精品解析：广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高二年级期中学业质量检测数学试题

惠东县2025-2026学年第二学期高二年级期中学业质量检测 数 学 试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔直接将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 2. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，因为，所以，在上单调递减， ，的解为， 即的解为，即的解为， 解为. 故选：D 7. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于2023的个数为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 【答案】D 【解析】 【详解】当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求为41. 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由概率之和为1可得，A正确， ，B错误， ，C正确， ,D正确. 10. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当 时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A对； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 【答案】18 【解析】 【分析】根据区域种花情况，分两类情况求解，根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法. 故答案为：18 13. 二项式的展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项式定理的展开式的通项公式计算可得. 【详解】由二项式，所以展开式的通项公式. 令，得，所以常数项为. 故答案为： 14. 已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分别讨论和时函数的单调性，求出最值，画出函数图象，根据函数的零点个数与和图象交点个数的关系，确定的取值范围. 【详解】当时，，则， 令， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，，当. 当时，，则， 令， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 当时，，，当， 作出函数的图象如图所示． 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点， 由图知，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 ①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. 【小问2详解】 ， 则 . 16. 某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： （1）这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; （2）这袋垃圾存在违规混投的概率; （3）若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【小问1详解】 设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，，  可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. 【小问2详解】 由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接． 因为四边形是菱形，所以， 因为分别是的中点，所以，所以． 由，得， 而平面平面，平面平面平面， 故平面,又平面，所以． 又，平面，所以平面． 而平面，故． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形和平行关系可得，由面面垂直可得平面，从而可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，故可得． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知为正三角形，而，故， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 则， 于是． 设平面的法向量为， 则即，可取． 设直线与平面所成的角为， 则． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性； （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知：， 若，，在上单调递增； 若，令解得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； 【小问2详解】 依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为点A，B，且，椭圆C离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A、B），直线，的交于点Q，求证：点Q在直线上． 【答案】（1） （2） ①若直线l的斜率不存在时，如图， 因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是． 所以点M的坐标是，点N的坐标是． 所以直线的方程是，直线的方程是， 所以直线，的交点Q的坐标是， 所以点Q在直线上. ②若直线l的斜率存在时，如图，设斜率为k， 所以直线l的方程为， 联立方程组， 消去y，整理得， 显然．不妨设，， 则， 所以直线的方程是．令，得， 直线的方程是． 令，得， 所以， 其中分子 ， 所以点Q在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴长列方程组求解即可； （2）先直接计算直线l的斜率不存在时的情况，然后直线l的斜率存在时，设，与椭圆联立，写出韦达定理，写出直线AM和BN的方程，求出时的值，作差，整理后代入韦达定理计算即可. 【详解】（1）因为，椭圆C离心率为， 所以，解得，， 所以椭圆C的方程是. （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠东县2025-2026学年第二学期高二年级期中学业质量检测 数 学 试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔直接将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于2023的个数为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 13. 二项式的展开式中的常数项为__________. 14. 已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 16. 某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： （1）这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; （2）这袋垃圾存在违规混投的概率; （3）若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为点A，B，且，椭圆C离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A、B），直线，的交于点Q，求证：点Q在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $