时，p'()<0,p(递减；当5>5。时，p(s)>0,p()递增， e0.=96)-h,-n5-1=-0,面ple1e>0fe=e-3>0 因此函数p(有2个零点，即方程sS-ns-5-1=0有且只有2个不等的正根5,52(S<S2), 于是曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有两条公切线，与曲线y=g(x)相切的切点为 (s,ln5),(s2,h52), 而曲线y=f()与y=g(x)关于直线y=x对称，则两条公切线关于直线y=x对称， 与曲线y=f(x)相切的切点为(hS,S),(lns2,S2),两条切线斜率的积为 n-52.n52-=1, s -In s2 52 -In sy B错误； 对于C,x>0时，f(x)-2g(x)≥x(x-k)恒成立， 即x>0,e-2lnx≥x2-kx恒成立，即x+e≥x2+lnx2=lnx2+ea恒成立， 函数y=x+e在R上单调递增，于是≥nx对x>0恒成立，即k≥2血x恒成立， 令)=2血x,x>0,求导得M=20-血9 x2 当0<x<e时，t(x)>0,(x)递增：当x>e时，t(x)<0,u(x)递减， 9=⊙2，因此k≥2，C正确 e 对于D,令f(x)=g(x2)=t>0,则x1=l1nt,x2=e, 令h=-=c-ht,显然0=e-在0，+o∞）上单调递增， 而h[-=e-2<0n0=e-10,则禺e行度得a6)-0,即e=, 在(0，t)上，h()<0,h(t)递减；在(t,+o)上，H()>0,h(t)递增， 从而M@的最小值为化)=e-血t-+, 12 2 即2<元+。<2，从而2<，)大号C,从而不一定有名-名2e,D错误：故选ABD, 典例分析： 例1.已知函数f(x)=e-ac+sinr(a∈R). (1)若a=1,求证：f(x)>0; (2)若a=0,求证：f(x)在(-兀，+o)上恰有两个零点： (3)若不等式f(x)≥2-cosx对任意的x∈ ππ 2’4 恒成立，求a的值. 【解析】(1)证明：若a=1,则f(x)=e-x+sinx≥e-x-1,当且仅当sinx=-1时等号成 立， 令g(x)=e-x-1,所以g'(x)=e-1,所以当x<0时，g'(x)<0, 当x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时，等号成立，又等号不能同时取到，所以f(x)>0. (2)证明：若a=0,f(x)=e+sinx,所以f'(x)=e+cosx, 当x≥0时，e≥1，cosx≥-1，所以f"(x)=e+cosx≥0 当-元<x<0时，记p(x)=f'(r)=e*+cosx,,sinx<0'.p'(x)=e*-sinx≥0， 故∫"(x) 在（-元0) 上 单调递 增 e.-od )co. 所以e-习引 使得f(x)=0, 所以当-π<x<x时，f'(x)<0,当。<x<0时，f'()>0, 所以f(x)在（-元，x)上单调递减，在(：，+∞)上单调递增，又 1u周到-e4m到eik0 又f(-)=e+sin(-)=e">0,所以f(x)在（仁兀，x)上恰有1个零点； 因为f(0)=1>0,所以f(x)在(x,0)上恰有1个零点.综上，f(x)在(-π，+∞)上恰有两个 零点 (3)若不等式f(x)≥2-Cosx对任意的x∈ ππ 2’4 恒成立， 即ex-ax+sinr+cosx-2≥0对任意的x 「元π 2'4 恒成立，令 h(x)=e*-ax+sinx+cosx-2,xE 「ππ 2'4」 又h(0)=0,所以当x=0时，h(x)取得最小值. 因为h'(x)=e-sinr+cosx-a,则x=0为函数h(x)在 兀兀 2'4 上的一个极小值点， 所以1(0)=0，即e°-sin0+cos0-a=0,解得a=2 下面证明：当a=2时，0为函数在牙上的一个极小值点 因为h(x)=e-sinr+cosx-2,令u(x)=h(x),所以t(x)=e*-cosx-sinr, 令=(.所以闭cm=e+（- 当[子0时，n)-Les1所以p四s0, 当0时.5m-1,。21.所以9≥0， 网在[于0上河电藏，非县河腿，即)在子0年链法，在 [0,上单调递增， 所以t(x)≥(0)=0，所以u(x)即h(x)在 一上单调递增， 兀兀 又h'(0)=0,所以当x∈ 受0}时（≤0恒成立，此时）单调通减。 当x0引时，(920恒成立，此时()单调递增， 所以=0为酒效)在受 上的一个极小值点. 综上，a的值是2. 例2.已知函数f(x)=2lhx-(a+1)x2-2a+1(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数∫(x)有两个零点x,x2· (i)求实数a的取值范围；(i)求证：x+x2>2 1 【解折】1Df定义域为@+，f国-名-2a+x-2a=2+[a+1-] ①当a≤-1时，有f'(x)>0恒成立，(0，+o)是函数f(x)的单调增区间，无递减区间； ②当a>-1时，由f'(x)>0,解得x∈ 由f'(x)<0,解得x∈ at，故函 1 数f(x)的增区间0 1） 1 、a+1 减区间是 a+1+o0 综上：当a≤-1时，函数f(x)的单调增 区间为(0，+m):当a>-1时，函数fy的单调增区间0a中 单调减区间是 品 (2)(i)由(1)知：当a≤-1时，f(x)在(0，+o)上单调递增，函数f(x)不可能有两个零 点； 当a时，因为o点上霜，在公点+上滋减。 a+1 因为f(=2h-(a-10f-2+1<2n-2a-1,故/e）2加e241-32<0, 设h(x)=hx-x+1,x>0, 则()1=1，当0<x<1时，N>0,当x>I时，M<0,故)在x=1处 x 取得极大值， 也是最大值，(a=h0)=0,所以nx≤x-1,故nx<x号 倒=2h-a+Ir-2m+1<2-}g+12-2m1=a413, 202则20-10 因此，医使面数/)且阿个零点，只稻/>0， 即2-a+广-210，，a0， a+1 令g四=2血(x+1)+(x>-1),因为g'(x)= 1 ->0 x+1 x+1(x+1) 所以函数8(x)在(-1，+o)上是单调递增函数， 又g(0)=0,故不等式2n(a+1)+a<0的解为a∈(-1,0)， a+1 因此，使求实数a的取值范围是：a∈(-1,0). 中1,2 (i)因为-1<a<0,所以1 2 >2 下面先证明x+x,> a+l Va+l a+1 根据(1)的结果，不妨设0<x< 2 a十戈，则只需证明x> a+1t, 因为f(x)在 )时单调避，且。点后0》 下是只满证明)>2品小因为f)=.所以小品，小0， 记 -x a+1 4 4 4(a+1)> 4a+)=C (a+1)x. 2 a+1-x (a+1) (1月 a+1 所以F(x)在 单，则P=】 1 =0 即证得x+x2 a>2 1 原命题得证 Va+l 【点睛】极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用 对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择