精品解析：广东湛江市第二十一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性考试数学试题

湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期4月高一阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算以及复数虚部的定义即可得出结论. 【详解】由，则， 所以z的虚部为. 2. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，即可求解. 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选： A. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商的关系计算即可. 【详解】由,所以. 故选：C 4. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为 ，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 则. 6. 设，，是单位向量，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得，，． 7. 如图，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交于点且，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意， 所以，而三点共线，故. 8. 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，设，得到，转化为点到直线的距离为，进而求得的长. 【详解】在中，由，所以，则， 设，所以， 所以的最小值为点到直线的距离， 因为的最小值为1，所以. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为，故A正确； 对于B：因为，所以的虚部为，故B错误； 对于C：由题意知：对应的复数为，对应的复数为， 则向量，对应的复数为，故C正确； 对于D：因为实系数一元二次方程的复数根是共轭复数，所以另一个根为， 根据韦达定理：， 即，所以； ； 所以，故D正确. 10. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 11. 函数的最大值为4，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质及平移变换规律逐一判断即得. 【详解】因为的最大值为4， 所以，解得，故A正确； 则，因，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 该函数显然与不是同一函数，故C错误； 对于，当时，， 因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 13. 已知单位向量满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】， 又，为单位向量， 故，解得， 又， 所以. 14. 在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【小问1详解】 由题设，得，即， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以 故. 【小问3详解】 由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 所以的取值范围为. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： （1）角C及边c的值； （2）的最大值； （3）三角形面积的最大值． 【答案】（1）， （2）4 （3） 【解析】 【分析】(1)使用余弦定理和正弦定理求解； (2)利用基本不等式求出即可； (3)利用基本不等式求出，再利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则 由 ，得， 根据正弦定理，得， 则. 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， 即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 【小问3详解】 由（1）知，， 则， 即，得 当且仅当时等号成立， 则. 17. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，解得，此时点为线段的中点. 18. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： （1）三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【小问1详解】 因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． 【小问2详解】 三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 19. 已知函数部分图象如图所示． （1）求和的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 【答案】（1）， （2）， （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出； （2）利用整体代换求出单增区间； （3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值. 【小问1详解】 由图象可知：，所以，则， 又，，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 令，， 解得：，. 令，得，因，则， 令，得，因，则， 所以在上的单调递增区间为，. 【小问3详解】 由题意，， 则， 由函数在上存在零点， 则在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期4月高一阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 4. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，是单位向量，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 如图，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交于点且，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 11. 函数的最大值为4，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13. 已知单位向量满足，则______. 14. 在中，角的对边分别是，若，则__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： （1）角C及边c的值； （2）的最大值； （3）三角形面积的最大值． 17. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： （1）三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； （2）三棱锥的体积． 19. 已知函数部分图象如图所示． （1）求和的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $