数学广角：重叠问题（教学设计）数学人教版三年级下册（新教材）

数学广角 第1课时 重叠问题 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 数学广角 课 题 第1课时 重叠问题 一、教材内容分析 1.知识内涵 地位作用： 本课时是集合思想的初步渗透，是学生首次接触用封闭曲线（韦恩图）解决实际问题。它在小学数学“数学广角”中占据重要地位，为后续学习更复杂的容斥原理、理解集合概念及解决生活中的重叠类问题奠定基础，是培养学生抽象思维和逻辑推理能力的起始课。 内容呈现： 内容以学校科技节中三（1）班、三（2）班的航空模型比赛和机器人比赛获奖名单为情境。首先引导学生分别统计两个班级的获奖人数；接着通过“连线法”直观展示重复获奖的学生；再引入“集合图法”（韦恩图），用两个圈的重叠部分表示两项都获奖的学生；然后总结出重叠问题的三种解题方法；最后通过图形面积、数的集合、成语比赛等拓展练习巩固应用。 编排特点： 编排遵循“统计观察→连线直观→韦恩图建模→方法归纳→多元应用”的逻辑线索。从具体数据入手，通过对比三（1）班（无重叠）和三（2）班（有重叠）的差异，让学生自然产生认知冲突，再借助图形工具抽象出数学模型，符合三年级学生从具体到抽象的认知规律。 2.素养内涵 几何直观： 通过“连线法”将重复姓名连起来，再过渡到“集合图法”（韦恩图）的封闭曲线和重叠区域，将抽象的重叠关系转化为直观图形，帮助学生理解“重复部分”的意义，突破认知难点。 模型意识： 在解决获奖人数问题的过程中，逐步构建“总数 = 两部分的和 - 重叠部分”这一数学模型，并总结出三种不同的解题方法，体会数学建模的价值。 应用意识： 引导学生将重叠问题的解决方法迁移到图形面积计算、数列重叠、成语汇总等不同情境中，感受数学知识在多个领域的广泛应用。 推理意识： 通过对比三（1）班（无重叠，直接相加）和三（2）班（有重叠，不能直接相加）的计算差异，推理出“重复计算”是导致结果偏大的原因，从而得出必须“减去重叠部分”的正确结论。 二、教学目标： 知识能力： 1.经历探究重叠问题的过程，能识别生活中的重叠现象，掌握用“连线法”和“集合图法”（韦恩图）表示两个集合及重叠关系的方法。 2.理解并掌握解决简单重叠问题的三种基本策略，能正确列式计算有重叠部分的总数量。 3.在解决实际问题的过程中，发展几何直观、逻辑思维能力和初步的集合思想。 素养能力：在分析获奖名单、构建韦恩图、解决多元重叠问题的活动中，理解重叠问题的本质，发展几何直观、模型意识、应用意识和推理意识。 三、教学重点、难点： 重点：理解重叠问题的含义，掌握用韦恩图表示重叠关系的方法，学会计算总数量时减去重复部分的策略。 难点：理解重叠部分（交集）的意义，能正确运用韦恩图分析问题，将实际情境中的重叠关系转化为集合问题并正确列式解答。 教学流程 一、复习导入 【设计意图】通过趣味性的站位游戏，让学生在动态的身体参与中直观感知“既属于A又属于B”的重叠现象，制造认知冲突，激发探究欲望，为后续学习“集合图法”奠定活动经验基础。 教师活动： 准备两个彩色呼啦圈（一红一蓝）放在地上，部分重叠。 宣布游戏规则：“红圈代表喜欢唱歌的同学，蓝圈代表喜欢跳舞的同学。请喜欢唱歌的同学站到红圈里，喜欢跳舞的同学站到蓝圈里！” 观察学生的站位情况，特别是有学生站在两圈重叠处时，进行提问：“喜欢唱歌的有几人？喜欢跳舞的有几人？那么喜欢唱歌或跳舞的一共有多少人？是直接相加吗？” 学生活动： 根据自身兴趣选择呼啦圈站位。 部分同时喜欢唱歌和跳舞的学生会自然地站到两个圈的重叠区域。 思考教师提出的问题，产生困惑：“为什么总人数不是两个圈人数简单相加？”进而发现是因为有人被重复计算了。 过渡语： “生活中像这样有重复、有重叠的现象还真不少。今天我们就一起走进‘数学广角’，用数学的智慧来解开重叠问题中的小秘密！” 二、探究新知 学习任务一：观察表格，发现重叠现象 【设计意图】本任务通过教材中三（1）班、三（2）班的获奖名单，让学生经历“数一数、找一找、比一比”的过程，从感性层面认识重叠现象，并通过对比有重叠和无重叠两种情况，理解“重复”的含义。 活动1：统计获奖人数 教师活动： 出示PPT中的三（1）班、三（2）班航空模型比赛和机器人比赛获奖学生名单。 提出核心问题： “三（1）班航空模型比赛获奖的有多少人？分别是哪些学生？机器人比赛获奖的有多少人？分别是哪些学生？” “三（2）班航空模型比赛获奖的有多少人？分别是哪些学生？机器人比赛获奖的有多少人？分别是哪些学生？” 引导学生填写统计结果。 学生活动： 独立观察表格，数出： 三（1）班航空模型：6人；机器人：6人 三（2）班航空模型：6人；机器人：6人 汇报统计结果，填写PPT中的空白。 初步计算：三（1）班获奖共有12人，三（2）班获奖共有？人（产生疑问） 活动2：对比发现重叠 教师活动： 追问：“三（2）班两个比赛获奖人数也是6人和6人，直接相加也是12人。但实际总人数会是12人吗？为什么？” 引导学生仔细观察三（2）班两个名单，找出重复出现的名字。 学生活动： 仔细对比三（2）班两个名单，圈出重复的名字：杨明、罗阳。 发现：三（1）班两个名单没有重复的人，三（2）班有两个重复的人。 理解：有重复时，不能直接把两个人数相加。 学习任务二：探究图示，理解重叠模型 【设计意图：】 本任务是本课的核心。通过“连线法”到“集合图法”的递进，引导学生经历从具体到抽象的建模过程，理解韦恩图各部分的意义，掌握解决重叠问题的多种方法。 活动1：连线法——直观感受重复 教师活动： 展示PPT中的“连线法”图示。 讲解：“我们把三（2）班航空模型获奖名单写在左边，机器人获奖名单写在右边，把相同的姓名用线连起来。” 提问：“连线的名字表示什么？从连线图中你能看出什么？” 学生活动： 观察连线图，发现杨明和罗阳被连线。 回答：“连线的名字表示两项都获奖的人，他们被重复计算了。” 初步感知：重复的人被算了两次。 活动2：集合图法（韦恩图）——构建模型 教师活动： 展示PPT中的“集合图法”图示。 讲解：“我们把两项比赛获奖的学生名单分别放入两个圈中，用两个图的重叠部分表示两项比赛都获奖的学生。” 引导学生在黑板上或纸上画出韦恩图，并填入人名。 学生活动： 观察集合图，理解： 左边圈：航空模型获奖学生 右边圈：机器人获奖学生 重叠部分：两项都获奖的学生（杨明、罗阳） 尝试自己画出韦恩图，并正确填写人名。 根据韦恩图，清晰说出每一部分表示的含义。 活动3：总结解题方法 教师活动： 提问：“根据韦恩图，你能想到几种方法计算三（2）班获奖总人数？” 引导学生归纳三种方法，并板书： 方法一：两部分的和减去重叠部分。6 + 6 - 2 = 10（人） 方法二：先用一部分减去重叠部分，再加上另一部分。(6 - 2) + 6 = 10（人） 方法三：一部分（不含重叠）+ 重叠 + 另一部分（不含重叠）。(6 - 2) + 2 + (6 - 2) = 10（人） 总结对比：“什么时候可以直接相加？什么时候需要减去重叠部分？” 学生活动： 小组讨论，尝试用不同方法列式。 分享三种解题方法，理解每种方法的思路。 总结：两部分不重叠时，总数 = 一部分 + 另一部分；两部分有重叠时，总数 = 两部分的和 - 重叠部分。 3、 课堂练习 【设计意图】通过图形面积、数的集合、成语问题等不同领域的练习，让学生体会重叠问题的广泛存在，巩固所学模型，培养知识迁移能力和应用意识。 活动1：图形重叠问题 教师活动： 出示题目：两个长8厘米、宽3厘米的长方形按图的样子重叠在一起（重叠部分是边长为3厘米的正方形）。 提问：“这个图形的面积是多少？你能用今天学的方法解决吗？” 学生活动： 分析：单个长方形面积 8×3=24（平方厘米） 发现：重叠部分是正方形，面积 3×3=9（平方厘米） 列式：24 + 24 - 9 = 39（平方厘米） 回答：这个图形的面积是39平方厘米。 活动2：数的集合问题 教师活动： 出示题目：在下面的圈中填上所有适合的整数。左圈：大于50小于70；右圈：大于60小于80。 提问：“两个圈里都出现的数有多少个？请你用画图的方法表示出来。” 追问：“你还能提出其他数学问题并解答吗？” 学生活动： 独立填写两个圈中的整数： 左圈：51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69 右圈：61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79 找出重叠部分：61~69，共9个数。 提出问题并解答，如：“两个圈里一共有多少个不同的整数？” 19+19-9=29（个） 活动3：成语重叠问题 教师活动： 出示题目：小亮写出15个成语，小丽写出8个，小红写出10个。小丽写出的8个成语小亮都写出来了，小红写出的成语中有5个小亮也写出来了。 提问：“（1）小亮和小丽一共写出了多少个成语？（2）小亮和小红一共写出了多少个成语？” 学生活动： 分析第一问：小丽的8个成语全部包含在小亮的15个中，所以总数就是小亮的15个。 分析第二问：小亮和小红有5个重复，列式：15 + 10 - 5 = 20（个）。 理解“完全包含”这种特殊重叠情况。 四、课堂总结 【设计意图】引导学生回顾全课探究历程，从现象到模型，从方法到思想，进行系统梳理和反思，培养元认知能力和知识结构化习惯。 教师活动： 提问：“今天这节课，我们一起研究了‘重叠问题’。谁能用自己的话来说一说，我们学到了什么？” 引导学生从以下几个维度回顾： 我们用了什么工具来表示重叠关系？（连线法、集合图法/韦恩图） 我们学会了哪几种解题方法？ 方法一：两部分的和 - 重叠部分 方法二：一部分（不含重叠）+ 另一部分 方法三：一部分（不含重叠）+ 重叠 + 另一部分（不含重叠） 这个知识能解决哪些问题？（人数统计、图形面积、数的集合、成语计数……） 布置课后任务：绘制本节课知识的思维导图。 学生活动： 跟随教师的引导，回顾本课的学习历程和核心知识。 用自己的语言总结重叠问题的特征、韦恩图的画法和三种计算方法。 在纸上画出简单的思维导图，中心词为“重叠问题”，分支为“表示方法（连线法、集合图法）”“解题方法（三种）”“应用领域”。 五、板书设计 第1课时 重叠问题 1. 现象： 有人同时获得两项奖励（重复） 2. 表示方法： 连线法：把相同姓名连起来 集合图法（韦恩图）：用两个圈的重叠部分表示重复 3. 解题方法： 方法一：6 + 6 - 2 = 10（人） （两部分和 - 重叠） 方法二：(6 - 2) + 6 = 10（人） （一部分减重叠 + 另一部分） 方法三：(6-2) + 2 + (6-2) = 10（人）（不含重叠+重叠+不含重叠） 4. 核心公式： 总数 = 两部分的和 - 重叠部分 5. 应用： 图形面积：24+24-9=39（cm²） 数的集合：19+19-9=29（个） 成语问题：15+10-5=20（个） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $