2026年山东省济南市中考数学自编模拟试卷

2026年山东省济南市中考数学自编模拟试卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 2．据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（    ） A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×106 3．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 7．若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 12．如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 13．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 14．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，则的度数为__________． 15．如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．计算：． 17．解不等式组，并写出它的整数解． 18．如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：． 19．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． (1)求树的高度； (2)求食堂的高度． 20．如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 21．济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． (1)求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ (2)文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 22．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线交于点E，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点P是抛物线上位于x轴下方的一动点，连接，与直线l交于点Q，设和的面积为和，求的最大值； (3)如图③，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，且直线l与抛物线有且只有一个交点，求m的值． 23．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，，均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？    【初步探究】 （1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：．    【类比探究】 （2）如图2，在边长为3的正方形中，点，分别是，上的点，且．连接，，，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年山东省济南市中考数学自编模拟试卷》参考答案 1．D 【分析】根据倒数的定义，即若两个数的乘积为“1”，那么这两个数互为倒数，据此即可解答． 【详解】解：的倒数是． 2．C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：1500万＝15000000＝1.5×107． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的表现形式. 3．D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 4．D 【详解】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，故此选项错误； B、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，故此选项错误； C、根据积的乘方，各因式分别乘方再相乘，，故此选项错误； D、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故此选项正确． 5．B 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识．由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴； 故选：B． 6．B 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 7．C 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此依次分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， 则原变形成立，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 9．B 【分析】由题意可知，然后根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形正确，符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意． 10．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、最短路径问题，利用轴对称转化线段，将四边形的周长转化为“两点之间线段最短”的模型求解． ①通过联立方程，利用判别式判断是否有解；②结合抛物线的开口方向和对称轴，分析点到对称轴的距离与函数值的关系；③掌握“左加右减、上加下减”的平移规律；④利用轴对称转化线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【详解】解：①已知抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为， 抛物线与直线有交点， ， ， ， ∴抛物线与直线有交点，故①判断正确； ②的对称轴为直线，， 抛物线上的点离对称轴越远，的值越小， ，，， ， ， 故②判断错误； ③由抛物线， 该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的解析式为， 故③判断正确； ④时，抛物线的解析式为， ，，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度为， ∴此时，四边形周长为且长度最小：， 故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③． 故选：． 11． 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 14．/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 先根据平行线的性质得到，再由三角形的外角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ，， ， 故答案为：． 15． 【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， AI将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 16． 【分析】利用有理数的乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及求一个数的绝对值法则进行求解． 【详解】解：． 17．不等式组的解集为，整数解为：0，1，2 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集进而求出不等式组的解集是解题的关键． 18．见解析 【分析】由菱形的性质可知，，再结合题意可证，即得出，最后由等边对等角即得出． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． 19．(1)米； (2)米． 【分析】（）设，根据直角三角形性质可得，，进而求得，然后依据，解得，即树的高度为米； （）延长交延长线于点，则，由（）知，，则，又，可得，从而求解． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，， 即，解得， ∴树的高度为米； （2）解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴食堂的高度为米． 20．(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）连接，利用三角形的外角性质结合等边对等角求得，可得，再利用切线的判定定理即可得证； （2）连接，根据切线性质，可得，进而得出，结合已知即可求出的长，在中用勾股定理即可求得． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ，即：， ，， ， ， ． 在中，． 21．(1)每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元 (2)生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元 【分析】（1）设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元，生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设生产A礼盒m件，列不等式求出自变量的取值范围，再设生产总成本为w元，列一次函数解析式并根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元． （2）解：设生产A礼盒m件，则生产B礼盒件， 由题意得：， 解得：， 设生产总成本为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w有最小值，此时， 答：生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元． 22．(1)； (2)的最大值为； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）求得直线l的解析式为，过点P作轴，交于点M，则，易得即，由和的底在同一直线上，且有相同的高，故，由（1）可知，设，则，则，因为的最大值为，代入即可求解； （3）求得抛物线的顶点坐标为，将沿直线翻折得，故将抛物线：沿直线翻折得到抛物线为，即，令即，由直线l与抛物线有且只有一个交点，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为:； （2）∵，， 则， 设直线l的解析式为， ， 解得:， 可得直线l的解析式为：， 过点P作轴，交于点M， 则， ∴， ∴， 和的底在同一直线上，且有相同的高， 则， ∴， 由（1）可知，， ∴， 设， 则， ， ∴的最大值为， 则的最大值为， ∴的最大值为； （3）抛物线的顶点坐标为： ， 将沿直线翻折得：， 故将抛物线：沿直线翻折， 得到抛物线：， 即：， 令， 即 ， 又∵直线l与抛物线有且只有一个交点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了代入法求一次函数、二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，相似三角形的判定和性质，翻折问题，交点情况即一元二次方程解的情况；解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活求解． 23．（1）见解析（2）（3）8 【分析】（1）证明即可； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：证出，得出，然后设，利用勾股定理列方程解出x，即可得解； （3）如图，过作，且，连接，并延长交于，先证明，然后再求出，的值即可得解． 【详解】（1）， ， ，， ， ； （2）四边形是正方形， ， 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图： ， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即：， ，边长为3的正方形， ，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （3）的长为8， 如图，过作，且，连接，并延长交于， ∴， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，直角函数等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $