专题1 课时作业5 曲线的切线与公切线-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业5曲线的切线与公切线 (分值：80分) 1.(5分)(2025·山东聊城一模)曲线y=xlnx在x= 4.(5分》若曲线f(x)=kT+1和g(r)=nx在公 1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( 共点处的切线互相垂直，则k= A.4 B.3 A.2 B.1 C.1 0. C.-1 D.-2 2.(5分)(2025·河北秦皇岛一模)已知曲线C:y= 5.(5分)(2025·湖北随州一模)曲线f(x)=1nx一 e十x在点P(xoyo)处的切线l与直线'：y= 1与g(x)=ln(x一1)的公切线的斜率为() 2x一1平行，则1与1'之间的距离为 ( ) A.1 B.-1 A.6 5 C.e D.-e c 6.(5分)(2025·重庆江北区一模)过原点且与曲线 3.(6分)(2025·山东烟台一模)已知A(台，m)为抛 y=xsin x相切的直线有 () 物线y2=2x(p>0)上一点，若过点A且与该抛 A.1条 B.2条 物线相切的直线交x轴于点（一2,0），则p的值为 C.3条 D.4条 ( A.1 B.2 C.4 D.8 7.(5分)曲线y=3+lnx与曲线y=er的公切线的 斜率为 (横线下方不可作答) 167 专题一 函数、导数 ■ A或 B.e或e C.曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y= x+1 C.1或e D.1或e D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有 且只有2条 8.(5分)若两曲线y=lnx与y=a.x2十1存在公切 11.(8分，多选)(2025·黑龙江大庆二模)若两曲线 线，则正实数a的取值范围为 y=x2一1与y=alnx一1存在公切线，则正实 数a的取值可能是 () A.,7e B.(0,2e] A.1 B.e c[,+) C.2e D.6 D.[2e,+∞) 12.(5分)(2025·浙江杭州二模)曲线y=3在点(0， 1)处的切线方程是 得分 9.(8分，多选)已知函数f(x)=x3一3x2十1的图象 在点(m,f(m)处的切线为lm,则 A.1m的斜率的最小值为一2 B.1m的斜率的最小值为一3 13.(5分)(2025·山东泰安二模)若曲线f(x)=e一 C.l。的方程为y=1 a.x与直线y=x相切，则实数a的值为 得分 D.11的方程为y=9x十6 14.(6分)若曲线y=kx1(k<0)与曲线y=e有 10.(8分，多选)已知函数f(x)=e,则下列结论正 三条公切线，则k的取值范围是 得分 确的是 ( A曲线y=f(x)的切线斜率可以是1 B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是-1 红对勾讲与练 168 高三二轮数学 ■■f'(x)=e1-1>f'(1)=0(x> 1),所以函数f(x)在(1，十∞)上单调 递增，所以f(1.2)>f(1)=0,即 e.2-1-ln1.2>0,所以a>c:令 gx)-1b士1-0-z)x> 0),令t=+1,t>1,令h()= 1+-1ú>1D:期)=号 =1-)>0>0所以画 数h(t)在(1，十∞)上单调递增，所以 h(t)>h(1)=0,所以g(x) n-(-)>0x>0. 故ln 8-(1-8)>0,脚1n1.2> 片所以c>b,综上所述，b<C<@ 故选B 9.AD令g(x)=x2f(x),.当x>0 时，xf'(x)+2f(x)>0,.当x>0 时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)= x[xf'(x)+2f(x]>0,g(x)= x2f(x)在(0，十o∞)上单调递增.又 f(x)是定义在R上的奇函数，y=x 是定义在R上的偶函数，g(x) = x2∫(x)是定义在R上的奇函 数，g(x)是增函数.由g(2)> g(1),可得4f(2)>f(1),故 A正确： 由g(-1)>g(- 2),可得f(-1)> 4f(-2),故B错误；由g(4)>g(3), 可得16f(4)>9f(3),故C错误；由 g(-2)>g(-3),可得4f(-2)> 9f(一3)，故D正确.故选AD. 10.CD )-26）周 g'(x)= cosx·f(x)+sinx·f(x) cos'x 因为cosx·f'(x)+sinx·f(x)< 0,所以g'(x)<0,则g(x)=f(x） cos 在(0，)上单调递减，所以g(）< s()s(T)<s() 由 ()小（信），可 cOs 3 即 故 3 2 2 f()>f(5),故B错误，C正 确；由g(于)<g(5),可得 ()()() 即 cos cos 6 √2 2 5 .所以豆传）>（得） 2 故A错误，D正确.故选CD. 11.AC依题意，令函数f(x)=ln, 求导得f'(x)=1-nx,当0< x<e时，f'(x)>0,当x>e时， f'(x)<0,函数f(x)在(0，e)上单 调递增，在(e,十∞)上单调递减， f(x):=fe=1.对于A,lhn3< e 3n2=2n5<V51n2台nv5< √3 ,2.由3<2<e,得f3) f(2),A正确：对于B,ln元<√。 n匠<lne,由e<反<e,得 e f(We)<f(√π)，B错误；对于C,由 f(16)<f(5),得血6< /16 n压，即n16<1n15,即n2< W√15 √15 n15,则n2<15. √/15ln2< 15 /15 1n15,即1n2<1n15,因此2< 15,C正确；对于D,由f(e)>f(2), 8 .3 9之·1n2 2 e e C,因此3eln2<8,D错误.故选AC. 8 12.() 解析：：f(x)<f'(x)tanx, ..f'(x)sin x-f(x)cos x >0,x E (0,）,令gx)= f(x) ,x∈ sin x (0,)…g'(x)= f'(x)sin r-f(a)cos 0. sinx “g)在(0，)上为增画数，由 f(x)>sinx,得fx) sin z >1= ( ,即gx)>8(）dx> sin 6 6又0<x<2 6 <x< 受“不等式的解桑是（后，） 13.b<c<a 解析：因为y=f(x)是奇函数，所以 f(一x)=一f(x),令g(x）= xf(z),g(-x)=-zf(-x)= -x[-f(x)]=xf(x),所以 g(x)=xf(x)是偶函数.因为当 x≠0时，f'(x)+fx）=g'(x)> 0,所以当x>0时，g'(x)>0,所以 g(x)=xf(x)在(0，十∞)上单调递 增.因为a=g(-2)=g(2),b= /1) 1 g2)c=g(m2）=g血2)，而 号<1h2<2.所以6<c<a, 14.(-°，-3)U(0,3) 解析：因为y=f(x),y=g(x)分别 是定义在R上的奇函数和非零偶函 数，所以f(一x)=一f(x), g(-x）=g(x),令h(x)=fx ,则 g(z) f(-x) h(一x）= f(x) g(-x) g(x) 一h(x),因此函数h(x)在R上是奇 函数.因为当x<0时，h'(x) f(x)g(x)-f(x)g'(x) >0,所以 [g(x)] h(x)在（一∞，0）上单调递增.又函数 h(x)在R上是奇函数，所以h(x)在 (0,+∞)上单调递增，且h(0)= f(0) =0.因为f(3)=0,所以 g(0) f(-3)=-f(3)=0.因为h(-3)= f(-3) g(-3) =0,h(3)= f(3) =0,所以 g(3) 当x<-3时，h(x)= f(x) g(x) <0, 当-3<x<0时，h(x)= f(x) g(z) 0,当0<x<3时，h(x)= f(x) g(x) 0,当x>3时，h(x)=fx) g(x) >0,所 以〉三0的解集是一©©·3)U (0,3),即f(x)g(x)<0的解集是 (-∞，3)U(0,3). 课时作业5曲线的切线与公切线 1.D对函数y=xlnx求导得y'= lnx十1，故所求切线斜率为k=ln1十 1=1,切点坐标为(1,0)，所以曲线 y=xlnx在x=1处的切线方程为 y=x一1，该切线交x轴于点(1,0)， 交y轴于点(0，一1)，因此曲线y= xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所 国成的三角形的西积为号×]P=日 故选D. 2.B 由题意y'=e+1,切线l的斜率 为2，则e0十1=2，得x。=0,故y。= e0十x。=1,故切线l的方程为y一 1=2x,即2x-y+1=0,直线l':y= 2x一1，即2x-y一1=0，故两直线的 距离为d=1-(-1)1 2w5 /22+(-1) 故 选B. 3.C由抛物线的对称性，不妨令> 0,由y=√2p.x,得y'= √2px √品，所以切点为A的切线斜牵为 k=1,则切线方程为y=x十2，故 m=号+2.又m2=2p×号=p, 即m=p(负值含去)，则号十2 p→p=4.故选C. 4.C由函数f(x)= kx十1」 和g(.x)= n.可得了)=-是8) 1,设两曲线公共点的横坐标为，可 参考答案 343 得f)=-g)=因为公 共点处的切线互相垂直，所以 f'(t)g'(1) -1,即=1，解得1 = 1,又由f(1)=g(1),可得k十1=0， 解得k=一1.故选C. 5.A因为f(x)=lnx-1,则'(x) ,设切点坐标为(a,lna-1)a>0, 切线斜率为飞1=上，可得切线方程为 y-(na-1=(-a),即y a Lx-2+lna.因为g(z)=n(x- 》,别g)=设切点坐标为 (b,ln(b一1))，b>1,切线斜率为k2= 1 b二】，可得切线方程为y二ln0 b二x-b),即y=6 1)= b +ln(b一1).由题意可得 b b -2+In a -6-1 +ln(b-1), 解得 =1,所以公切线的斜率为 b=2, 1 =1.故选A. a 6.C设切点为(x。,rosin x。),因为曲 线y=xsin x,所以y'=sinx十x· cosx,所以切线方程为y一rosin x。= (sin o十ZoCOS Zo)(x-xo).又切线过原 点，所以把(0,0)代入得rcos x。=0,所 以x。=0或c0sx0=0,当x0=0时， 切线斜率为0，所以切线方程为y一 0=0(x-0),即y=0:当x0= 元 + 2kπ，k∈Z时，切线斜率为1，所以切线 方程为y一0=1(x一0)，即y=x;当 十2kπ，k∈Z时，切线斜率 2 为一1，所以切线方程为y一0= -1(x一0)，即y=一x.所以切线有 3条.故选C 7.B对于y=3+lnry'=1,设切点 为(x1,3十lnx1),则切线斜率k1= 1,可得切线方程为y-(3+H血x)= 1(x-x1),即y=1x+2+1nx1: x 对于y=e“,y'=e·er=er+H,设切 点为(x2,e2),则切线斛率k2= ex2+1 e ,可得切线方程为y一e er2十1 2十1 (x-x2),即y=e e:1-er,》.由题意可得= +1 2+lnx1=e“2(1-exz),由 e 2=1,-ex:=1+ 可得e ex1 nx1,则2+lnc1=1(2+Hnc,),整 344 2对闪讲与练·高三二轮数学 理可得(ex1一1)(2十lnx1)=0,解得 x1=e或x1=e2,所以公切线的斜 率为e或e2.故选B. 8.C设公切线与曲线y=lnx和y= a.x2+1的交点分别为(x1,lnx1), (x2ax十1)，其中x1>0,对于y= lnx,得y'=】,则与曲线y=nx相 切的切线方程为y一lnx1= 1(x x1),即y= 1·x+1nx,-1:对于 T y=ax2十1，得y'=2ax,则与曲线 y=ax2十1相切的切线方程为y (ax十1)=2a.x2(x-x2),即y= 2axx-ar+1.由公切线，得1 2ax2,lnx1-1=-ax十1，有 4a.x1 =lnx:-2,即 =2xi-xilnx (x1>0),令g(x)=2x2-x21nx (x>0),则g'(x)=3.x-2xlnx= x(3-2nx),令g'(x）=0,得x= e2,当x∈(0，e)时，g'(x）>0, g(x)单调递增，当x∈(e,十∞)时， g'(x)<0,g(x)单调递减.所以 g)=ge)=e,故≤ Aa 1 1 2e,即a≥2e.故选C 9.BCD因为f'(x)=3x2-6x= 3(x-1)2-3≥-3，所以1m的斜率的 最小值为-3.因为f(0)=0,f(0)=1, 所以l。的方程为y=1.因为f'(一1)= 9,f(-1)=一3，所以1-1的方程为y十 3=9(x+1),即y=9.x+6.故 选BCD. 10.AC因为函数f(x)=e,所以 f'(x)=e.对于A,令f'(x)= e=1,得x=0,所以曲线y=f(x) 的切线斜率可以是1，故A正确；对于 B,令f'(x)=e=-1,无解，所以 曲线y=∫(x)的切线斜率不可以是 一1，故B错误；对于C,因为点(0,1) 是切点，所以f'(0)=1,所以切线方 程为y一1=x,即y=x+1,故C正 确；对于D,设切点为(x0,e”),则切 线方程为y-e0=e0(x-xo),因 为点(0,0)在切线上，所以e。= xoe0,解得x。=1,所以过点(0,0) 且与曲线y=f(x)相切的直线有且 只有1条，故D错误.故选AC. 11.ABC设两切点分别为A(x1x1 1),B(r2 ,aln x:-1),y=-1 与y=alnx-1分别求导得y'= 2xy=日，所以切线斜率分别为 k,三2xk:三故在点A处的切线 方程为y-(xi一1)=2x1(x一x1),整 理得y=2x1x一x-1,在点B处的切 线方程为y-(alnx2-1)=a(z x2),整理得y :ax-atalnx:-1. 所以 2x1= ℃2 解 -x号-1=-a+alnx2-l, 得a=4x(1-lnx2),构造函数 f(x)=4x2(1-1nx),f'(x)= 4x(1-2lnx),令f'(x)>0,解得 0<x<N e,令∫'(x)<0,解得x> ,故f(x)在(0We)上单调递增，在 (√E,十∞)上单调递减，故f(x)mx= f(We)=2e,因为正实数a>0,所以 a的取值范围是(0,2e].故选ABC. 12.xln3-y+1=0 解析：由题意得y'=3ln3,则曲线 y=3在点(0,1)处的切线斜率k= ln3,所以曲线y=3在，点(0,1)处的 切线方程是y-1=ln3·(x一0)，所 以切线方程为xln3-y十1=0. 13.e-1 解析：设切点为(xo,e0一axn),由 f(x)=e'-ax,f(x)=e*-a, 故切线斜率1=e0-a,由直线y=x 可知切线过点(0,0)，故 Jo 1, c0一axe=e0一a,解得x0 e Zo 1,∴.a=e-1. 4(o 解析：设公切线为l,P(x1,y1)是l与 曲线f(x)=kx的切点，由 x)=kx·得产（远）三设 Q(x2,y2)是l与曲线g(x)=e的 切点，由g(x)=e,得g'(x)=e, 所以1的方程为y一y1= (x一 x 飞，整理得y 一k x1),由y1= 1 2k .同理y-y=e?(x-x2),由 y2=e2,整理得y=e2x十e(1 x2).依题意两条直线重合，可得 k =e 2k 消去x1,得 工1 =e2(1-x2), 4k=一e2(x2-1)2,由题意知此方 程有三个不等实根，设h(x)= 一e(x一1)2，即直线y=4k与曲线 h(x)有三个交点，因为h'(x)= e(1-x 2),令h'(x)=0,则x= 士1，当x<-1或x>1时，h'(.x) 0,当-1<x<1时，h'(x)>0,所以 h(x)有极小值为h(-1)=一4e1, h(x)有极大值为h(1)=0.因为 h(x)= 一er (x -1)2,e >0,（x 1)2≥0，所以h(x)≤0，当x趋近 于一∞时，h(x)趋近于0；当x趋近 于十时，h(x)趋近于一∞.故 h(x)的图象如图， 所以当-4e1<4<0,即-1 k<0时，直线y=4k与曲线h(x)有 三个交点 课时作业6不等式恒成立 或有解问题 1.解：(1)当a=一1时，f(x) mx-1.f(）=0fx) xosx-simr+1,f'(）=0, 故曲线y=f(x)在点(f() 处的切线方程为y=0. (2)因为Hx∈(0x),f(x)>cosx,所 以Hx∈(0，π)，a>-sinx十 xcos x. 令g(x)=-sinx+rcos,x∈(0， π)，则g'(x)=一rsin x<0, 所以g(x)在(0，π)上单调递减， g(x)<g(0)=0,所以a≥0，即a的 取值范围为[0，十∞). 2.解：(1)函数f(x)=xlnx-a.x,求导 得f'(.x)=1+lnx-a, 由f(x)图象在点(e,f(e)处的切线 的一个方向向量为（一1，一1），可得该 切线斜率为1， 因此f'(e)=1+lne-a=1,所以 a=1. (2)由(1)知，函数f(x)=xlnx一x 的定义域为(0，十∞)， 不等式f(x)≥bx- 恒成立，即 e xlnx-x≥bx-1对x∈0，+) 恒成立， 因此b≤1nr-1十1对x∈(0，+) 恒成立， 设g(x)=lnx 一1十1，求导得 e g'(x)=11 e.x-1 er? 由g(x)≤0，得0x<；由 g'(x)>0,得x>1 则函数g(x)在(0，)上单调递减， 在（日，+∞）上单调递增，则 g()m=g()=-1,故6≤-1. 即b的取值范围是（一∞，一1]. 3.解：(1)函数f(x)的定义域为 (0,+∞)，f'(x)=a+1 _ax+1 当a≥0时，f'(x)>0,所以f(x)在 (0,十∞)上为增函数，此时函数 f(x)不存在极值. 当a<0时，由f'(x)>0,解得0< x<-,故f(x)在(0，-）上单 调递增. 由f'(x)<0,解得x>-1,故 f(x)在(，+∞）上单调递减。 此时函数f(x)在x=一】 处取得极 大值f()=-1-ln(-a),无极 小值. 综上所述，当a≥0时，函数f(x)不 存在极值； 当a<0时，函数f(x)在x=一 1 处取得极大值-1一ln(-a),无极 小值. (2)由(1)知当a≥0时，f(x)在 (0,十∞)上为增函数， 故f(x)无最大值，此时不符合题意： 当a<0时，f(x)在(0，+∞)上先增 后减，极大值也是最大值，即 f)=(）=-1-h- 易知g(x)=x2一2x十2在[0,1]上 单调递减，所以g(x)m=g(0)=2. 因为Vx1∈(0，十∞)，3x2∈[0， 1],使得f(x1)<g(x2）, 所以f(x)max<g(x)max: 即e0nl-52 解得a<一e8,所以实数a的取值范 围是（一o∞，一e3). 4.解：(1)函数f(x)= +a(In x-a) 的定义域为(0，+∞)， f'(x)=一 2 当a≤0时，对于x∈(0，十o∞)，ax 1<0,x2>0,所以'(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减. 当a>0时，令f'(x)=0,即ax1 22 1 0,则ax-1=0,解得x= a 当x∈(0）时ar-1<02>0… 所以f'(x)<0,f(x)单调递减. 当x∈(，+∞）时，ax-1>0, x2>0,所以f'(x)>0,f(x)单调 递增. 综上可得，当a≤0时，f(x)在 (0,十∞)上单调递减： 当a>0时f)在(0，)上单调递 诚：在（日十∞）上单调递悦 (2)由(1)可知，当a>0时，f(x)在 (0,日）上单洞递减，在（日，+）上 单调递增，所以f(x)在x=】处取得 最小值() f(a)=a+a(n是-a）=a aln a-a2. 因为f(x)≥(-a一1)lna恒成立，所 以f(日）≥(-a-1Dna,即a alna-a2≥(-a-1)lna. 对不等式进行化简得a一a2+lna≥0. 令g(a)=a-a2十lna,a>0,对 g(a)求导，可得g(a)=1-2a十 = -2a2+a+1 a -(2a+1)(a-1) 令g'(a)=0,即 -(2a+1)(a-1) a 0,因为a>0,所以2a+1≠0，则a一 1=0,解得a=1. 当a∈(0,1)时，g'(a)>0,g(a)单调 递增； 当a∈(1，+∞)时，g'(a)<0,g(a) 单调递减. 所以g(a)在a=1处取得最大值 g(1)=1-12+1n1=0. 因为g(a)≤g(1)=0,且g(a)≥0， 所以g(a)=0,此时a=1. 课时作业7导数与不等式的证明 1.解：(1)nx-x+a<0→a<x-lnx, 令g(x)=x-lnx,x>0, 则g'(x)=1-1=-1,令 g'(x)>0,得x>1,令g'(x)<0,得 0< 1, 故g(x)=x-lnx在(0,1)上单调递 减，在(1，+∞)上单调递增， 故g(x)=x一lnx在x=1处取得极 小值，也是最小值，最小值为 g(1)=1, 故a<1,即a的取值范围是(-∞，1). (2)证明：f(x)+x≤(x-1)e+ 1→lnx-x+a十x≤(x-1)e“+ 1,即lnx十a≤(x-1)e-+1. 令h(x)=lnx+a-1-(x-1)e“, x≥1，则h'(x)=1 -xe, 令t(x)= 1 -xe*-@: =（x+1De 成立， 故t(x)即h'(x)在[1，十∞)上单调 递减. 又0<a≤1，故h'(1)=1-e-a≤0， 敌'(x)=1-xe≤0在1，+ 上恒成立， h(x)In x+a-1-(x-1)e 在[1，+∞)上单调递减. 又h(1)=a-10, 故lnx+a-1-(x-1)c4≤0， f(x)+x≤(x-1)e+1,结论 得证. 2.解：(1)f'(x)=e-(m+1),由题意 f(0)=( f0)=0.即 }-m》=0解 得 m=0, 1. 当m=0,n=1时，f(x)=e-x一 1,所以f'(x)=e-1, 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0,f(x) 单调递减，当x∈(0，十o∞)时， f'(x)> 0,f(x)单调递增， 所以f(x)在x=0处取得极值 所以m=0,n=1. (2)①当n=1时，f(x)=e-(m+ 1)x-1, f'(.x)=e-(m+1),所以f'(t) e'-(m+1)=1, 又f(t)=e-(m+1)t-1=0, 所以(m+1)(t-1)=0,解得m=-1 或t=1. 若m=-1,f(x)=e-1只有一个零 点，不符合题意，舍去，所以t=1. 参考答案 345