广东湛江市第二十一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性考试数学试题

**基本信息** 湛江市高一4月数学阶段性试卷，以复数、立体几何、三角函数、向量、解三角形为核心，通过基础巩固题（如复数虚部求解）、能力提升题（如向量线性运算）、创新应用题（如圆柱与球体积关联）的梯度设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（运算推理）与语言（模型应用）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、立体几何直观图、三角恒等变换|如第2题结合斜二测画法考查空间观念| |多选题|3/18|复数性质、向量投影、三角函数图象|如第11题综合三角函数最值与图象变换| |填空题|3/15|球体积、向量模、解三角形|第12题通过圆柱盛水放球考体积应用| |解答题|5/77|向量运算、解三角形综合、函数图象|第16题三问递进考查解三角形与最值，第19题结合图象求参数范围，体现逻辑推理|

《湛江市第二十一中学4月高一阶段性数学考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B B D A ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用复数除法运算以及复数虚部的定义即可得出结论. 【详解】由，则， 所以z的虚部为. 2．A 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，即可求解. 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选： A. 3．C 【分析】利用同角三角函数的商的关系计算即可. 【详解】由,所以. 故选：C 4．A 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 5．B 【详解】，， 则. 6．B 【详解】由，，得，，． 7．D 【详解】由题意， 所以，而三点共线，故. 8．A 【分析】根据题意，求得，设，得到，转化为点到直线的距离为，进而求得的长. 【详解】在中，由，所以，则， 设，所以， 所以的最小值为点到直线的距离， 因为的最小值为1，所以. 9．ACD 【详解】对于A：因为，故A正确； 对于B：因为，所以的虚部为，故B错误； 对于C：由题意知：对应的复数为，对应的复数为， 则向量，对应的复数为，故C正确； 对于D：因为实系数一元二次方程的复数根是共轭复数，所以另一个根为， 根据韦达定理：， 即，所以； ； 所以，故D正确. 10．BCD 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 11．ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质及平移变换规律逐一判断即得. 【详解】因为的最大值为4， 所以，解得，故A正确； 则，因，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 该函数显然与不是同一函数，故C错误； 对于，当时，， 因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确. 12． 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 13．/ 【详解】因为为单位向量，所以，又因为， 展开得，由于，代入得， 所以， 因为，所以. 14．2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【详解】（1）由题设，得，即，........2分 所以..........3分 （2）当时，，.........4分 所以.........5分 故..........7分 （3）由题设，，故，........9分 当，同向共线时，有且，此时，.........11分 可得，不满足，夹角为锐角，.........12分 综上，或. 所以的取值范围为..........13分 16．(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得，.........2分 因为，则..........3分 由，得，.........4分 根据正弦定理，得，则..........5分 （2）由（1）知，， 则，.........7分 即，.........9分 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4..........10分 （3）由（1）知，， 则.........11分 即 ，得 当且仅当时等号成立，.........13分 则面积的最大值为： .........15分 17．(1) (2)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，所以，可得，.........2分 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得，.........4分 所以， ..........7分 （2）因为点在线段上的一点，设，其中，.........8分 则，.........9分 所以，，.........11分 又因为，且、不共线， 所以，.........13分 解得，此时点为线段的中点.........15分 18．(1) (2) 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【详解】（1）因为是正方体， 所以，.........2分 所以三棱锥的表面积为，.........6分 而正方体的表面积为，........8分 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值．.........9分 （2）三棱锥，，，是完全一样的．.........11分 因为三棱锥的体积为，.........14分 正方体的体积为，.........15分 所以三棱锥的体积为.........17分 19．【答案】(1)， (2)， (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出； （2）利用整体代换求出单增区间； （3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值. 【详解】（1）由图象可知：，所以，则，.........2分 又，，得，.........3分 又，所以..........4分 （2）由（1）知， 令，，.........5分 解得：，..........6分 令，得，因，则， 令，得，因，则， 所以在上的单调递增区间为，..........8分 （3）由题意，，.........9分 则，.........10分 由函数在上存在零点， 则在上有解，.........11分 令，由，则，即，.........13分 则，.........15分 所以，即，.........16分 故a最小值为，最大值为..........17分 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期4月高一阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分150分 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.) 1．若，则z的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形 的直观图，其中，，，．则四边形 的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．5 4．在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．设，，是单位向量，且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 7． 如图，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交于 点且，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8． 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最 小值为1，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 10．已知向量，，下列选项正确的是（） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 11．函数的最大值为4，则（   ） A． B．图象关于点中心对称 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13．已知单位向量满足，则__________． 14．在中，角的对边分别是，若，则__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 16．（15分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. (3)求三角形面积的最大值. 17．（15分）已知在中，为中点，. (1)若，求； (2)若线段上一动点满足， 试确定点的位置. 18． （17分）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得 到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 19．（17分）已知函数部分图象如图所示． (1)求和的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将向右平移个单位长度得到函数，已知 函数在上存在零点， 求实数a的最小值和最大值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $