专题10 二次函数与几何综合10大题型（解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 10 二次函数与几何综合（解答压轴题） 模块说明： 命题预测：用精炼的语言，结合近年中考热点、常考点预测中考命题趋势 高频考法：列举该专题下高频考点或题型 命题预测 二次函数与几何综合是中考数学分值最高、区分度最大、必考压轴的核心模块，常年占据中考解答题最后一道压轴大题位置，同时频繁出现在选择、填空压轴中，综合性极强、设问角度灵活多变。抛物线背景下动点存在性、线段最值、面积探究、几何变换融合函数计算，综合题分值高、梯度设问层层递进，掌握题型规律与标准答题模板，是中考冲刺高分、拉开分数差距的关键。预计 2026 年中考命题仍将围绕解析式求解、函数性质探究、动点几何存在性、面积最值、线段最值、折叠旋转与函数融合等核心题型展开，坚持基础考性质、中档考计算、压轴考综合探究的命题方向，重点考查数形结合、分类讨论、建模运算、几何转化四大核心素养。 高频考法 题型01 抛物线上等腰三角形动点存在性 题型02 抛物线上直角三角形动点存在性 题型03 抛物线上等腰直角三角形动点存在性 题型04 二次函数背景下相似三角形存在性 题型05 抛物线上平行四边形存在性问题 题型06 二次函数中矩形、菱形、正方形存在性 题型07 二次函数与其它存在形问题 题型08 二次函数与几何变换综合 题型09 二次函数与最值模型综合 题型10 二次函数与相似、三角函数综合压轴 典例·靶向·突破 题型01 抛物线上等腰三角形动点存在性 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 2．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线 (2) (3) 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线； （2）解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； （3）解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 题型02 抛物线上直角三角形动点存在性 4．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 5．（2026·海南海口·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C，P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过动点作垂直于轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，请直接写出线段的最小值； (4)是平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段只有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入解析式即可求解； （2）分点A为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，即可得； （3）据垂线段最短，可得当时，最短，即最短，根据等积法求出即可得出答案； （4）分别把，分别代入抛物线的解析式求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得： ， 则抛物线的解析式是； （2）解：存在． 把代入得：， ∴点C的坐标为； ①当以C为直角顶点时，过点C作，交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：（舍去），， ∴， 此时， ∴的坐标是； ②当点A为直角顶点时，过A作交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是N，交y轴于点F，如图所示： 则轴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则， 解得：，（舍去）， ∴， 此时， ∴的坐标是． 综上所述：P的坐标是或； （3）解：连接OD，如图， 由题意可知，四边形是矩形，则， 根据垂线段最短可得：当时，最短，即最短， 由（1）可知，在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为； （4）解：根据解析（1）可得：， ∴抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， ∴当或时，抛物线与线段只有一个公共点． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，此时抛物线的解析式为 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得A、B两点坐标； （2）由、的长可求得，用t可表示出，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用t表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知，又，由（2）可知，，由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令，得，解得， 令，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵运动时间为t秒， ∴， ∵轴， ∴在中，，， 在中，，， ∴， ∴． （3）解：存在， ∵轴， ∴， ∵点G不能在抛物线的对称轴上， ∴， ∴当为直角三角形时，则有， 又∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， 解得， 即当t的值为秒时，为直角三角形， 此时， ∴点E的坐标为， ∵抛物线的顶点为A， ∴可设抛物线解析式为， 将点E的坐标代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． 题型03 抛物线上等腰直角三角形动点存在性 7．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． （2）过点P作轴于点H，交于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 （3）设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴，   ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 当时，， 有 解得∶(舍去)，， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度． 8．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 题型04 二次函数背景下相似三角形存在性 10．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点 (2) (3)存在，N的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后运用待定系数法求得函数解析式，然后化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）如图：过E作轴交于H，设，则，则，易得，当时，取最大值，再确定点E的坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，先求得，结合，可得，，， ， ，则，以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足或，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点B，点C， ∴令得：，令得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点． （2）解：如图：过E作轴交于H， 设，则， ∴， ， ， ∴当时，取最大值， 此时， ∴． （3）解：存在以B，P，N为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图：过P作轴于Q， 在中，令得，解得：或， ∴， ∵，， ∴，，， ， ， ∴， 以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足 或， 当时，， 解得：，即； 当时， 解得：，即． 综上，点N的坐标为或． 12．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 题型05 抛物线上平行四边形存在性问题 13．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）令，解方程即可； （2）首先求出直线，求出，然后由平行四边形的性质得到，，设，然后分两种情况讨论，分别表示出点D的坐标，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得，， ∴，； （2）解：∵直线与抛物线交于点， ∴ ∴ ∴直线 ∵， ∴ ∵以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形 ∴， ∴设 当点D在点E左边时， 将代入得， 解得或 ∴，或， ∴点的坐标为或； 当点D在点E右边时， 将代入得， 解得或 ∴，（舍去）或， ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 14．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 15．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 题型06 二次函数中矩形、菱形、正方形存在性 16．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 17．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 18．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，点的坐标为 【分析】（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， ， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 设，则， ， 由题意知， 如图，过点作，则， ， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ； （ii）由（i）可知，， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 设， 若以为顶点的四边形是矩形，如图所示， ∴四边形为矩形， ， 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， 将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为矩形，满足题意， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的判定方法和性质，平移的规律等知识，数形结合分析是解题的关键． 题型07 二次函数与其它存在形问题 19．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，D的坐标为，面积最大值为8 (3)存在，点Q的坐标为：， 【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出； （2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值； （3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过， ，解得， 所以抛物线表达式：； （2）解：令，得， 则可设直线的解析式：， 代入，得，解得，即， 设点，， 过D作轴交于， 则，， ， 这是开口向下的二次函数， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为8， 此时D的坐标为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为， ∴， 过作轴交于， 设，则， ， 又与面积相等， ，即， ，解得（与点P重合，舍去）或，此时， 或，解得或， 对应Q的坐标为：， 综上，点Q的坐标为，． 20．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求、的值； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）将对称轴，点分别代入对称轴公式和解析式，可得关于、的方程组，解方程组即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与轴交于， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点， ∴设，， ∵旋转， ∴，， 当点在轴上方时， ∵，关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作⊥对称轴于点，则：，    ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 把点代入，得 ， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：存在， 在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，则，    ∵抛物线中，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，，的最小值为． 【点睛】这道二次函数综合题，核心考查抛物线对称轴性质、旋转构造全等三角形、胡不归最值的线段转化，解题关键是几何性质代数化，以分类讨论和垂线段最短破局． 21．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在点，使得的值最大，点的坐标为 【分析】（1）根据顶点坐标设解析式为，把代入，求出可求出抛物线解析式，令，求出的值，即可求出与轴的交点，的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设，则，可得，根据平行证明，可得，利用二次函数的性质即可求出的最大值和点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线点与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 当时，， 解得：，． ∵点在点的左侧， ∴点A，B的坐标为：，． （2）解：存在点，使得的值最大，理由如下： 如图，过点P作，交的延长线于点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：． 设点的坐标为：， ∵，且点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵时，， ∴此时点的坐标为． 22．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题计算量较大，准确地计算是解题的关键． （1）根据正切的定义求得，进而得出的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，根据，得到方程，求出的值即可求点坐标； （3）设，，由，可得，，设为直径的圆的圆心为，则，则，设，根据，可得，由是定点，可知，即可求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）存在这样的点、使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得(舍)或， ∴； （3）设，， ， 整理得， ∴，， 设为直径的圆的圆心为，则， 如图，过点作，轴， ∴， ∴， 设， ， ， 整理得， 是定点， ， ． 题型08 二次函数与几何变换综合 23．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①平移次数为3；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出b，进而可求解； （2）①由题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，平移后的抛物线的顶点坐标为，进而可求得，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标即可求解； ②根据题意，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为，则平移后的抛物线的解析式为，求出时的函数值即可求解； （3）先求出抛物线的解析式，抛物线Q的解析式，进而得到新函数L，可画出草图，然后利用二次函数的性质，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； （3）解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 24．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：； （2）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，； 因此点的坐标为：； （3）∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 25．（2026·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点在直线上，其横坐标为，作射线，将射线绕点顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点，连结，以为邻边作矩形． (1)求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标； (2)连结，当轴时， ①点的坐标为_____； ②求的值； (3)设矩形的边与坐标轴相交于点，连结．过点作的垂线与矩形的边交于点．连结，当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①，② (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式求得抛物线的对称轴为直线，将代入解析式，即可得出抛物线与轴的交点坐标为， （2）①将代入抛物线解析式，即可求解； ②过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）先证明，设，分两种情况画出图形，分别得出或，得出或，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， （2）解：①当时， 解得： ， ②如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， 由题可知，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ； （3）解：∵点在直线上，其横坐标为， ∴， 设 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 当在轴上时， ∵， ∴， ∴ 设 当时， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴ 即 同（2）②可得 ∵， ∴ ∴ 解得：， 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴ ∴ 解得：， 综上所述，或 题型09 二次函数与最值模型综合 26．（2026·山东聊城·一模）小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：AI模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 (1)已知在Rt中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为__________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为__________； 【迁移运用】 (2)如下图，一次函数和二次函数，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，求最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由垂线段最短求解即可；②过点作于点，则由①可得，根据求解 即可； （2）过点P作轴，交直线于点G，可得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，那么设P的横坐标为t，则，则，再利用二次函数的性质求解的最小值，即可求解的最小值． 【详解】（1）解：①由题意得，， 由垂线段最短可得，时，取得最小值， ∵， ∴； ②过点作于点，则由①可得， 由题意得，， ∵， ∴ ∴当点三点共线，且点与点重合时，取得最小值为； （2）解：过点P作轴，交直线于点G，如图1 ∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C， 当时，得，解得 当时，得， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴ 设P的横坐标为t，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值为， ∴此时取得最小值为． 27．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)①；② (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出，求得直线的解析式为；设，则，，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，过点作轴并延长交于点，得出，则，再解直角三角形，即可求解； （3）①如图，在上截取，在轴上取点，则，根据中位线的性质可得，。证明得出，则，进而勾股定理求得，即可求解； ②过点作轴交于点，设，则，，根据三角形的面积公式得出，结合①的结论可得，则，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； （2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当在对称轴右侧抛物线上， ∴， 当时，，则， 综上所述，； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则， ∴， ∴， 在射线上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴； ②设的面积记为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ∵为抛物线上第四象限的一动点，； ∴的横坐标， 又∵， ∴， ∵， ∴，           ∴， 解得：． 28．（2024·广东广州·一模）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)作直线，点P是抛物线上一动点，作直线，当时，求点P的坐标； (3)点E为线段上一动点，当点E坐标为何值时，有最小值，并求出最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解直角三角形等知识： （1）由待定系数法即可求解； （2）当点P在下方时，证明，即，得到，即可求解；当点在上方时，则点关于抛物线的对称轴对称，即可求解； （3）过点C作直线交x轴于点T，设，过点D作交y轴于点E，垂足为点H，此时点D距离直线的距离最短，则最小，若有最小值，则，进而解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， ∴ ∴ 当点P在下方时， 设交x轴于点H， ∵， 则， 设，则，， 即， 解得：， 则点， 由点C、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点P的坐标为：； 当点在上方时， ∵， 则轴， 则点关于抛物线的对称轴对称， 则点； 综上，点P的坐标为：或； （3）过点C作直线交x轴于点T，设， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 过点作交y轴于点E，垂足为点H，此时点距离直线的距离最短， ∴最小， 若有最小值，则 即 ∴ 又， ∴， 解得，或3（舍去）， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 则， 即的最小值为：． 29．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）把点代入函数进行求解即可； （2）设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，由（1）可得，然后可得，则有，进而可得，则可求出直线的解析式为，最后联立函数关系式即可求解； （3）由题意易得，则有，，然后可得的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：， 解得：， ∴； （3）解：由题意可联立得：， 解得：， ∴， ∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图， 作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 30．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点．点是抛物线对称轴上的一动点，连接，．当取得最大值时，求的最大值； (3)将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使抛物线与射线交于，两点．点为抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）把，，代入抛物线解出即可． （）根据轴，用含的式子表示出，通过配方求出取最大值时的的坐标，再根据抛物线的对称性转化，此时,根据三角形三边关系知，当、、共线时有最大值，从而求出最大值为的长度． （）根据沿直线进行平移，设出新抛物线的解析式，从而求出直线与抛物线的交点，再根据，得到，进而得到，根据直线平移的性质可知直线和直线的相等，求出的解析式，最后求出的坐标，第二种情况是在直线下方，过作交抛物线于交轴于，使得，过作轴，根据得到，求出的坐标，再联立直线和平移后的抛物线，从而求出的坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过，， 将，代入解析式得解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：连接， 当时，， 解得，， ∵， ∴； 设直线的解析式为（）， 把，代入得解得； ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴ ． 由抛物线的对称性可知，关于抛物线的对称轴对称，且在对称轴上， ∴， ∴, 根据三角形三边关系知， ∴当、、共线时有最大值，最大值为的长度， ∵ ∴的最大值为． （3）解：①当在直线上方时，过作交抛物线于， ∵抛物线是沿直线进行平移， ∴设向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线过， ∴， 解得，（舍） ∴平移后的抛物线解析式为； 联立方程组得：， 解得，， ∵新抛物线与直线交于,两点，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∵，， ∴同法可求出直线的解析式为， 根据直线平移的性质可知直线和直线的相等， 设的直线解析式为，新抛物线上的， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∵， ∴． ②当在直线下方时， 过作交抛物线于交轴于，使得，过作轴于点． ∴， ∴, ∴， ∵, ∴， ∴, 设过的直线解析式为（）， ∴，解得， ∴的直线解析式为， 联立方程组整理得， 解得，， ∵， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了抛物线求解析式，线段的最值问题，二次函数相关的性质，三角函数角度的转化，直线和抛物线的交点坐标，抛物线的动点问题等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型10 二次函数与相似、三角函数综合压轴 31．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 32．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 33．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是 (2)①；②见解析 (3)t的取值范围为或或 【分析】（1）将二次函数整理为，令含的系数，解得，代入得，故函数恒过定点，即可判断； （2）①由为直径得，由相似三角形的性质可得，即，得，即可求出解析式；②由角度推导得全等条件，即可证明； （3）由半径为，，可得圆心到三边的最小距离为，分别计算到、的距离，结合到距离已满足，得的取值范围． 【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是． 理由如下：由题意得，， 当，即时，的值与无关， 此时，即图像经过定点； （2）解：①令，即， ， 是圆的直径， ， 又， ， ， ， ， ， 依题意，， ， 二次函数的表达式为； ②点是的中点，， ， ， ， ， ，， ， ∵， ， ，， ； （3）解：令， 解得，， ，， 令得， ； 的圆心为，半径为， 点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即； 设圆心到三边的最短距离为， ，即圆上到的最小距离为， 又∵的半径为，即， ∴圆心到、、三边的最小距离为， 当到的最小距离为时，过作于，设直线交于，则， ， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， ， 解得， 同理求得当到的最小距离为时，， 当，的取值范围为或或． 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 4．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①，在抛物线上② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 5．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为2或3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴的外接圆直径是， 则其外接圆的半径， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是， ∴直线与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 6．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 7．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10 二次函数与几何综合（解答压轴题） 模块说明： 命题预测：用精炼的语言，结合近年中考热点、常考点预测中考命题趋势 高频考法：列举该专题下高频考点或题型 命题预测 二次函数与几何综合是中考数学分值最高、区分度最大、必考压轴的核心模块，常年占据中考解答题最后一道压轴大题位置，同时频繁出现在选择、填空压轴中，综合性极强、设问角度灵活多变。抛物线背景下动点存在性、线段最值、面积探究、几何变换融合函数计算，综合题分值高、梯度设问层层递进，掌握题型规律与标准答题模板，是中考冲刺高分、拉开分数差距的关键。预计 2026 年中考命题仍将围绕解析式求解、函数性质探究、动点几何存在性、面积最值、线段最值、折叠旋转与函数融合等核心题型展开，坚持基础考性质、中档考计算、压轴考综合探究的命题方向，重点考查数形结合、分类讨论、建模运算、几何转化四大核心素养。 高频考法 题型01 抛物线上等腰三角形动点存在性 题型02 抛物线上直角三角形动点存在性 题型03 抛物线上等腰直角三角形动点存在性 题型04 二次函数背景下相似三角形存在性 题型05 抛物线上平行四边形存在性问题 题型06 二次函数中矩形、菱形、正方形存在性 题型07 二次函数与其它存在形问题 题型08 二次函数与几何变换综合 题型09 二次函数与最值模型综合 题型10 二次函数与相似、三角函数综合压轴 典例·靶向·突破 题型01 抛物线上等腰三角形动点存在性 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 抛物线上直角三角形动点存在性 4．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·海南海口·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C，P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过动点作垂直于轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，请直接写出线段的最小值； (4)是平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段只有一个公共点时，求的取值范围． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 题型03 抛物线上等腰直角三角形动点存在性 7．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 8．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 题型04 二次函数背景下相似三角形存在性 10．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 12．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型05 抛物线上平行四边形存在性问题 13．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06 二次函数中矩形、菱形、正方形存在性 16．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 17．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07 二次函数与其它存在形问题 19．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求、的值； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 21．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 题型08 二次函数与几何变换综合 23．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 24．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 25．（2026·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点在直线上，其横坐标为，作射线，将射线绕点顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点，连结，以为邻边作矩形． (1)求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标； (2)连结，当轴时， ①点的坐标为_____； ②求的值； (3)设矩形的边与坐标轴相交于点，连结．过点作的垂线与矩形的边交于点．连结，当时，直接写出的值． 题型09 二次函数与最值模型综合 26．（2026·山东聊城·一模）小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：AI模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】(1)已知在Rt中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为__________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为__________； 【迁移运用】 (2)如下图，一次函数和二次函数，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，求最小值． 27．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 28．（2024·广东广州·一模）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)作直线，点P是抛物线上一动点，作直线，当时，求点P的坐标； (3)点E为线段上一动点，当点E坐标为何值时，有最小值，并求出最小值． 29．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 30．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点．点是抛物线对称轴上的一动点，连接，．当取得最大值时，求的最大值； (3)将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使抛物线与射线交于，两点．点为抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 题型10 二次函数与相似、三角函数综合压轴 31．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 32．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 33．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 4．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 5．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 6．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 7．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $