精品解析：广东省惠州市惠东县2024-2025学年高二下学期4月期中学业质量监测数学试题

惠东县2024-2025学年第二学期高二年级期中学业质量监测 数学 （2025.04） 试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 可以表示为( )． A. B. C. D. 3. 函数在[0，π]上的平均变化率为 A. 1 B. 2 C. π D. 4. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　） A. 甲赢三局 B. 甲赢两局 C. 甲、乙平局两次 D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 5. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 7. 已知函数有且仅有两个零点和2，且又是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 8. 对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A. 是的零点 B. 1是的极值点 C. 3是的极值 D. 点在曲线上 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 10. 函数导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 11. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 、为对立事件 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________. 13. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是__________. 14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设随机变量的分布列为，求： （1）； （2） 16. 已知函数． （1）求单调区间； （2）求在上的最小值和最大值． 17. 汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为：． （1）求汽水温度x在处的导数； （2）已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数． 18. 某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． （1）求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； （2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 19. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取. （1）求和； （2）求和关系； （3）证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠东县2024-2025学年第二学期高二年级期中学业质量监测 数学 （2025.04） 试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的除法公式即可求得结果. 【详解】. 故选：B. 2. 可以表示为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒ 【详解】＝， 故选：C﹒ 3. 函数在[0，π]上的平均变化率为 A. 1 B. 2 C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】平均变化率为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 4. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　） A. 甲赢三局 B. 甲赢两局 C. 甲、乙平局两次 D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由的得分为，结合选项，即可求解. 【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 则有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D. 5. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数法求出切线方程，再求出截距，即可求所围三角形面积. 【详解】，在点处的切线为，截距分别为，故切线与坐标轴所围三角形的面积为. 故选：D 6. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式来求得正确答案. 【详解】依题意，教授迟到的概率为. 故选：C 7. 已知函数有且仅有两个零点和2，且又是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出的解析式，然后利用导数求得的极小值. 详解】由题意可设， 求导， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以在处取得极小值． 故选：D． 8. 对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A. 是的零点 B. 1是的极值点 C. 3是的极值 D. 点在曲线上 【答案】A 【解析】 【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A． 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 11. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 、为对立事件 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解. 【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案. 【详解】由可得，设切点坐标为， 所以切线斜率，又因为， 则切线方程为， 把代入并整理可得，解得或. 故答案为：或 13. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合，即可求解. 【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动， 随机变量男生人数的可能取值为，则. 故答案为：. 14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【解析】 【分析】考虑当为偶数时，个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设随机变量的分布列为，求： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分布列的性质可得，即可求解. （2）根据即可求解. 【小问1详解】 由题意知， ，解得， . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最小值和最大值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解单调性， （2）根据函数的单调性，求解极值和端点处的值，即可求解. 【小问1详解】 所以， 令，解得或，令，解得， 所以的增区间为，减区间为； 小问2详解】 令，解得或， 由（1）得单调递增，单调递减，单调递增， 又， ， ， ，所以 17. 汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为：． （1）求汽水温度x在处的导数； （2）已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 分析】（1）求导得出，代入即可得出答案； （2）由已知得出，将代入即可得出y关于t的函数解析式；求导即可得出导函数. 【小问1详解】 求导可得， 所以，汽水温度x在处的导数为. 【小问2详解】 由可得，， 所以，. 求导可得，. 18. 某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． （1）求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； （2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果. （2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列. 小问1详解】 从6名老师中选3人的方法种数有：. 数学老师多于语文老师的选法有： ①1名数学，2名英语的选法：种； ②2名数学的选法有：种. 所以数学老师多于语文老师的选法有：种. 故数学老师多于语文老师的概率为：. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为：0，1，2. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 0.2 0.6 0.2 19. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取. （1）求和； （2）求和的关系； （3）证明:. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解； （2）求出直线的方程， 直接求横截距即可. （3）借助第（2）题的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，再进行放缩得，利用不等式的性质和数列分组求和即可. 【小问1详解】 由题意得，，， ， 令，得，， ，所以， 令，得. 【小问2详解】 由题意得，， 令，得. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 由几何意义易知：， 所以， 由得，， 即，所以， 所以， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$