北京一零一中2025-2026学年九年级直升班下学期期中数学试题

北京一零一中石油分校2025-2026学年第二学期期中考试 初三直升班数学试题 2026.04 一、单选题（每小题4分) 1.已知全集U={xk-1<3},A={x2<4},则CuA=() A.{-2<x<2}B.{2≤x<4}C.{x刘-1<x≤4D.{-2<x<4 2.已知命题p:3x>1,使√x>x-1,则命题p的否定为() A.x>1,都有√x>x-1 B.x>1,都有F≤x-1 C.3x>1,使√F≤x-1 D.3x≤1，使Vsx-1 3.下列函数中，既是奇函数又是定义域上减函数的是() A.y=1 B.y=xx C.y= 2x D.y=- 4.下列各组函数是同一个函数的是（) 0y=与y x2-1 ②f()=与gx)=x ③fx)=H与f)=( A.①② B.③④ C.②④ D.①④ 5.设a、b、ceR,abc≠0，且a>b>c,则() B.B+52 a b C.2a>b+c D.a+b>c 64-水3是2<1的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知命题p:x∈(2,3)，x2-ax+5>0是假命题，则实数a的取值范围是() A25,m)B.(3t树 c.（ D.(（-0,251 8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂 分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解 析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标人头中抽象出一个图象如图，其对应的函数 可能是（) A. B.f()网-司 c 1- Df闭=有 9.已知定义在R上的函数f(x)满足下列条件：①f(-2)=0, ②f-x)-f()=0,®对x,名[0，+w,当5*5时，都有西)-儿①<0，则不等式 X2一x )<0的解集为（） A.（-∞，-2)U(2,+∞)B.(-2,2）C.(-2,0U(2,+∞)D.（-∞，-2)U(0,2） 10.己知函数f(x)=x2-4x+3在[m,n川上的值域为[0，]，则n-m的取值范围是() A.[1,2] B.[2-1,2] C.[1,2w2] D.「V5-1,22 二、填空题（每小题4分） 1山.函数)=5-x+x一的定义城为 12.已知正数a,b满足a+b+ab=8,则a+b的最小值为 -x2-ax-7,x≤1 13. 已知函数f(x)= 4,x>1 且当x*5时，总有飞)儿山0，则实数a的取值 X2- 范围是 14. 已知奇函数f(x)定义域为R,当x≥0时，f(x)=x2+2x,则f(-4)=一：若 r4>-品)： 则实数m的取值范围是 -ax+1,x<a 15.设函数f()F{x-2,x≥。，若f(冈存在最小值，则a的-个取值为. a的最 大值为 16,几位同学在研究函数xeR)时给出了下面几个结论 ①函数f(x)的值域为(-1,1)：②存在x≠x2,使得f(x)=f(x): ③f(x)在(0，+o)是增函数： ④若规定()=)，且对任意正整数n都有：()=f(G(》,则人.（四）=1+m对任意 n∈N恒成立.上述结论中正确结论的序号为 三、解答题（共56分） 17.已知全集U=R,集合A={x2-4x+3≤0}，B={xlx-3<1,C={2a≤x≤a+2,a∈R}. (I)集合A= B=:AnB=:AU(CuB)= (2)若BUC=B,求a的取值范围： 18.计算： ()求不等式的解集：≥0. x-3 (2)求不等式的解集：x2-（a-3)x+4>（a+1)x2+1. ③)求出函数∫()=2x二的值域，并写出单调区间。 x+1 19.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施， 某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为x∈[6,10]（单位：米），地 面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为P(x): 方案二：其给出的整体报价为f(x)=1200m (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求m的值： (2)求P(x)的函数解析式，并求报价的最小值： (3)若对任意的x∈[6,10]时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围. 20.已知函数了(x)=+a，f(x)为奇函数 Γx2+1 (I)求a的值； (2)用定义证明：f(x)在区间[0，上是增函数： (⊙)若函数(x)为定义在(-L山上的偶函数，且x0)时，h(x)=(x.求不等式(x-)>2的 解集。 21.对于给定的非空数集A={a1,a2,a,…,an}∈N,),定义集合 A={xk=a,+a,a,a,∈A,1≤i≤j≤n},A={xk=a-a小a,a,∈41≤isj≤m,当 A∩A=☑时，称A具有孪生性质 (1)若集合A={2,S},求集合A,A: (2)若集合B={x,x2,x},X<x2<X,且B=B,求证：=2x2: (3)若集合Cs{xx2-2025x+2024≤0，x∈N,},且集合C具有孪生性质，记C为集合C中元素的 个数，求C的最大值 参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 0 10 答案 B B D C D A B C D 1.B 【详解】由k-1<3得-3<x-1<3,得-2<x<4,则U={x-2<x<4), 因为A={xx2<4={x-2<x<2},所以A=-{x2≤x<4} 2.B 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可. 【详解】命题p:x>1,使√x>x-1,则命题P的否定为：x>1,都有√≤x-1. 故选：B 3.D 【分析】根据逐项判断函数的奇偶性和单调性， 【详解】对于A:函数y=上是奇函数，定义域是(，0U(0,+∞)， y=上分别在两个区间(-0,0)和(0，∞)单调递减，但不能说y=上在定义域上单调递减，A错误： 对于B:y=xx= x2,x20 -x2,x<0 是奇函数，但在R上单调递增，B错误： 2x 对于C:y= x2+1 是奇函数，但x=0时y=0,x1时y山，故y字不是定义域的减函数 C错误； 对于D:y=-是奇函数，且在定义域上是减函数，D正确： 2 故选：D 4.C 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数即可. 【详解】对于0。y产号的定义该为1且x-, x一的定义域为{*，所以定义域不同，不是同一函数，故@不正确： -I 对于②，g(x)=√2=d=f(x),所以函数的对应关系一样， 又函数的定义域都是R，所以是同一函数，故②正确： 对于③，f()=的定义域为R，f)=()的定义域为[0，+∞)， 所以定义域不同，不是同一函数，故③不正确： 对于@，日，所以函数的对应关系一样， 又函数的定义域都是(-o,0)U(0,+∞)， 所以是同一函数，故④正确。 故选：C. 5.c 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不纺取a=2,6=1,。=-子则号+82-4=-2<2，A错 b c 对于B选项，不妨设a=-1,b=-2,c=-6,则2+=2+3=5>2，B错： "a b 对于C选项，因为a>b>c,由不等式的基本性质可得2a>b+c,C对： 对于D选项，不妨设a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,D错. 故选：C 6.D 【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件 的判定方法，即可求解 【详解】由不等式4x-5<3,可得-3<4x-5<3,解得二<x<2, 又由<1，可得2二-1<0，解得-11， x-1x-1 两个不等式的解集没有包含关系， 所以4x-<3是2x<1的既不充分也不必要条件。 x-1 故选：D 7.A 【分析】分离参数得x∈(2,3)时，a≥x+有解，结合基本不等式求得 +到)=25即可 【详解】已知命题p:x∈(2,3)，x2-ax+5>0是假命题， 则命题：3x∈(2,3)，x2-ax+5≤0是真命题， 即当x∈(2,3)时，a≥x+5有解， 所以a+)=25,当且仅当x=5时， +到=25， 所以实数a的取值范围是2V5,+o). 故选：A 8.B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D,再根据f(O)=-1不成立排除选项C,即可得正 确选项」 【详解】因为函数代闲可的定义线为{：，函数)中的定义城为R, 函数/()可与()=的定义域均为x*封.。 由图知f(x)的定义域为{xx≠±}，排除选项A、D, 对于/=，当x=0时，f0=-山，不符合图象了0=1，所以排除选项C 故选：B 9.C 【分析】依题意可得∫(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递减，即可得到函数∫(x)的取值情况，再 分类讨论即可. 【详解】由②f(-x)-f(x)=0,即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数； 由①f(-2)=0,则f(2)=f(-2)=0: 由@对，x∈0，+o),当x*时，都有)-<0， X2-X1 可得f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以f(x)在(-o,0)上单调递增， 所以当-2<x<2时f(x)>0,当x<-2或x>2时f(x)<0, 所以不等式但<0，等价于/<0或{V)>0' x>0 x<0 解得x>2或-2<x<0, 即不等式☒<0的解集为(-2,0)u(2,+w）. 故选：C 10.D 【分析】令f(x)=1,求出相应的x的值，即可画出∫(x)的图象，数形结合求出n-m的最值，即 可得解 【详解】由x2-4x+3>0,即(x-1)(x-3)>0,解得x>3或x<1, x2-4x+3,x∈(-o,1)U(3,+0) 所以fx)=k2-4x+到-仁+4x-3,xL,3到] 当x∈[1,3]时，f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,所以f(2)=1, 当x∈(-o,1)U(3,+o)时，令f(x)=1,即x2-4x+3=1,解得x=2-V2,x,=2+V2, 则f(x)的图象如下所示： 234 因为函数f(x)=x2-4x+3在[m,n川上的值域为[0，， 当m=2-√2，n=1(或m=3,n=2+√2)时n-m取得最小值， 即(n-m)=1-(（2-2)）5-1: 当m=2-√2，n=2+√2时n-m取得最大值， 即(n-m)x=(2+V2)(2-2）25: 所以n-m的取值范围是[V2-1,22], 故选：D 11.（-0,1)(1,3] 3-x≥0 【分析】由 x-1≠0 求解即可. 3-x≥0 【详解】由题意可得 x-1≠0 解得x≤3且x≠1， 所以函数的定义域为(-∞，)U(1,3], 故答案为：（-∞，1)U(1,3] 12.4 【分析】利用基本不等式将方程化成ab=8-(a+b)≤ 令a+b=t,求解关于t的一元二次 不等式即得 【详解】因为正实数a,b满足a+b+ab=8, 又ab≤ 生则b=8-a+se生， 当且仅当a=b时取等号， 设a+b=1则t>0,代入整理可得2+41-32≥0，解得t≤-8或t≥4， 因t>0,故t≥4，故当a=b=2时，a+b取得最小值为4. 故答案为：4 13.[-4,-2] 【分析】分析可知f(x)在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解即可. 【详解】由题意可知：f(x)在R上单调递增， z1 2 则 a<0 ,解得-4≤a≤-2， -a-8≤a 所以实数a的取值范围是[-4，-2]. 故答案为：[-4，-2]. 14. -24 【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断∫(x)单调性，即可得答 案。 【详解】第一空，由奇函数定义，f(-4)=-f(4)=-(4+8)=-24: 第二空，注意到y=x2+2x=(x+1)2-1在(0，+∞)上单调递增， 又奇函数在对称区间上单调性相同，则f()在R上单调递增， 则f>=4>1=0>0=m(6m+>0,放m(w0+o)。 故答案为：-24：（-m,写0，+om). 15. 0(答案不唯一，a∈[0，即可) 【分析】分a<0,a=0,0<a<2和a≥2四种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出a的取 值范围是[0，]，a的最大值为1. 【详解】当a<0时，f(x)=-ax+1在(-oo,a上单调递增，此时f(x)无最小值，不合要求： 1,x<0 当a=0时，f(x)= (x-2)2,x≥0’ 当x≥0时，f(x)=f(2)=0,又x<0时，f(x)=1, 所以∫(x)存在最小值为0，满足题意： -ax+1,x<a 当0<a<2时，f(x)= (x-2)2,x≥a f(x)在(-∞，a),（a,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 若f(x)存在最小值，则-a2+1≥f(2)=0,解得-1≤a≤1， 所以0<a≤1， 当a≥2时，∫(x)在(-o,a)上单调递减，在(a,+oo)上单调递增， 若f(x)存在最小值，则-a2+1≥f(a)=(a-2)2,不等式无解， 综上，a的取值范围是[0，]，a的最大值为1. 故答案为：0（答案不唯一，a∈[0，]即可）0,1. 【点睛】关键点点睛：通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数 值的大小关系确定不等式组求得结果 16.①③④ 【分析】按x≥0，x≤0分类，进而求出函数的值域、单调性判断①②③：利用归纳推理的求解判 断④. 【详解】西数)-市 当之0时。)-=1-中小，且了（内在0网）上单调谐，©正确。 当x50时，f)=产x-1+文e(1o],且在(eo上单调递增， 因此函数f(x)的值域为(-1，)，①正确： 函数f(x)在R上单调递增，则x,≠x2,恒有∫(x)≠∫(x2),②错误： x 1+x 由()=f),得()-f》=时1+2 1+ 1+x (x)=((x)=- 1+2✉ 、内7+3，归纳推理得，@正确 1+ 1+2x 故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；分段函数在 判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大 小关系。 17.(I)A={x1≤x≤3}，B={2<x<4},AnB={x2<x≤3}，AU(AB)={x|x≤3或x≥4}： (2)(1,2)U(2,+∞) 【分析】(1)先求出集合A,B,再利用集合的基本运算求解： (2)由BUC=B可得C三B,分C=☑和C≠☑两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取 并集即可： (3)先求出A⌒C=☑时a的取值范围，再取补集即可. 【详解】(1)集合A={xx2-4x+3≤0={x1≤x≤3}，B={xlx-3<1}={x2<x<4}, ∴.AnB={x2<x≤3}，B={x|x≤2或x≥4}， .AU(⑨B)={x|x≤3或x≥4). (2)BUC=B,∴.CsB, ①当C=0时，2a>a+2,a>2, [2a≤a+2 ②当C≠0时，则2a>2, a+2<4 解得1<a<2, 综上所述，a的取值范围为(1,2)U(2,+∞). (3)若A∩C=☑， ①当C=☑时，2a>a+2,∴.a>2, 2a≤a+22a≤a+2 ②当C≠0时， 或 a+2<1 2a>3 a<-1或2<a≤2， 综上所述，若AnC=O,则a的取值范围为(-@，-（侵+， 故AnC≠⑦，则a的取值范围 18.(1)[1,3) (2)答案见解析 (3)值域为(-0,2U(2,+∞)，单调递增区间为(-∞，-1)，（-1，+∞)，无单调递减区间 (4)(-0,2] 【分析】(1)将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可： (2)依题意可得(ax-3)(x+1)<0,再分a=0、a>0、a=-3、-3<a<0、a<-3五种情况讨论， 分别求出不等式的解集： (3》）依愿意可得/()=2-，再结合反比例函数的任质计算可得。 (4)换元、结合二次函数的性质计算可得. -30,等价于 【详解】(1)不等式-≥0，即 (x-1)(x-3)≤0 x-3 ≤0，解得1≤x<3, x-3≠0 所以不等式二≥0的解集为)： (2)不等式x2-(a-3)x+4>(a+1)x2+1, 即ax2+(a-3)x-3<0,即(ax-3)(x+1)<0, 当a=0时，即-3(x+1)<0,解得x>-1: 当a>0时，即(-副引+小k0,解得-1长x<子 当a<0时， 若3=-1，即a=-3时，解得x-1: 若a-,即-3<a<0时，解得x<3或x>-1: (a<0 3 2>-1 若a>-,即a<-3时，解得x>3或x<-1: a a<0 综上所述：当a=0时，不等式的解集为{xx>-}: 当a=-3时，不等式的解集为{xx≠-}： 当>0时，不停大省解案为41长 当a<-3时，不等式的解集为(x>3或x<-1: 3 当-3<a<0时，不等式的解集为{x<之或x>-1}. 0 (3)函数f(x)=2x-的定义域为（←0，-1）U(-1,+o), x+1 又f冈=2x-1-2x+1)-3-=2-3, x+1x+1 x+1 7*0,所以2- 因为-3 x中2，即f()的值域为(-o,2U2,o): 区y=3在(-o,-,+o上单调递增) 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，（-1，+∞)，无单调递减区间： (4)对于函数f(x)=x+21-x, 令t=1-x(t≥0)，则x=1-2,所以x+2W-x=1-2+2t=-(t-1)2+2, 令g()=-(1-1)+2,(t≥0)，则8()在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以g()≤g()=2,即g(t)∈(-∞，2]， 所以函数f(x)=x+2-x的值域为(-0,2]. 19.(1)18 2P()=120x+ 81 +7200,x∈[6,10]28800 (3)(0,17） 【分析】(1)根据函数定义直接代入可计算： (2)根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数P(x),再利用基本不等式求最值： (3)代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】(1)宽度为8米时，方案二的报价为29700元， f(8)=1200m 29700→m=18, 所以m的值为18. (2)设底面长为y,S=y=81→y=81 所以墙面面积为2(x+列x3=6x+), Pe=12o0(x+剑》720，xel10。P=12o0x+》720≥2s80,当x-g=9时取等， 所以P小-12or+7200xe610.数小值为2s80。 (3)对任意的x∈[6,10]时，方案二都比方案一省钱， 即xe610时，120m(是+1<12o0+到+720恒成立。 x2+6x+81 整理得m< x+3 Jmin 因为y=+6x+81 x+3 x+3+7 +3’x∈[6,101， 设=x+3,则y=1+2,19,13] 又由对勾函数性质可得y=1+2在在9,13]上单调递增， c2+6x+81 =9+ x+3 2-17, min 又m>0,所以m∈(0,17)， 所以方案二都比方案一省钱，m的取值范围为(0,17)）. 20.(1)a=0 (2)证明见解析 3)h(x)= 2+7x∈(-1,0) -x 【分析】(1)利用f(0)=0,即可得到f(x)的解析式： (2)利用定义法，证明f(x)为增函数即可： (3)利用奇偶性和单调性，解不等式即可. 【详解】(I):函数f(x)=+口是定义R上的奇函数， x2+1 /10)-8-0,即a=0,经检验符台腿意： (2)任取x,x2∈[0，]，且x<x2, 6小-高高 因为0≤x<x2≤1，所以x-x2<0,1-xx2>0,1+x2>0,1+x号>0， 所以f(x)f(x)<0,即f(x)<f(x): .函数f(x)在[0，上为增函数. (3)设x∈(-l,0),则-x∈(0,1)， 因为函数h(x)为定义在(-1，)上的偶函数， 所以=--f刻=本】 所以h(x)= ze) (x+xe(-1,0) -x 由于h(x)为定义在(-1，)上的偶函数，且在[0，]上是增函数， 所以不等式a(x-少>分) 可得-1<x-1<-)或)<x-1<1, 2 得xe[侵 21.(1)A={4,7,10},A={0,3}. (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】(1)根据集合的新定义计算即可： (2)根据集合的新定义计算，结合集合相等的条件即可得证： (3)设C={a,4,…a}满足题意，a<a2<…<a,分析C,C中那些必然不同的元素，得到 IC2k-1,IC2k,进而可得C+UC≥3k-1,再找到C*UC中最小的元素为0，最大的元素 为2ak,从而得到|C*UC≤2a4+1.利用不等式的传递性3k-1≤2ak+1≤4049(k≥1，k∈N),可得 k≤1350，然后构造k=1350的例子，说明存在性即可得到C的最大值. 【详解】(1)由集合A={2,5},得2+2=4,2+5=7,5+5=10， 因此4=4,7,10}，又12-2=0,15-5=0,15-2=3，所以A={0,3}. (2)由集合B={x,2,},X1<X2<X3, 得B集合的元素在0，x2-x1,x一x,x-x2中产生， 且0<x2-x<x-x,0<3-x2<x-, 而B=B,则B中最大元素x属于B, 而x3-x为4个元素中的最大者，于是x=x-x,即x=0,B={0,x2,x}, 则构成B的元素为0，x2,x,x一，且一与0或x2或x重复， 又0<x2〈x,所以x-x2=2,即x3=2x2· (3)依题意，C∈{x|x2-2025x+2024≤0，x∈N,}={x|1≤x≤2024，x∈N}, 设C={a,a,…4}满足题意，a<a2<…<ak, 2a<a+az<a+a3<...<a+ak<az+ak<a3+ak<...<ak+ak<2ak, 得：IC2k-1, 由41-a1<a2-a1<a3-41<…<4-a,得：1C2k, 由C+∩C=0,得1C*UCHC*|+1C3k-1, 而CUC中最小的元素为0，最大的元素为2a%,1C*UC2a4+1, 因此3k-1≤2ak+1≤4049(k≥1，k∈N),即3k-1≤4049，解得k≤1350， C={675,676,677,…,2024,C=1350. 则C*={1350,1351,,4048},C={0,1,2,…,1349},满足C+∩C=⑦， 所以C具有孪生性质 所以集合C中元素的个数的最大值是1350.