广东深圳市沙井中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

沙井中学2024—2025学年第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 班级________ 姓名________ 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．复数，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A． B． C． D． 6．在中，，．点满足，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，是两条不同的直线，为一个平面，，则“”是“，无公共点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的内角、、的对边分别为、、，下列结论一定成立的有（ ） A． B．若，则 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰三角形 10．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为，则下列选项中正确的是（ ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．不存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥的体积为4 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为________． 13．已知向量，，若，则向量与的夹角为________． 14．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的大小为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（本题13分）已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，，求向量与的夹角． 16．（本题15分）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足． （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 17．（本题15分）如图所示，在平面四边形中，，，，，． （1）求； （2）求的长． 18．（本题17分）P为正方形所在平面外一点，E，F，G分别为，，的中点，如图．求证： （1）平面； （2）平面平面． 19．（本题17分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $沙井中学2024一2025学年第一学期期中试卷答案 题号 1 2 3456789 10 11 答案 A A C AA C AA BC ACD BD 12.713.5 14.451四 4 15.(1)a-=32 aa-月 【详解】(1)因为向量ā=(3,2)，万=(x,-1. 则a+2b=(3+2x,0)，2ā-b=(6-x,5), 又因为(a+2b)1(2a-),则(a+2b2a-b)=0, 可得3+2x(6-x+0×5=0,解得x=6或x=-2, 3 且x>0,则x=6,则b=(6,-1,ā-6=(-3,3)， 所以a-=V-3)2+32=32. (2)由c=（-8,-1,b=x,-1,a=(3,2),则b+c=(x-8,-2), 由a/(6+c,可得3×(-2)-2×(x-8=0,解得x=5,即万=(5，-1)， 可得a=3,=26,a.6=3x5+2x-1)=13, ab 13 2 则cosa= 小5 V13×√262' 且u∈[0，，所以向量a与6的夹角a= 4 16.(1)5: 2)1<m<2 【详解】(1)令z=a+bi且a,beR,则(1+i)(a+bi)=(a-bi)+1, a-b=a+1 a=2 所以a-b+(a+b)i=a+1-bi,则 +6=b,可得6=-1 所以z=2-i,则=V5: (2)由三=2+i-3+m2-3m+1i=2-3+(m2-3m+2i, m m 故对应点 /2-3,m2-3m+2 [2-3<0 在第三象限，则m m m2-3m+2<0 3 所以 0<m<2,即1<m 1<m<2 3 17.(1)3 (2)√37 【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理可得 cas∠4CB=4C+cA8_5+-iO_4,n∠4Ca=-cog24CB- 2AC.BC 2×5×3 (2).∠ACD=135°-∠ACB .cos∠ACD=cos135°-∠ACB)=cos135°cos∠ACB+sin135°sin∠ACB V24√2、3-V2 252510 在△ACD中，由余弦定理可得AD2=AC2+CD2-2AC·CD cos∠ACD,即 AD2=52+(2W2-20W2x √2 =37,AD=√37 10 18.【详解】(1)证明：如图所示： D 取PC中点H,分别连接EH,FH, :E,F,H分别为PD,AB,PC的中点， :EHI DC,EH =DC. ) EAFH为平行四边形. ∴.EA/WFH. 又AE文平面PCF,FHC平面PCF, .AE∥平面PCF. (2):E,G分别为PD,CD的中点， .EG//PC. 又EG文平面PCF,PCc平面PCF, ∴.EG∥平面PCF. 由(1)知AE∥平面PCF,EG∩AE=E. ∴.平面PCF∥平面AEG. 19.1)A= 3 (2)5+3 (3)(6,45 【详解】(1)因为 cosC+(cos B-3sin B)cos A=-cos(4+B)+(cos B-3sin B)cos A=sin B(sin A-3cos A)=0 则sinB≠0，可得sinA-V5cosA=0, 整理得tanA=V5,所以A= 3 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA,即12=8+c2-2x22cx} 解得c=√2+6或c=√2-√6（舍去）， △MBC的面积SA4 bcsin A=x2V2×V2+6X号=V3+3 b c_2V3 =4 (3)由正弦定理sinA sinB sinC√3，可得b=4sinB，c=4sinC, 2 b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin(A+B)=4sin B+2sin B+2v3 cos B =6sn8+25coB=45sm8+君》 0<B<T 圆为△ABC为锐角三角形，且A,则 。,解得公<B<, 2-B< 0< 6 21 2 叶各×药可路经mB飞D 6 则b+e=45sm8+君e6,4], 所以b+c的取值范围为(6,4V3