易错点4专项突破：圆锥的体积-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 第一单元圆柱与圆锥 易错点4专项突破：圆锥的体积 1.如图，将直角梯形绕AB边旋转一周，求得到的几何体的体积？ A 6cm 3cm B 3cm 2.求下面图形的体积。（单位：dm) 3.计算下面各图形的体积。 10m (1) 3cm C=6.28cm (2) 30m 20m 第1页共8页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.计算下面圆锥的体积。 8 3cm 5.计算下面图形的体积。 5dm 9cm (1) (2) 8dm 12cm- 6.求下面两个图形的体积。（单位：cm) 第2页共8页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ←-12→ 20 4.5 7.计算图形的体积和表面积。 0.9m 2 3m 4m (1)求出图中圆柱的表面积； (2)求出上图立体图形的体积。 8.计算下面组合图形的体积。 -3m 5.5m 4m 第3页共8页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 9.学校里有一个圆锥形沙堆，底面直径是4米，高是0.9米。把这堆沙子铺在长是62.8米、 宽3米的通道上，沙子的厚度是多少米？ 10.有一个圆锥形麦堆（如图）。如果每立方米小麦大约重0.75吨，这堆小麦大约重多少吨？ (结果保留两位小数) 2.5m om 11.端午节吃粽子是我们的传统习俗之一。奶奶包的粽子是近似圆锥形的，底面直径和高都是 6厘米。如果每立方分米的糯米重1.8千克，那么包100个粽子，10千克糯米够吗？（粽叶厚 度忽略不计。) 第4页共8页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ￥ 12.在一个底面半径是12厘米的圆柱形水桶里，放入一个底面直径是12厘米的圆锥，圆锥全 部浸入水中后，水面上升了2厘米（水未溢出）。圆锥的高是多少？ 13.某小学运来一堆细沙堆成圆锥形，底面积是6.28平方米，高是0.6米，把这堆细沙铺入长 4米、宽2米的长方体沙坑内，可以铺多厚？ 14.李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是6米，高是 1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 第5页共8页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 15.如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的 体积是多少？ △日 16.一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2：5，水深12厘米。现将一个底面 半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多 少厘米？ 2 17.一个底面直径是4分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的三，现将一底面 积为3.14立方分米的圆锥形铁块完全浸没水中，水面上升了0.5分米，这时水面距杯口还有 8.5分米，这个铁块的高是多少分米？这个杯子的容积是多少升？ 第6页共8页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 18.张大伯将一车沙子卸到地面形成了一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高是 1.2米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子需要75元，买这堆沙子需要花 多少元钱？ 19.一个实心圆锥形铅锤的底面周长是31.4厘米，高是9厘米。一个圆柱形容器的底面半径 是6厘米，高是10厘米，且容器中装有一些水，水面高8厘米。 (1)这个实心圆锥形铅锤的体积是多少立方厘米？ (2)如果将这个圆锥形铅锤放入圆柱形容器中，水会溢出来吗？ 20.如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱形鱼缸，里面放着一块体积为12.56立方分米， 底面半径为2分米的圆锥形陀螺。现在通过一个水龙头向鱼缸内注水，至少需要多少升水才能 将这个陀螺完全淹没？（鱼缸厚度忽略不计） 第7页共8页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 21.2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园 满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小 组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 8dm 5dm 2dm 22.在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的 圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米， 这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 第8页共8页 第一单元 圆柱与圆锥 易错点4专项突破：圆锥的体积 1．如图，将直角梯形绕AB边旋转一周，求得到的几何体的体积？ 【答案】113.04cm3 【分析】直角梯形绕AB边旋转一周，得到一个圆柱加圆锥的组合体，先根据圆柱体积公式V＝πr2h和圆锥的体积公式V＝πr2h（π取3.14）分别求出两部分的体积，再把它们相加，即可求出这个几何体的总体积。 【详解】3.14×32×3＋×3.14×32×（6－3） ＝3.14×9×3＋×3.14×9×3 ＝84.78＋3.14×9×（3×） ＝84.78＋3.14×9×1 ＝84.78＋28.26 ＝113.04（cm3） 答：得到的几何体的体积是113.04cm3。 2．求下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】 【分析】这个图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3。 【详解】 3．计算下面各图形的体积。 【答案】（1）3.14；（2）7065 【分析】（1）圆锥的体积，计算时需先利用求出圆锥的底面半径。 （2）空心圆柱的体积＝外圆柱体积－内圆柱体积，可以用公式进行计算，计算时需先利用求出外圆柱的内圆柱的底面半径。 【详解】（1） 圆锥的体积是3.14。 （2） 空心圆柱的体积是7065。 4．计算下面圆锥的体积。 【答案】75.36cm3 【分析】圆锥体积：V＝πr2h（r是圆锥的底面半径，h是圆锥的高）。 【详解】根据分析可知： ×3.14×32×8 ＝×3.14×9×8 ＝3×3.14×8 ＝9.42×8 ＝75.36（cm3） 圆锥的体积是75.36cm3。 5．计算下面图形的体积。 【答案】（1）628立方分米；（2）339.12立方厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算； （2）先根据半径＝直径÷2，求出半径，再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算。 【详解】（1）3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8 ＝628（立方分米） （2）×3.14×（12÷2）2×9 ＝×3.14×62×9 ＝3.14×36×9× ＝113.04×9× ＝1017.36× ＝339.12（立方厘米） 6．求下面两个图形的体积。（单位：cm）       【答案】1130.4cm3，29.4375cm3 【分析】图形是一半的圆柱，则图形的体积＝圆柱形的体积＝，将数据带入公式计算即可； 根据圆锥的体积＝，将数据带入公式计算即可。 【详解】 （cm3） 则图形的体积是1130.4cm3。 （cm3） 圆锥的体积是29.4375cm3。 7．计算图形的体积和表面积。 （1）求出图中圆柱的表面积； （2）求出上图立体图形的体积。 【答案】（1）50.24m2；（2）41.448m3 【分析】（1）图中圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加上一个圆柱的底面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积＝πr2，代入相应数值计算； （2）该立体图形的体积等于圆锥的体积加上圆柱的体积，圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，其中圆锥的底面积和圆柱的底面积相等，代入相应数值计算即可解答。 【详解】（1）3.14×4×3＋3.14×（4÷2）2 ＝37.68＋3.14×4 ＝37.68＋12.56 ＝50.24（m2） 因此图中圆柱的表面积是50.24m2。 （2） （m3） 因此上图立体图形的体积是41.448m3。 8．计算下面组合图形的体积。 【答案】81.64m3 【分析】组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积＝＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】（4÷2）2×3.14×5.5＋（4÷2）2×3.14×3× ＝22×3.14×5.5＋22×3.14×3× ＝4×3.14×5.5＋4×3.14×3× ＝12.56×5.5＋12.56×3× ＝69.08＋37.68× ＝69.08＋12.56 ＝81.64（m3） 组合图形的体积是81.64m3。 9．学校里有一个圆锥形沙堆，底面直径是4米，高是0.9米。把这堆沙子铺在长是62.8米、宽3米的通道上，沙子的厚度是多少米？ 【答案】0.02米 【分析】根据圆锥的底面直径求出半径，利用圆锥体积公式，计算出沙堆的体积。根据底面积＝长×宽，算出底面积。再根据高＝体积÷底面积求出沙子的厚度。 【详解】（米） （立方米） 通道的底面积：（平方米） 沙子的厚度：（米） 答：沙子的厚度是0.02米。 10．有一个圆锥形麦堆（如图）。如果每立方米小麦大约重0.75吨，这堆小麦大约重多少吨？（结果保留两位小数） 【答案】17.66吨 【分析】用底面的直径除以2，算出底面半径，再根据圆锥的体积公式V＝πr2h：代入即可求出圆锥形麦堆的体积，再乘0.75即可求出大约重多少吨。 保留两位小数，看小数点后的第三位，如果第三位的数字大于等于5，即进一，小于5，则舍去。 【详解】6÷2＝3（米） ×3.14×32×2.5 ＝×3.14×9×2.5 ＝3.14×（9×）×2.5 ＝3.14×3×2.5 ＝9.42×2.5 ＝23.55（立方米） 23.55×0.75＝17.6625（吨）≈17.66（吨） 答：这堆小麦大约重17.66吨。 11．端午节吃粽子是我们的传统习俗之一。奶奶包的粽子是近似圆锥形的，底面直径和高都是6厘米。如果每立方分米的糯米重1.8千克，那么包100个粽子，10千克糯米够吗？（粽叶厚度忽略不计。） 【答案】不够 【分析】圆锥的体积，计算圆锥体积时，需先利用求出圆锥的底面半径。求出一个粽子的体积后，将单位由立方厘米换算为立方分米（1立方分米＝1000立方厘米），用每立方分米的糯米的重量乘一个粽子的体积求出一个粽子需要糯米的重量，再用这个重量乘粽子的个数，最后和10千克作比较，大于10千克，则不够，小于10千克，则够了。 【详解】（厘米） （立方厘米） 56.52立方厘米＝56.52÷1000＝0.05652立方分米 （千克） 答：包100个粽子，10千克糯米不够。 12．在一个底面半径是12厘米的圆柱形水桶里，放入一个底面直径是12厘米的圆锥，圆锥全部浸入水中后，水面上升了2厘米（水未溢出）。圆锥的高是多少？ 【答案】24厘米 【分析】水面上升部分体积等于圆锥的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出水面上升部分体积；再根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出高，进而解答。 【详解】3.14×122×2 ＝3.14×144×2 ＝452.16×2 ＝904.32（立方厘米） （904.32×3）÷[3.14×（12÷2）2] ＝2712.96÷[3.14×62] ＝2712.96÷[3.14×36] ＝2712.96÷113.04 ＝24（厘米） 答：圆锥的高是24厘米。 13．某小学运来一堆细沙堆成圆锥形，底面积是6.28平方米，高是0.6米，把这堆细沙铺入长4米、宽2米的长方体沙坑内，可以铺多厚？ 【答案】0.157米 【分析】把圆锥形的沙堆铺入一个长方体沙坑内，沙堆的体积不变，即圆锥的体积等于长方体沙坑内沙的体积。根据圆锥的体积求出沙堆的体积，长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高也就是沙坑的厚等于体积除以长再除以宽。 【详解】 （立方米） （米） 答：可以铺0.157米厚。 14．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是6米，高是1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 【答案】1695.6元 【分析】已知沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，底面直径为6米，那么半径为6÷2＝3米，高为1.5米。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可得出沙子的体积。每立方米沙子120元，用120乘沙子的体积即可求出这堆沙子所需的花费。 【详解】6÷2＝3（米） ×3.14×32×1.5 ＝×3.14×9×1.5 ＝14.13（立方米） 120×14.13＝1695.6（元） 答：李叔叔买这堆沙子需要花1695.6元。 15．如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的体积是多少？ 【答案】235.5立方厘米 【分析】从图中可知，加入圆柱和圆锥铁块后，底面直径为10厘米的圆柱容器的水面高度上升了（9－5）厘米，那么水上升部分的体积就是圆柱与圆锥铁块的体积之和，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱与圆锥铁块的体积之和； 已知圆柱和圆锥铁块等底等高，则圆柱铁块的体积是圆锥铁块体积的3倍，可以把圆锥铁块的体积看作1份，圆柱铁块的体积看作3份，一共是（1＋3）份；用它们的体积之和除以总份数，求出一份数，也就是圆锥形铁块的体积，再乘3，求出圆柱形铁块的体积。 【详解】水上升部分的体积（圆柱与圆锥铁块的体积之和）： 3.14×（10÷2）2×（9－5） ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（立方厘米） 圆锥形铁块的体积： 314÷（3＋1） ＝314÷4 ＝78.5（立方厘米） 圆柱形铁块的体积： 78.5×3＝235.5（立方厘米） 答：圆柱形铁块的体积是235.5立方厘米。 16．一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2∶5，水深12厘米。现将一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多少厘米？ 【答案】1.875厘米 【分析】将比的前后项看成份数，高÷对应份数＝一份数，一份数×底面半径的对应份数＝底面半径，据此求出水桶的底面半径，水面上升的体积就是圆锥体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铁块体积，铁块体积÷水桶底面积＝水面上升的高度，据此列式解答。 【详解】20÷5×2＝8（厘米） 3.14×62×10÷3÷（3.14×82） ＝3.14×36×10÷3÷（3.14×64） ＝376.8÷200.96 ＝1.875（厘米） 答：这时水面升高了1.875厘米。 17．一个底面直径是4分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的，现将一底面积为3.14立方分米的圆锥形铁块完全浸没水中，水面上升了0.5分米，这时水面距杯口还有8.5分米，这个铁块的高是多少分米？这个杯子的容积是多少升？ 【答案】6分米；188.4升 【分析】根据题意可知，圆锥形铁块的体积等于上升0.5分米的水的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形铁块的高。 把圆柱形玻璃杯的高度看作单位“1”，水面上升的高度加水面距杯口的高度，正好是水杯高度的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出水杯的高度，再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出这个杯子的容积。 【详解】圆锥形铁块的体积： 3.14×（4÷2）2×0.5 ＝3.14×22×0.5 ＝3.14×4×0.5 ＝6.28（立方分米） 圆锥形铁块的高： 6.28×3÷3.14 ＝18.84÷3.14 ＝6（分米） 圆柱形容器的高： （8.5＋0.5）÷（1－） ＝9÷ ＝9× ＝15（分米） 圆柱形玻璃杯的容积： 3.14×（4÷2）2×15 ＝3.14×22×15 ＝3.14×4×15 ＝188.4（立方分米） 188.4立方分米＝188.4升 答：这个铁块的高是6分米，这个杯子的容积是188.4升。 18．张大伯将一车沙子卸到地面形成了一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高是1.2米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子需要75元，买这堆沙子需要花多少元钱？ 【答案】3.14平方米；94.2元 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径是2米，高是1.2米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出这个沙堆的体积，再乘每立方米沙子需要的钱数，求出买这堆沙子需要的总钱数。 【详解】3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） ×3.14×1.2＝1.256（立方米） 75×1.256＝94.2（元） 答：这堆沙子的占地面积是3.14平方米，买这堆沙子需要花94.2元。 19．一个实心圆锥形铅锤的底面周长是31.4厘米，高是9厘米。一个圆柱形容器的底面半径是6厘米，高是10厘米，且容器中装有一些水，水面高8厘米。 （1）这个实心圆锥形铅锤的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个圆锥形铅锤放入圆柱形容器中，水会溢出来吗？ 【答案】（1）235.5立方厘米； （2）会 【分析】（1）根据圆的周长公式C＝2πr先得出圆的半径，再根据圆锥的体积，代入数据计算即可。 （2）根据圆柱的体积代入数据分别得出水的体积和圆柱的体积，再用水的体积加上圆锥的体积，如果大于圆柱的体积则水会溢出，如果小于圆柱的体积水不会溢出。 【详解】（1）31.4÷3.14＝10（厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×52×9× ＝3.14×25×9× ＝3.14×25×3 ＝235.5（立方厘米） 答：这个实心圆锥形铅锤的体积是235.5立方厘米。 （2）3.14×62×10 ＝3.14×36×10 ＝3.14×360 ＝1130.4（立方厘米） 3.14×62×8 ＝3.14×36×8 ＝904.32（立方厘米） 904.32＋235.5＝1139.82（立方厘米） 1139.82＞1130.4 答：水会溢出来。 20．如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱形鱼缸，里面放着一块体积为12.56立方分米，底面半径为2分米的圆锥形陀螺。现在通过一个水龙头向鱼缸内注水，至少需要多少升水才能将这个陀螺完全淹没？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】326.56升 【分析】根据题意可知，陀螺完全淹没，圆柱形鱼缸里的水的高度等于圆锥形陀螺的高度；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形陀螺的高度，也就是圆柱形鱼缸里水的高度；再根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形鱼缸里水和陀螺的体积，减去陀螺的体积，求出水的体积，再换算成升，即可解答。 【详解】12.56÷（3.14×22）÷ ＝12.56÷（3.14×4）÷ ＝12.56÷12.56×3 ＝1×3 ＝3（分米） 3.14×62×3－12.56 ＝3.14×36×3－12.56 ＝113.04×3－12.56 ＝339.12－12.56 ＝326.56（立方分米） 326.56立方分米＝326.56升 答：至少需要326.56升水才能将这个陀螺完全淹没。 21．2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 【答案】18.84立方分米 【分析】这个整流置模型的体积等于底面直径是2分米，高是5分米的圆柱的体积加上底面直径是2分米，高是（8－5）分米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×12×5＋3.14×12×3× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝3.14×5＋3.14×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流置模型的体积是18.84立方分米。 22．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【分析】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。 【详解】水下降部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×302×1 ＝3.14×900×1 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 2826×3÷314 ＝8478÷314 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $