精品解析：北京市中国人民大学附属中学西山学校2025-2026学年九年级下学期中考零模数学

2025-2026学年初三下学期数学限时练习4 （考察范围：零模模拟-中考全部内容，时间：120分钟） 一、选择题： 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某一点旋转能够与原来的图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6560000km，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ） A. 6.56×10km B. 6.56×10km C. 2×10km D. 2×10km 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为正整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，进而求解． 【详解】由题意知，过去 20 年间地球新增植被的面积km， 故选C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为正整数，正确确定a与n的值是解题的关键． 3. 下列图形能折叠成三棱柱的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析: 根据三棱柱的特点可得三棱柱是由两个三角形，三个矩形围成． 详解：A. 可以折叠成三棱柱，故此选项正确； B. 可以折叠成三棱锥，故此选项错误； C. 可以折叠成四棱锥，故此选项错误； D.不能折叠成几何体，故此选项错误； 故选A. 点睛：考查展开图折叠成几何体，关键是掌握三棱柱的特点. 4. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数，在数轴上对应点的位置和绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的乘法法则逐项进行判断． 【详解】解：A选项：由数，在数轴上对应点的位置可知，表示数的点离原点的距离比表示数的点离原点的距离小， ， 故A选项错误； B选项：且， ， 故B选项错误； C选项：由数轴可知，， ， 故C选项错误； D选项：，， ，， ， 故D选项正确； 故选：D． 5. 下列说法正确的有（ ）个 （1）小智将一把直尺与一块三角板如图放置，若测得，则的度数为． （2）正八边形的每个内角均等于． （3）十边形的内角和等于． （4）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是；从袋子中随机摸出两个球，一个是红球，一个是白球的概率也为． （5）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值可以为，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用平行线的性质、多边形内角和公式、概率公式以及反例的定义对五个命题进行逐一判断即可． 【详解】解：（1）如图， 直尺的两边互相平行， ， 三角板的直角顶点在直尺边上， ， ， ， 故说法错误； （2）正八边形的内角和为，每个内角为， 故说法错误； （3）十边形的内角和为 ，故说法正确； （4）从袋子中随机摸出一个球，摸出白球的概率是 ；从袋子中随机摸出两个球，共有 15 种等可能结果，其中一个是红球一个是白球的结果有 3 种，概率为， 故说法错误； （5）要说明命题是假命题，需满足题设 但结论 不成立，当，时，、，此时，不满足题设条件， 故说法错误； 综上所述，正确的命题只有（3），共1个， 故选：B． 6. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则下列结论中正确的有（ ）个 （1）为等边三角形；（2）；（3）的大小为；（4）垂直平分；（5） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程可得、，从而判断为等边三角形；利用证明；利用等腰三角形和等边三角形的性质计算角度；利用线段垂直平分线的判定定理判断与的关系；通过三角函数或角度关系判断线段数量关系． 【详解】解：由作图可知：、，连接、 (1) ， 为等边三角形，故说法正确； (2) 在和中，  ， 故说法正确； (3) ， ， 、， ， 为等边三角形， ， ， 故说法正确； (4) ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， 故说法正确； (5) 设交于点D，则， 在中，， 在中，，， ，即， ， ， 故说法错误； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一三象限的角平分线上， ∵四边形是菱形， ∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点， 联立，解得：或， ∴点的坐标可以为； 故选C． 8. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN． 下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON=MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为． 其中正确的个数是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确． 【详解】设正方形OABC的边长为a， 则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）． ∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900， ∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确． 根据勾股定理，，， ∴ON和MN不一定相等．结论②错误． ∵， ∴．结论③正确． 如图，过点O作OH⊥MN于点H，则 ∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM． ∵∠MON=450，MN=2， ∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50． ∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1． ∴． 由得，． 解得：（舍去负值）． ∴点C的坐标为．结论④正确． ∴结论正确的为①③④3个． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算． 二、填空题 9. 使有意义的x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 10. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程变形，化为同分母分式，再去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验得到原方程的解． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同时乘以得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入得：， 因此，是原分式方程的解． 12. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】2或 【解析】 【分析】 由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．　 【详解】解：由题意可得： （m+2）2-4×1×4=0， 即（m+2）2=16， ∴m+2=4或m+2=-4， ∴m=2或m=-6， 故答案为2或-6． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键 ． 13. 如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______. 【答案】54 【解析】 【分析】利用切线的性质得，利用直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质求出的度数即可． 【详解】∵与相切于点， ∴AC⊥AB， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为54． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 14. 为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共_________千克． 【答案】145.6 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的应用以及用样本估计总体，解题的关键是先根据样本求出可回收物在样本中的投放量，再通过比例关系估计总体中可回收物的投放量． 先算出30户家庭中可回收物的投放量，再根据小区家庭总数与调查家庭数的比例，求出240户家庭中可回收物的投放量． 【详解】已知30户家庭各类生活垃圾投放总量是70千克，由扇形统计图可知可回收物占比，根据“部分量总量部分量所占百分比”， 可得30户家庭中可回收物的投放量为千克， 小区有240户家庭，30户家庭是样本，，即240户家庭是30户家庭的8倍． 那么240户家庭中可回收物的投放量为千克， 故答案为：145.6． 15. 如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质和勾股定理可求得、和的长度，以及可证得，从而得到，代入计算求得的长度即为答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 则， 四边形是边长为3的正方形， ，， 四边形是正方形，且面积为10， ，， 在中，， ， 又，， ， ， ，即， ． 故答案为：． 16. 化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：分钟， 整理小实验台：分钟； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费分钟， 故答案为：； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个小实验台的步骤③，耗时分钟是包含在前面两人的分钟里的，然后等学生和学生两人做完后，学生再分别整理大试验台和小试验台的步骤③，耗时分钟，所以一共是分钟． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 因此，原不等式组的解为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 21. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求四边形的面积． （3）在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是________． 【答案】（1）见解析 （2）24 （3）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行线和角平分线的性质得到，证明平行四边形是菱形 、、，根据可求出，再利用菱形面积公式进行计算即可； （3）分别分析每个图形，利用平行四边形的性质，即平行四边形的对角线将其分成面积相等的两部分，以及同底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，判断阴影部分面积是否为平行四边形面积的一半． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 、、， ， 在中，， 即， ， ， ； 【小问3详解】 解：图（1）：阴影是对角两个小平行四边形，面积和随交点位置变化，不一定等于平行四边形面积一半，不符合； 图（2）：两个阴影三角形的高之和等于平行四边形的高，底等于平行四边形的底，则阴影部分面积和等于平行四边形面积的一半，符合； 图（3）：根据平行四边形的中心对称性，阴影部分面积和恰好为平行四边形面积的一半，符合； 图（4）：三个阴影三角形的底之和等于平行四边形的底，高都等于平行四边形的高，则根据三角形面积等于底高，得到阴影部分面积和等于平行四边形面积的一半，符合， 综上所述，四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是（2）（3）（4）． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解及不等式恒成立问题，结合“存在整数间隔”的条件，分情况讨论系数符号，从而确定参数范围是解答本题的关键． （1）先利用函数图象过点直接求出，再将点代入含的解析式，通过解方程求出，即可求得函数的解析式； （2）先将已知条件转化为对所有恒成立，且与之间存在整数，再整理得到关于的不等式，然后分、、三类讨论，通过代入特殊值验证和不等式推导，最终确定的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得， ∴函数； 【小问2详解】 解：当时，对每一个的值，需存在整数满足， ∵对所有成立， ∴， 整理得， 分三种情况讨论： ①当时，取（满足），则 ，， 此时，不符合题意，舍去； ②当时，，则对于： ， ∵， ∴， ∴，即恒成立， 同时，说明与之间必然存在整数，符合题意； ③当时，取（满足），则 ，， 此时， 若，则，与之间不存在整数，不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为． 23. 某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差 A m 85 B 87 C 8 n （1）任务1：________，________； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由． （3）任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是________． ①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变； ②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变； ③新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小． 【答案】（1）9；83 （2）A款机器人 （3） 【解析】 【分析】本题考查折线统计图和扇形统计图的综合，从统计图获得信息是解题的关键． （1）根据折线统计图将A款机器人测试员打分从低到高排列计算的值，根据扇形统计图计算的值即可； （2）按照加权平均数进行计算即可； （3）根据计算由10人测试员打分和新增四个分数后C款机器人运动能力得分的平均数、中位数、方差，逐一进行判断即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， 则A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力测试成绩为： ； 【小问2详解】 解：A款机器人的综合成绩为：分， B款机器人的综合成绩为：分， C款机器人的综合成绩为：分， 由于 因此，综合成绩最高的是A款机器人； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知，测试员打6分有人，打8分有人，打9分有人，打10分有人， ①原来C款机器人运动能力成绩的平均数为：分， 新增四个分数后，平均数为：分， 则C款机器人运动能力得分的平均数不变， 故①说法正确； ②新增四个分数后，C款机器人测试员打分从低到高排列为：6，6，，，8，8，8，8，9，，，10，10，10， 此时C款机器人运动能力得分的中位数为， 而原来C款机器人运动能力得分的中位数为8分， 因此，C款机器人运动能力得分的中位数不变， 故②说法正确； ③原来C款机器人运动能力得分的方差为， 新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差为：， 由于， 则新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小， 故③说法正确； 综上所述，说法正确的是． 24. 如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接．由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得； （2）过点作于点，由题意可证四边形是正方形，在中，解直角三角形，可求的长，即可求的长． 【小问1详解】 解：连接． ， ． 与相切于点， ， ． ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点． ∵，， ． ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识． 25. 某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． （小时） 0 1 2 4 6 8 0 0 （1）在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为__________小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为__________小时（结果保留小数点后一位）； ②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为__________毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为__________毫克/立方米． 【答案】（1）见解析 （2），，，． 【解析】 【分析】本题主要考查对实验数据的分析、函数图像的绘制，以及利用数据解决实际问题的能力． （1）描点绘制出大致函数图； （2）①观察表格和图象，找出两种净化器降低的浓度相同和的交点；从2到4时，设为一次函数，可得当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间；②依据表格分别求出两种方案剩余浓度． 【小问1详解】 解：如图 【小问2详解】 解：①观察表格和图象，当净化时间约为2.2小时，两种净化器降低的浓度相同； 由图可知∶ 从2到4时，可近似为一次函数，设解析式为． 当时，；时，，则 解得 当时， ，解得． 则当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为小时 故答案为∶，． ②第6小时两种方案的剩余浓度 方案甲∶全程使用净化器A，第6小时降低的浓度毫克/立方米， 初始浓度为毫克/立方米， 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 方案乙∶先使用净化器B至第2小时，毫克/立方米； 再使用净化器A从第2小时到第6小时，净化器A在这4小时降低的浓度为（毫克/立方米） 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 故答案为∶，． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】（1）通过配方法将抛物线解析式化为顶点式，直接得出顶点坐标； （2）①分和两类讨论图形的解析式：当时，结合图像可直接判断随增大而增大；当时，写出，坐标并表示出关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质解不等式得到的范围；②当时，先确定抛物线的解析式，设，则可转化为，则，结合，解不等式得到的取值范围． 【小问1详解】 解：， 则抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 ①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为， 当，图形如下图所示， 据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大； 当，图形如下图所示， 当，解析式为， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得， 令，即当，随着的增加而增加， 的对称轴为， 则，解得， 综上，的取值范围为或． ②解：如图，当，抛物线为，当，，当，， 即在图形上，随着的增大而增大， 设，则，可转化为， 若对任意的，都有， 则，解得， 其中，则， 解得． 27. 如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接． （1）如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长； （2）如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理易得的长，由等腰直角三角形的性质可得的长，，进而再次根据勾股定理求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，先证，再证，可得，，所以为等腰直角三角形，最后证，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ，为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中， ， 即； 解得（负值已舍去）， 在中，； 【小问2详解】 解：． 证明：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，，， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段． （1）如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，） ①的所有可能值为______； ②若点在第四象限，则点的坐标为______： （2）当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值． 【答案】（1）①或；② （2）的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为 【解析】 【分析】（1）①分两种情况，结合轴对称的性质计算即可得解；②当点的对称点在第四象限时，连接，则，从而可得是等边三角形，解直角三角形得出，再由轴对称的性质计算即可得解； （2）先求出是以为圆心，为半径的圆的切线，以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线，连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小，连接，证明出点与点关于直线对称，即可得出此时；延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大，作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，再利用相似三角形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：①如图， 当点的对称点是时，， 当点的对称点是时，， 综上所述，的值为或； ②当点的对称点在第四象限时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图：令交轴的负半轴于点，则，， ∵的弦，， ∴点到的距离为， ∴是以为圆心，为半径的圆的切线， 以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线， 连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点与点关于直线对称， ∴此时直线经过，， ∴； 如图： 延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， 作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时直线经过点和， ∴； 综上所述，的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三下学期数学限时练习4 （考察范围：零模模拟-中考全部内容，时间：120分钟） 一、选择题： 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6560000km，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ） A. 6.56×10km B. 6.56×10km C. 2×10km D. 2×10km 3. 下列图形能折叠成三棱柱的是（　　） A. B. C. D. 4. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的有（ ）个 （1）小智将一把直尺与一块三角板如图放置，若测得，则的度数为． （2）正八边形的每个内角均等于． （3）十边形的内角和等于． （4）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是；从袋子中随机摸出两个球，一个是红球，一个是白球的概率也为． （5）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值可以为，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则下列结论中正确的有（ ）个 （1）为等边三角形；（2）；（3）的大小为；（4）垂直平分；（5） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN． 下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON=MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为． 其中正确的个数是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 9. 使有意义的x的取值范围是___________． 10. 因式分解____________． 11. 方程的解为________． 12. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 13. 如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______. 14. 为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共_________千克． 15. 如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为___________． 16. 化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 21. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求四边形的面积． （3）在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是________． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围． 23. 某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差 A m 85 B 87 C 8 n （1）任务1：________，________； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由． （3）任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是________． ①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变； ②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变； ③新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小． 24. 如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为3，，求的长． 25. 某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． （小时） 0 1 2 4 6 8 0 0 （1）在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为__________小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为__________小时（结果保留小数点后一位）； ②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为__________毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为__________毫克/立方米． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 27. 如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接． （1）如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长； （2）如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段． （1）如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，） ①的所有可能值为______； ②若点在第四象限，则点的坐标为______： （2）当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $