专题11 四边形（8大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 汇集多地区2026年一模真题，聚焦四边形8大核心考点，分层覆盖基础计算与综合证明，适配中考一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|35题|多边形内角和（如正六边形内角度数）、平行四边形判定（如添加条件证菱形）|结合埃菲尔铁塔正六边形（时代性）、挂钟正八边形（生活情境）| |解答题|26题|矩形折叠（如Rt△纸片折叠求MN长）、正方形动态探究（如动点路径长）|从基础证明到动态几何（层次性）、融合旋转与中位线（综合性）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11四边形 ☆8大考点概览 考点01多边形的对角线 考点02多边形的内角和 考点03多边形的外角和 考点04平行四边形的性质与判定 考点05三角形中位线 考点06矩形的性质和判定 考点07菱形的性质与判定 考点08正方形的性质与判定 考点01 多边形的对角线 1. (2026陕西咸阳一模)从多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成3个三角 形，则这个多边形的边数是 2.(2026江苏宿迁·一模)两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六 边形的面积是2，则大正六边形的面积是 3.(2026陕西宝鸡一模)如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形：过五边形一个 顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…， 若过n边形一个顶点的所有对角线，将其分成了15个三角形，则n=(· 4.(2026山东淄博一模)在正m边形里面画一个小的正n边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点， 得到的三角形总数记为fm,n.例如，根据图，有f5,4=11,则f2026,4=元· 1/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026·甘肃白银.一模)从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是() A.八边形 B.九边形 C.十边形 D.十一边形 考点02 多边形的内角和 6. (2026广东江门一模)如图，五边形ABCDE中，∠A=100°，∠B=115°，∠C=130°，则 ∠D+∠E的度数为() A.195° B.185° C.175° D.165° 7.(2026广东东莞一模)如图，在正六边形ABCDEF中，∠ABF的大小为 口 B 8.(2026广东广州一模)美国华盛顿大学研究团队在2015年发现了一种新的不规则五边形（如图①）· 相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边 形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子.设此五边形ABCDE中AE=10cm.则∠C=乙 ；该五边形的周长为 cm. 图① 图② 9.(2026江苏扬州一模)图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形 ABCDEFGH为其外窗框的示意图，连接AC,BD,AC与BD交于点M,∠AMB=元°. 2/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 10.(2026浙江杭州·一模)正六边形的一个内角度数为() A.720° B.60 C.120° D.108° 11.(2026浙江温州一模)如图，两条直线l1,L2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B、C,且l1l2.当 ∠2=95°时，则∠1=( A F B 12 12.(2026山东青岛一模)如图，直线L1‖12，正五边形ABCDE的顶点A,B分别落在l1,12上.若 ∠1=25°，则∠2的度数为() E 人2 B A.47o B.58° C.61° D.75° 13.(2026云南·一模)如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和 的度数为() 1112 10 A.900° B.1080° C.1260° D.1440° 3/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 多边形的外角和 14. (2026北京顺义一模)每一个外角都是60°的正多边形为() A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 15.(2026北京朝阳一模)若一个六边形的每个外角都是x°，则x的值为() A.30 B.60 C.80 D.120 16.(2026辽宁沈阳一模)凸多边形的外角和与内角和之比为2：3，则该多边形的边数为 17.（2026江苏扬州一模)若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 18. (2026辽宁本溪一模)若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为 19. (2026重庆：一模)一个多边形的外角和是内角和的2 ，则这个多边形的边数为 20. (2026陕西榆林一模)如图，将2个正六边形螺母放在地面1上，则∠1的度数为 ⊙》 21.(2026湖北黄石·一模)正n边形每一个外角的度数都为 22. (2026湖北随州一模)己知正n(n≥3，且n为整数)边形的外角和等于360°，则任意一个外角的 度数为 23.(2026甘肃定西一模)在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五 边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠的度数为() A.54° B.60° C.72 D.74° 24.(2026江苏无锡一模)一个正n边形的每一个内角都是144°，则n的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 25.(2026·吉林一模)中国乒乓球队运动员孙颖莎王楚钦在巴黎奥运会上获得我国首枚奥运混双金牌， 它不仅再次印证了中国乒乓球的卓越实力，更是对国家荣誉的有力捍卫，对中华体育精神的生动诠释.图 1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块 的示意图如图2所示，则∠1的度数是 4/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 考点04 平行四边形的性质与判定 26. (2026广东·一模)如图，在口ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，连接BD,DE,BF· E (I)求证：DE=BF; (2)从条件“①DB=DA,②DA⊥DB”中任选一个作为已知条件，判断四边形BEDF的形状，并证明你 的结论 27.(2026广东深圳一模)已知四边形ABCD是平行四边形，且AB<AD,点F是AD上一点， AF=AB. D B 图1 图2 (I)如图1，点E在BC上，连接AE,EF,在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件： 使得四边形ABEF是菱形： (2)如图2，请在BC上求作与点B,C不重合的两点G,H,连接AG,HF,使得四边形AGHF是菱形. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 28.(2026江苏南京.一模)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E,F是边BC上一点， EF‖lCD.求证：四边形ABFE是菱形. 5/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 29.(2026黑龙江大庆·一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长BC到 点D,使CD=BC,连接EF,CE,DF. B (I)求证：四边形CDFE是平行四边形. (2)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长. 30.(2026黑龙江一模)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线BD上，且BE=DF,连接 AE,EC,CF,AF.请添加一个条件 使四边形AECF为矩形（填一个即可）， A D B 31.(2026辽宁沈阳·一模)如图，四边形ABCD中，BD为对角线，AH⊥BD于点H,AH交CD于点E, 交BC的延长线于点F,此时AH=EH,∠F=∠CEF. M M C 图1 图2 (1)求证：AD‖BF; (2)若M为BF中点，求证：DE=2CM; (3)在(2)的条件下，若C为MF中点，AD=25,AB=217,求四边形ABCD的面积. 6/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05 三角形中位线 32. (2026河南南阳一模)将直角三角形纸片ABC∠C=90°按如图方式折叠两次再展开，若BC=8, 则MN的长为() 折叠 再折叠 展开 D P A.1 B.2 C.4 D.6 33.(2026贵州遵义一模)【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共 顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系.如图1，在“△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2, 分别取AB,AC的中点D,E,连接DE.如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE 图1 图2 图3 图4 ()【操作发现】如图2，旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. (2)【问题探究】如图3，当B、D、E三点在一条直线上时，求CE的长. (3)【拓展延伸】如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的中点D: E.作△BDE,将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE.当边AB平分线段DE时，直接写出点E到 BC的距离. 34.（2026浙江台州一模)如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC中点，连接DE,∠ABC的平 分线交DE于点F. 716 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：∠DBF=∠DFB (2)若DF=EF,BC=12,求BD的长 35.(2026山东德州一模)如图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=1,D为BC的中点，E为AB 边上的动点，DF⊥DE交AC于点F,M为EF的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长 为 M B D 36.(2026河北石家庄一模)如图，在△ABC中，点D,F分别为AB,BC的中点，点E在AC上，满足 ∠AED=∠DFB. E D B (I)求证：△ADE≌△DBF; (2)若AB=AC=10,BC=6,求点A,F之间的距离. 37.(2026浙江丽水一模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,P分别为AC,BC的中点，连接BD, E为BD的中点，过点D作DM⊥BC,垂足为点M,交EP的延长线于点N,连接AE,AN. (I)若AB=8,求EP的长： (2)证明：CD=PN: ③当AE⊥EN附，求S△A巴的值 SAABC 考点06 矩形的性质和判定 38. (2026河南开封一模)若一个三角形三边长之比为3：4：5，则称这个三角形为“勾股三角形”·如 8/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，得到△FBE.过点F作 FG⊥BC于点G.若△FBG是“勾股三角形”，则BE的长为 39.(2026广东一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,D是边AB上一点（不 与点A,B重合)，作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.若O是EF的中点，则OD的最小值是() A.5 B.12 ci D. 40.(2026内蒙古包头一模)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE,CE.若 ∠ECB=45°，∠CED=2∠ABE,AB=5,则AE的长为 A E D 41.（2026江苏无锡一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,点E在边BC上，且BE=4,动 点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD 或边DC于点Q,连接PQ,当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒(t>0): 0 D B P E B (备用图) (I)当点Q与点D重合时，求t的值： (2)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF. ①当点P与点A重合时，求四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分的面积： 9/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围. 42.(2026山东青岛·一模)如图，将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M处.若 AD=3,AB=2,则GM的长为() D 25 D.6 5 B.12 43.(2026山东济南一模)在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=6,点E,F分别为AB、AD上的两点. D D E A E 图1 图2 图3 0图1，若∠A=90,且AF=BE=2,则∠FEC=&, EC =; (2)如图2，∠A=∠FEC=60°，求证：EF·BC=AE·EC: EF 3)如图3，连接BD交CE于点G,∠A=∠FEC=a,若AE=m,求CC的值（用含m的代数武表示）· 44.(2026贵州遵义一模)如图，△ABC为等边三角形，D为BC中点，连接AD.过点A,C分别作 AE‖BC,CE‖AD,AE,CE相交于点E. B D (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若BD=1,求四边形ABCE的面积. 10/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07 菱形的判定与性质 45. (2026北京丰台·一模)如图，AB=2,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，在AB两侧交于点 C,D,连接CD,则CD的长为() B D A.1 B.3 C.2 D.23 46.(2026北京石景山一模)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点F在DE的延长线 上，且DF=DB,点G在边BC上，且FG‖AB. D B G (I)求证：四边形DBGF是菱形： (2)连接BF,若∠FBC=30°，DE=4,CG=2,求BF的长. 47.(2026北京大兴.一模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,CD‖AB,点E,F分别为AC,BC的 中点，DE CF B (1)求证：四边形EFCD为菱形： (2)若∠ADC=90°，EF=2,求AD的长. 48.(2026河南商丘·一模)如图，点C在y轴上，点B的坐标为4,8，将线段BC向下平移，点C与点O重 11/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 合，点B的对应点A恰好落在反比例函数y kx>0的图象上，若BC=OC,M为线段OA的中点. (1)求k的值： 2过点M作直线ME垂直于y轴且与反比例函数y=kx>0]的图象的交点为E,求点E的坐标. X 49.(2026河北邯郸一模)如图，在菱形ABCD中，M,N是对角线AC上不重合的两个点，且 AM=CN.当改变点M,N位置的过程中，下列对于四边形MBND的说法正确的是() A.MBND,总是矩形 B.MBND总是菱形 C.MBND中不可能存在∠NDM=90° D.MBND中可能存在DN≠BN 50.(2026北京平谷·一模)如图，平行四边形ABCD,E是BC延长线上一点，BD=DE,且 ∠ABC=2∠DEB D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接AE交BD于F,若∠DEB=30°，AD=4,求BE和AF的长. 51.(2026云南玉溪一模)如图，已知线段AB=4V2cm,分别以点A,B为圆心，以3c为半径画弧， 两弧相交于点C,D,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ACBD的面积为 cm2. 12/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 52.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，△ABC中，AB=BC=5,AC=6,分别以点A和点C为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点D,连接AD,CD,以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AC于点E,连接DE, 则DE的长为() B D A.5 B.23 C.6 D.2V5 考点08 正方形的判定与性质 53. (2026辽宁营口一模)如图，正方形ABCD中，AB=5V2,AC是对角线，E是AC上一点，过点E 作EF⊥BC,垂足为F,连接DE, 若AE= 2FC,则DE的长为 D 54.(2026江苏盐城·一模)如图，在口ABCD中，AB=BC,点E是边CD的延长线上的一点.连接AE, 过点C作CF⊥AE于点F,交AD于点G,且∠E=∠CGD. 6 D 13/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)当点F是AE的中点，且CE=42时，求四边形ABCD的面积. 55.(2026湖南娄底一模)阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是90°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线 段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是90°，若AB=CD,则下列各图中的 线段CD都是相应线段AB的双关联线段， D 门 A(C) 图① 图② 图③ D 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)问题1：如图1，在矩形ABCD中，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB=乙° (2)问题2：如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D,∠BAD=45°，点E在线段AD上，且DE=DC, 连接BE.求证：线段BE是线段AC的双关联线段. (3)问题3：如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD.(要求：①尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法：②作出一条即可)· 56.(2024贵州遵义·模拟预测)按要求解答问题： 【初步实践】 (I)如图1，在长方形ABCD中，若AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点O,在线段OA上任取一点P(端 点除外)，连接PD,PB 求证：△ABP≌△ADP; 14/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 【问题探究】 (2)如图2，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B落在DA的延长线上的点E处，当点P在线段OA上的位置 发生变化时，∠BPE的大小是否发生变化？请说明理由： E P O 图2 备用图 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究AE与OP的数量关系，并说明理由. 57.(2026浙江台州一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点（不包含端 点)，AG⊥EF于点G,GM⊥AB于点M,EF=AG. F D F M M 图1 图2 (I)如图1，求证：△AMG≌△ECF. (2)如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG,MG于点H,N. ①求证：四边形BMNE为正方形： 15/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②求证：HE+GN=AB; ③若AB=1,请直接写出HE的取值范围. 58.(2026广东深圳一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE,以点E 旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE,连接AF,FE交边CD于点G,H,则GH的长为 (). H A.3 C.2 D.2 59.(2026河北石家庄·一模)如图，正方形ABCD中，点P为BDBD>6上一动点，连接AP,过点P作 PQ⊥AP交CD边所在直线于点Q.点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为6，则AQ的中 点M移动的路径长为 D 60.(2026新疆乌鲁木齐·一模)如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、 AN、MN.∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE. D D M M B 6 图① 图② 图③ 【实践探究】 (I)求证：△ANM≌△ANE.并直接写出DM,BN与MN之间的数量关系； (2)在图①条件下，若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长是_： (3)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN=DM.点E、F分别在BM、DN上，∠EAF=45°， 16/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接EF,猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由. 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上，连接AM,AN,已知 ∠MAN=45°，BN=2,直接写出DM的长. 61.(2026安微宣城一模)如图，在正方形ABCD中，E,N分别是BC,AB的中点，CN与DE交于点 G,连接BG并延长交CD于点F,CN与对角线BD交于点H. (1)求证：CN⊥DE. (2) SABNH 一的值. S正方形ABCD (3)探究线段GN,乙及BG的数量关系，并说明理由. 17/6 专题11 四边形 8大考点概览 考点01多边形的对角线 考点02多边形的内角和 考点03多边形的外角和 考点04平行四边形的性质与判定 考点05三角形中位线 考点06矩形的性质和判定 考点07菱形的性质与判定 考点08正方形的性质与判定 多边形的对角线 考点01 1．（2026·陕西咸阳·一模）从多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是______． 【答案】5 【分析】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为5． 2．（2026·江苏宿迁·一模）两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 【答案】18 【分析】由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是2， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，若过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了15个三角形，则_____． 【答案】17 【分析】找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：∵过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… ∴过n边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， 根据题意得， 解得． 4．（2026·山东淄博·一模）在正边形里面画一个小的正边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点，得到的三角形总数记为．例如，根据图，有，则_____． 【答案】 【分析】结合图形分析每个三角形的特征，共可分为三类，与正边形有关，与正边形相关且在外部和在正边形内部，求和即可． 【详解】解：结合图可知，以正二千零二十六边形的边为边的三角形共有个，以正方形的边为边且向外的三角形一共有个，正方形内部的三角形共有个， ∴． 5．（2026·甘肃白银·一模）从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（       ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发，除去自身和相邻两个顶点，一共可以引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， 因此这个多边形是十边形． 多边形的内角和 考点02 6．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 7．（2026·广东东莞·一模）如图，在正六边形中，的大小为__________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得到每个内角都为，且是等腰三角形，从而求得底角即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴． 8．（2026·广东广州·一模）美国华盛顿大学研究团队在年发现了一种新的不规则五边形（如图①）．相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子．设此五边形中．则______；该五边形的周长为______． 【答案】 【分析】先将图②抽象成数学模型，根据邻角之间的关系可得关于五边形五个内角的方程组，求解出每个角的值即可．根据抽象所得的图③可知，，．连接，，作于点，取的中点，连接，则是等腰直角三角形，是含角的直角三角形，由勾股定理和三角函数可计算出，，．由和可判断，进而得到也是等腰直角三角形，因此，最后利用所得数据计算周长即可． 【详解】解：将图②抽象成几何图形可得， 由图③可知， ， 解得， 如图④，连接，，作于点，取的中点，连接， 由图③可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 9．（2026·江苏扬州·一模）图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    【答案】45 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 10．（2026·浙江杭州·一模）正六边形的一个内角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用多边形内角和公式求出正六边形的总内角和，再根据正六边形各内角相等，计算得到一个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ∴正六边形的一个内角度数为， 11．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 12．（2026·山东青岛·一模）如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形外角的性质，可求得正五边形的每个内角为，进而求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知，正五边形的一个外角为， ∴正五边形的每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（2026·云南·一模）如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形内角和公式求解即可． 【详解】解∶ 该正八边形的内角和的度数为∶． 多边形的外角和 考点03 14．（2026·北京顺义·一模）每一个外角都是的正多边形为（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】利用任意多边形外角和为，结合正多边形各外角相等的性质计算边数即可得到答案． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，且正多边形的所有外角都相等， ∴该正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形． 15．（2026·北京朝阳·一模）若一个六边形的每个外角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和恒为，六边形有个外角，结合每个外角相等的条件即可计算的值． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该六边形有个外角，且每个外角都相等， ∴． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 【答案】 【分析】根据外角和与内角和之比为，任意凸多边形的外角和为，可得多边形内角和度数，结合内角和公式即可求解． 【详解】解：∵外角和与内角和之比为， 任意凸多边形的外角和为， 得多边形内角和为， 由边形内角和公式得， 解得． 17．（2026·江苏扬州·一模）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 18．（2026·辽宁本溪·一模）若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______． 【答案】/60度 【分析】由六边形每个内角都相等可推出每个外角都相等，根据任意多边形的外角和为，将外角和除以边数即可得到每个外角度数.． 【详解】 该六边形的每个内角都相等， 该六边形的每个外角都相等， 任意多边形的外角和为，该多边形为六边形，边数为， 每个外角度数为 ． 19．（2026·重庆·一模）一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 20．（2026·陕西榆林·一模）如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：如图． 由题意得， ， ． 21．（2026·湖北黄石·一模）正n边形每一个外角的度数都为________． 【答案】 【分析】根据多边形外角和为，正边形的所有外角都相等，利用除法即可求出每个外角的度数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正边形的个外角大小相等， 正边形每一个外角的度数为． 22．（2026·湖北随州·一模）已知正n（，且n为整数）边形的外角和等于，则任意一个外角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正边形各外角相等，结合已知外角和为，用除法计算即可得到任意一个外角的度数． 【详解】解：正边形的所有外角都相等，任意边形的外角和为，正边形共有个外角， 任意一个外角的度数为． 23．（2026·甘肃定西·一模）在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：． 24．（2026·江苏无锡·一模）一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先求出正边形的一个外角度数，再根据多边形外角和为，用除以一个外角度数即可得到边数． 【详解】解：∵正边形的每个内角都是， ∴每一个外角为， ∴． 25．（2026·吉林·一模）中国乒乓球队运动员孙颖莎王楚钦在巴黎奥运会上获得我国首枚奥运混双金牌，它不仅再次印证了中国乒乓球的卓越实力，更是对国家荣誉的有力捍卫，对中华体育精神的生动诠释．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 【答案】/60度 【分析】根据正n边形的外角求解即可． 【详解】解：∵是正六边形的外角， ∴ ． 平行四边形的性质与判定 考点04 26．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)选①，四边形是矩形；选②，四边形是菱形；证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，进而得到 ，结合，证明，即可证明结论； （2）由（1）易证四边形是平行四边形，选①，根据等腰三角形三线合一可得，即 ，可得四边形是矩形；选②，利用直角三角形的性质，可得，可得四边形是菱形． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 27．（2026·广东深圳·一模）已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，． (1)如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形； (2)如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)（答案不唯一） (2)图见解析 【分析】（1）当时，结合题目可先证明四边形是平行四边形，进而结合即可求证； （2）以A为圆心，（即）长为半径画弧，交于点，以G为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、，四边形即为所求菱形；由（1）得，，由作图得，进而可得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 又∵． ∴四边形是菱形； （2）解：作图如下： 【点睛】本题以平行四边形为载体，核心围绕菱形的判定定理展开：小问1通过“平行四边形邻边相等”的思路证明菱形，小问2利用尺规作图构造等长线段，结合平行关系推导菱形． 28．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 29．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 30．（2026·黑龙江·一模）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 31．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形中，为对角线，于点，交于点，交的延长线于点，此时，． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)在（）的条件下，若为中点，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)四边形的面积为． 【分析】（1）由垂直平分线性质、等边对等角可推得，结合对顶角相等推得，再由内错角相等两直线平行即可得证； （2）设的中点为，连接、，则是的中位线，由此得，，证明得，由此判定四边形是平行四边形得，据此可得出结论； （3）连接，过点作于点，先求出，，，证明得，设，则，设，，则，，再由勾股定理求出、的值，得到、的值，进而得，再根据梯形的面积公式得，继而得，则，据此可得四边形的面积． 【详解】（1）证：，， ， ， ，， ， ； （2）证：设的中点为，连接、，如图所示： ， 是的中位线， ，， 于点， ， 是直角三角形， 点为中点， 是的斜边上的中线， ， ， ， ， ， 在中，，于点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， ； （3）解：连接，过点作于点，如图所示： 在（）的条件下，即有为中点，， ， ，， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，设，，其中，， ，， 于点， 和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由及，，解得，， ，， 于点， ， ， 四边形是梯形， ， ， ， ， ， 即四边形的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，解题关键是综合运用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行推理证明，灵活运用勾股定理及等面积法进行计算． 三角形中位线 考点05 32．（2026·河南南阳·一模）将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】第一次折叠：点落在边上，说明是上的点，且，此时是的中位线，， 第二次折叠：将点再向上折叠，得到，此时是的中位线。 因为，而是的中位线，所以：． 33．（2026·贵州遵义·一模）【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系．如图1，在“中，，，分别取，的中点，，连接．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接． (1)【操作发现】如图2，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)【问题探究】如图3，当、、三点在一条直线上时，求的长． (3)【拓展延伸】如图4，在中，，，，分别取，的中点，．作，将绕点逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)猜想，证明见解析 (2) (3)点到的距离为． 【分析】（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出即可． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： ∵点D和点E分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：由图1可知点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； （3）解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴． 即点到的距离为． 34．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由角平分线得，再用三角形中位线定理证，得，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出的长，由算出，再结合第一问的等角对等边得出即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 35．（2026·山东德州·一模）如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为__________． 【答案】/ 【分析】连接，根据勾股定理得，，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，即可得点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，则为点M所经过的路线长，然后说明是的中位线，并根据中位线的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，且，点D是的中点， ∴，． ∵，点M是的中点， ∴，且， 在中，， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，，交于点O， ∴为点M所经过的路线长，． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 所以点M所经过的路线长为． 36．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 37．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解： 为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解： 为的中点， ， 为的中点， ， ． 矩形的性质和判定 考点06 38．（2026·河南开封·一模）若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】由矩形及折叠性质得，，根据，得是直角三角形，斜边为，根据“勾股三角形”定义，其三边比为，分两种情况讨论：情况1：，情况2：，分别求解即可； 【详解】 解：在矩形中，，， 由折叠性质得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，斜边为， 根据“勾股三角形”定义，其三边比为， 分两种情况讨论： 情况1：， ∵， ∴，， 设，则， 延长交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 则，， 在中，由勾股定理： ， 解得， 因此； 情况2：， 同理得，， 设， 在中，勾股定理得： ， 解得， 因此； 综上，的长为或． 39．（2026·广东·一模）如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易证明四边形是矩形，进而得到，，接着利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，从而推出，当时，取得最小值，即取得最小值，在中，由勾股定理求出长，再利用“等面积法”求出长，进而求出的最小值． 【详解】解：连接， 、， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得， ， 即的最小值为． 40．（2026·内蒙古包头·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接，．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，根据题意得到，，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，， 过点作，交于点， ∴四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 41．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点Q与点D重合时，求t的值； (2)作点E关于直线的对称点F，连接、． ①当点P与点A重合时，求四边形和矩形重叠部分的面积； ②当四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 【答案】(1)8秒 (2)①；②或或 【分析】（1）当点和点重合时，点在边上，设，则，由勾股定理得，，，则，由此解出，进而可求出t的值； （2）①设交于H，根据矩形的性质得到，，，证明，得到，，进而证明，根据轴对称的性质得到，证明，求出，根据四边形和矩形重叠部分的面积计算即可； ②分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：当点和点重合时，点在边上，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 秒； （2）解：①当点P与点A重合时，如图所示，设交于H， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点E关于直线的对称点F， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴四边形和矩形重叠部分的面积 ； ②如图所示，当点在上，且四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时， ， 在中，， 则， ， ∴， 在中，， ， 解得， 当时，点在矩形内部， ∴符合题意． 当点在上时，当重合时符合题意，此时如图， 则， 在中，， ， 解得． 当点在上，当重合时，此时点与点重合， 则四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， 此时． 综上所述，或或． 42．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到 ，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 43．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，进一步即可求出答案； （2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解； （3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．（2026·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再结合等边三角形的“三线合一”性质，证得，最后运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证得四边形是矩形； （2）先根据等边三角形的“三线合一”性质，证得，求出线段的长，再结合（1）中的结论，运用，求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又是等边三角形，D为中点， ∴于点D， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D为中点，， ∴，于点D， ∴， ， 在中， ∵，，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 菱形的判定与性质 考点07 45．（2026·北京丰台·一模）如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先分析作图过程，证明是菱形，再利用菱形的性质得到，，最后用勾股定理计算． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可得， 四边形是菱形， ，，， ， ． 46．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理先得到，然后即可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明其为菱形； （2）连接与交于点，先根据三角形中位线定理求解，即可求解，然后根据菱形得到，，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．（2026·北京大兴·一模）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 48．（2026·河南商丘·一模）如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若，为线段的中点． (1)求的值； (2)过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平移的性质证明为平行四边形．由证明四边形为菱形，延长交轴于点，设菱形的边长为，则，，由点B的坐标得出，由勾股定理求出x，进而可求出点A的坐标，由点A的坐标即可求出k的值． （2）先由中点坐标得出点M的坐标，进而可求出点E的纵坐标，然后把点E的纵坐标代入反比例函数即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：由平移可得且， 四边形为平行四边形． 又， 四边形为菱形． 如图，延长交轴于点，设菱形的边长为， 则，， 点的坐标为， ， 在中，由勾股定理，得， 解得∶． ， ， 反比例函数的图象过点， ． （2）解：过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为， ∵为线段的中点． ∴，即， ∵直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， ． 49．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 【答案】B 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质可得四边形是菱形，当时，菱形是正方形，则．据此判断即可． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 当时，菱形是正方形，则． 50．（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ． 51．（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 52．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 正方形的判定与性质 考点08 53．（2026·辽宁营口·一模）如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点E作于点M，根据正方形的性质先求得以及证明四边形为正方形，得到，结合，从而求得，进而求得和，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则， ∵正方形中，，， ∴，，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 54．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 55．（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据双关联线段的定义得到且，进而证得矩形是正方形，从而得到，利用求解即可； （2）易证明，进而得到、，延长交于点，根据易得到，利用三角形内角和定理得到，从而得出结论； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，过点、作直线，此时；以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，此时，即线段是相应线段的双关联线段． 【详解】（1）解：与互为双关联线段， ，且， 矩形是正方形， 、， ； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 延长交于点， 在中，， ， ， ， ， 线段是线段的双关联线段； （3）解：如图，即为所求． 56．（2024·贵州遵义·模拟预测）按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． 求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出， 再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点作于点，作于点，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答； （3）先作于点，作于点，作交于点，作 于点，再根据等腰直角三角形的判定和性质，得出，进一步得出，进而得出是等腰直角三角形，四边形是矩形，最后利用矩形的性质以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， 又， 四边形是正方形， ，． ， ． （2）解：的大小不发生变化，理由如下： 如图2，过点作于点，作于点， 四边形是正方形， 平分，， ． 又，， ，，， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ，． 由旋转得，， 又 ， ， ． ， ，即， 的大小不发生变化． （3）解：，理由如下： 如图3，作于点，作于点，作交于点，作 于点 由（1）（2）可知：，． ， ． ，， ， ． ， ， ， 即． ，， 是等腰直角三角形， ． ， 四边形是矩形， ， ． 57．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析；③ 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明； （2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形； ②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴四边形为正方形； ②证明：延长交于点K， ∵四边形为正方形， ∴． 又∵四边形为正方形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 58．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 60．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析，； (2)12 (3)，理由见解析； (4)4 【分析】（1）根据正方形和旋转的性质，先证明点、、三点共线，再利用“”可证明，从而得出，即可得解； （2）利用勾股定理可得，结合（1）所得结论，可得，即可求出正方形的边长； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，根据正方形和旋转的性质可证明，再证明四边形是平行四边形，从而推出，最后结合勾股定理求解即可； （4）延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，四边形是正方形，得到，证明，求出，，同（1）理可证，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 由旋转的性质可知，，，，， ， 点、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ， ， ，即正方形的边长是12； （3）解：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ； （4）解：如图，延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接， 在矩形中，，， ，，， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 同（1）理可证， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即的长为4． 61．（2026·安徽宣城·一模）如图，在正方形中，E，N分别是，的中点，与交于点G，连接并延长交于点F，与对角线交于点H． (1)求证：． (2)求的值． (3)探究线段，及的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明得到即可解答； （2）证明得到，设，则，过点H作，交于点J，交于点K，则，，进而得到即可解答； （3）过点B作于点I，作，交的延长线于点M，先证明四边形是正方形，得到可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E，N分别是，的中点， ∴，， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 如图1，过点H作，交于点J，交于点K， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：． 理由：如图2，过点B作于点I，作，交的延长线于点M， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $