广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高一年级下学期数学期中考试模拟（一）

**基本信息** 深圳外国语学校龙华高中部高一数学期中模拟卷，涵盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，解答题融合托里拆利点等创新情境，体现数学思维的逻辑性与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数运算、向量命题判断、立体几何位置关系|基础题如第1题复数模计算，考查数学眼光的抽象能力| |多选题|3|复数几何意义、解三角形性质、正方体线面关系|第11题结合正方体中点，考查空间观念与推理能力| |填空题|4|斜二测直观图、圆台体积、向量数量积范围|第14题动点向量取值，体现数学语言的精确表达| |解答题|5|向量运算、复数应用、立体几何证明、解三角形及创新应用|第19题托里拆利点问题，融合文化传承与创新意识，符合核心素养要求|

深圳外国语学校（集团）龙华高中部 2025 级高一年级下学期 数学期中考试模拟（一） 一、单选题 1．若复数满足，其中为虚数单位，则为（   ） A． B． C．1 D．2 2．下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 3．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 6．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 二、多选题 9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若，则的模为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 11．如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 三、填空题 12．水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 __________. 13．如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为___________. 14．已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为__________. 四、解答题 15．已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16．已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 17．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18．由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 19．我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. (1)若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； (2)若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学期中复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C A C C BD AB 题号 11 12 13 14 答案 ABD 5 15．（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）由于，所以， 则. （2）， 由于，所以. （3）设与的夹角为，依题意为锐角， 所以. 16．(1)； (2). 【详解】（1）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； （2）由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 17．(1) (2)6 (3) 【详解】（1）由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； （2）因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； （3） ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，， 是四棱柱，平行且等于， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2）平行且等于，平行且等于， 平行且等于， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面且，、平面， 平面平面； （3）由（2）得，平面，平面， 则平面， 又平面，平面平面， ． 19．(1)①；②； (2). 【详解】（1）①在 中，由正弦定理得， ，有， ， ， ，，又， ； ②由①知，则 的三个角都小于， 由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以 . （2）由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $