河南师范大学附属中学2025-2026学年八年级数学下学期第1次诊断

**基本信息** 聚焦实数与勾股定理，通过基础辨析（如无理数判断）、情境应用（如梯子滑动、最短路径）及综合运算（如二次根式混合运算），分层考查数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|实数（平方根、无理数）、勾股定理逆定理|第2题辨析4个实数中无理数，考查抽象能力；第7题梯子滑动问题，体现模型意识| |填空|6|无理数估算、勾股定理几何应用|第15题圆柱展开三圈最短路径，融合空间观念与运算能力| |解答|10|二次根式运算、勾股定理综合应用|第22题长方体展开多路径比较，培养推理意识；第26题分母有理化规律探究，发展创新意识|

2026八年级数学下学期第1次诊断性评价 学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（    ） A．3，4，5 B．，，1 C．5，12，13 D．7，8，9 2．在，，，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），3.1415926这些数中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列语句中：（1）16的平方根是4；（2）的平方根是；（3）；（4）；（5）125的立方根是；（6）是2的平方根，正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作于点B，使得，连接，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（　　） A．1.2 B．1.3 C． D． 6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 7．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 9．如图，在△ABC中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11．比较大小：4 （填“＞”“＜”或“=”）． 12．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 13．如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 14．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ． 15．如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，若阴影部分的面积为，，则 ． 三、解答题（一）（本题共 3 题，每小题 7 分，共 21 分） 16．计算：（1） 17．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 18．如图，在四边形中，，，，，且，求四边形的面积． 四、解答题（二）（本题共 3 题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图，已知长方体的长为、宽为、高为．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到点，那么最短的路程是多少？    20．如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 21．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 五、 解答题（三）（本题共 2 题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分） 22．如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 23．阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B D B B A D B 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是验证每组数中两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方． 判断每组数能否组成直角三角形时，先确定每组中的最长边，再分别计算两较短边的平方和与最长边的平方，若两者相等则能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、本组数中最长边为5，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、本组数中最长边为1，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、本组数中最长边为13，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； D、本组数中最长边为9，计算两较短边平方和：，最长边平方：，，不能组成直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，3.1415926，是有限小数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 无理数有，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共4个． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义．熟练掌握定义是解答的关键． 根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根，掌握这三个概念及性质的应用是解题关鍵， （1）正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）先求，再求4的平方根；（3）算术平方根的结果具有唯一性；（4）负数的偶次幂为正，正数的算术平方根为正数；（5）正数的立方根是正数；（6）正确． 【详解】解：（1）16的平方根是，不符合题意； （2）的平方根是，不符合题意； （3），不符合题意； （4），不符合题意； （5）125的立方根是5，不符合题意； （6）是2的平方根，符合题意； 正确个数为1个 故选：． 5．D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，米，，， 设米，则：米， 在和中，由勾股定理，得：， ∴，即：， 解得， ∴米， ∴米； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．B 【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：在矩形纸片中，，， ∴，，， ∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合， ∴，，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合， ∴，，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴线段GP长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了实数大小的比较，立方根的定义，根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查比较实数的大小，无理数的估算．根据作差法和无理数的估算即可求解． 【详解】解：， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积，由题意得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图，由于，则利用勾股定理可计算出，然后根据两点之间线段最短求解． 【详解】解：把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图， 则， ∵， ∴（）． ∴这条花带的长度至少为． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点，找到等腰直角三角形的斜边长的变化规律是解题的关键． 先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2020个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】解：根据勾股定理可得： 第1个的斜边； 第2个的斜边； 第3个的斜边； ．．．．．． 第n个等腰直角三角形的斜边； 所以第2022个等腰直角三角形的斜边． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了实数的混合运算．先算乘方和开方，绝对值，后算加减． 【详解】 解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、实数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用二次根式的性质、零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 20．(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 21． 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握这两个定理的运用． 先根据勾股定理求出长，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，则四边形面积就是两个直角三角形面积的和． 【详解】解：连接， 在中，，， 在中，，，，则， ∴是直角三角形， ． 22．最短路程是 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图利用勾股定理进行计算，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，      根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿，，，，，剪开，得图1，； （2）沿，，，，，剪开，得图2，； （3）沿，，，，，剪开，得图3，. 综上所述，最短路径应为图1所示，所以，即，因此最短路程是． 23．(1) (2)1120元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【详解】（1）解：， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 24．(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理直接求出的长即可； （2）先根据勾股定理求出，然后求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵米，（米），， ∴（米）； （2）解：根据题意可知：（米）， ∴（米）， ∴米， 即游船向岸边移动的距离为米． 25．(1)； (2)； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 26．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 答案第14页，共14页 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $