精品解析：广东省佛山市南海外国语学校2025-2026学年七年级下学期第一次综合素养评价 数学科

2025-2026学年七年级（下）第一次综合素养评价 数学科 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（　　） A. 同角的余角相等 B. 一个角的补角不一定大于这个角 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 如图，，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 6. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的补角相等 D. 同角的补角相等 8. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B. 从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C. 转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 9. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：，且，则的值是（ 　） A. -3 B. 3 C. – 1 D. 1 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的度数是____________． 12. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 13. 若是完全平方式，则的值是______． 14. 已知 ，那么的值为____________ 15. 如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为_____． 三．解答题（16-18每题7分，19-21每题9分，22题13分，23题14分，共75分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在三角形中，，点D在上． （1）求作线段，使得，且交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 19. 如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （___________）， ___________（___________）， （___________）， （___________）． 20. 小红准备完成题目：计算（x2 x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么? 22. （1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 23. 对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：________；________：________． （2）先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论； （3）如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． （4）如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级（下）第一次综合素养评价 数学科 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、同底数要的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练练握这些运算的法则并正确运用． 根据整式运算的相关法则，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】A、与中的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项正确． 故选：D． 2. 泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 3. 下列说法中，错误的是（　　） A. 同角的余角相等 B. 一个角的补角不一定大于这个角 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角、补角的定义，平行线的性质，垂直的定义，据此相关的性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、同角的余角相等，例如若则，故该选项是正确的； B、一个角的补角不一定大于这个角，例如，则，故该选项是正确的； C、两直线平行，同位角相等，故原说法是错误的； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是正确的； 故选：C 4. 如图，，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 5. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 6. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，平方差公式为，只有两个二项式相乘，存在一项相同，另一项互为相反数时，才能用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项，两个因式中各项均互为相反数，不存在相同项，故不能用平方差公式计算，符合题意； C选项 ，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的补角相等 D. 同角的补角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，因为，且，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴（同角的余角相等）， 故选：B 8. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B. 从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C. 转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 9. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可. 【详解】A.∵ ， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 能判定，故A选项不符合题意. B. ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 能判定，故B选项不符合题意. C. ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 能判定，故C选项不符合题意. D. ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 不能判定，故D选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键. 10. 已知：，且，则的值是（ 　） A. -3 B. 3 C. – 1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多项式的乘法法则把化简，然后把代入计算即可. 【详解】∵， ∴xy-2x-2y+4=-3， ∴xy=2(x+y)-7， ∵， ∴xy=2×2-7=-3， 故选A． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式的乘法法则是解答本题的关键 ，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的度数是____________． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据和为180度的两个角互为补角求解即可． 【详解】解：根据定义一个角的补角是150°， 则这个角是180°-150°=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键． 12. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 13. 若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 14. 已知 ，那么的值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 ，利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：9． 15. 如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由平行线的性质得到由折叠可知求出和即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠可知 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为： 三．解答题（16-18每题7分，19-21每题9分，22题13分，23题14分，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂和积的乘方的逆运算分别化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】原式=，当，时，原式=-4． 【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简以及多项式除以单项式化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18. 如图，在三角形中，，点D在上． （1）求作线段，使得，且交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，线段即为所作： ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． （1）利用基本作图作交于点E即可； （2）利用平行线的性质求得，推出，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （___________）， ___________（___________）， （___________）， （___________）． 【答案】已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明： （已知）， （垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ∴（补角性质）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 20. 小红准备完成题目：计算（x2 x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可； （2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数． 【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x） （2）设一次项系数为， 答案是不含三次项的 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么? 【答案】（1）是， 理由：∵28=82-62， ∴28是“神秘数”； ∵2012=5042-5022， ∴2012是“神秘数”； （2）是， 理由：两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下： （2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1）， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数； （3）不是， 理由：设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则 （2k+1）2-（2k-1）2=8k， 此数是8的倍数，但不是4的奇数倍， 由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 【解析】 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断； （2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键． 22. （1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【答案】（1）； （2）， 理由：如图2，过P点作，则， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ，， CD∥PQ． ， 又， ， ； （2）略 （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，∠HGF=∠CFG， 又的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ． 23. 对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：________；________：________． （2）先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论； （3）如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． （4）如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值． 【答案】（1）2，3，5 （2） （3）120 （4）1 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； 【小问4详解】 解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $